Vektorski prostor

6.6 Vektorski prostor

Osnovni koncept linearne algebre je algebarska struktura vektorskog pros- tora. Promatra se skup vektora, s operacijama zbrajanja vektora i mnoˇzenja vektora skalarom. Pri tome pod pojmom vektora ne podrazumijevamo samo geometrijske vektore, nego sve one matematiˇcke objekte koji zadovoljavaju aksiome vektorskog prostora.

Detaljni opis vektorskih, odnosno linearnih prostora moˇzete na´ci u [7]. Ovdje donosimo samo osnovne pojmove i primjere radi cjelovitosti u opisu algebarskih struktura.

Najpoznatiji primjer prijelaza od polja na vektorski prostor nad poljem je prijelaz od realnog pravca na trodimenzionalni vektorski prostor. Ako je F polje i n prirodni broj, tada moˇzemo promatrati algebarsku

strukturu F n ˇciji su elementi n-torke elemenata iz F , tj.

F n = {(a

1 ,a 2 , ..., a n ):a i ∈F},

i na njima dvije operacije: zbrajanje n-torki i mnoˇzenje n-torki skalarom (elementom polja F ). Zbrajanje n-torki definiramo s:

(a 1 ,a 2 , ..., a n ) ⊕ (b 1 ,b 2 , ..., b n ) = (a 1 +b 1 ,a 2 +b 2 , ..., a n +b n ),

a mnoˇzenje skalarom α s: α ⊙ (a 1 ,a 2 , ..., a n ) = (α ·a 1 ,α ·a 2 , ..., α ·a n ). Sada je F n uz gornje operacije vektorski ili linearni prostor.

Napiˇsimo sada op´cenitu definiciju vektorskog prostora. Definicija 6.11 Vektorski prostor (linearni prostor)

V nad poljem F je svaka ˇcetvorka (V, F, ⊕, ⊙) takva da vrijede sljede´ci uvjeti:

1. Skup V = {x, y, z, ...} , ˇcije elemente zovemo vektori, a V je nosilac vektorskog prostora V,

2. Skup F = {α, β, γ, ...}, ˇcije elemente zovemo skalari, a F je polje s obzirom na operacije + i ·,

3. Operacija ⊕ : V × V → V zbrajanje vektora,

4. Operacija ⊙ : F × V → V mnoˇzenje vektora skalarom. Pri tome trebaju biti zadovoljeni sljede´ci aksiomi vektorskog prostora:

V1: Skup V je komutativna grupa s obzirom na zbrajanje vektora. V2: Za sve skalare α,β i vektore vrijedi x, y:

6.6. VEKTORSKI PROSTOR

1. α ⊙ (x ⊕ y) = (α ⊙ x) ⊕ (α ⊙ y),

2. (α + β) ⊙ x = (α ⊙ x) + (β ⊙ x),

3. α ⊙ (β ⊕ x) = (αβ) ⊙ x,

4. 1 ⊙ x = x. Konkretan primjer vektorskog prostora je realizacija ili model vektorskog

prostora. Primjer je vektorski prostor rjeˇsenja homogenog sustava. Primjer 6.10 Promotrimo homogeni sustav:

2x − 3y + z − t = 0 −x + y − 5z + 2t = 0

3x − 5y − 3z = 0 2x − 10t + 28z = 0

Budu´ci da je determinanta sustava jednaka nuli, prema poznatom Rou- cheovom teoremu iz linearne algebre znamo da ovaj sustav ima i netrivijalna rjeˇsenja (rjeˇsenja razliˇcita od (0, 0, 0, 0)). Dakle, sustav ima beskonaˇcno mnogo rjeˇsenja. Rjeˇsavanjem sustava, primjerice Gaussovim postupkom eliminacije, dobivamo da su rjeˇsenja oblika (5a + b, 3a, b, a + 3b) , gdje su

a, b ∈ R. Skup svih rjeˇsenja moˇzemo promatrati kao uredene ˇcetvorke ele- menata danog oblika. Takve se uredene ˇcetvorke zbrajaju na standardni naˇcin, po komponentama, te mnoˇze skalarom tako da se svaka komponenta pomnoˇzi skalarom. Pokazuje se da rjeˇsenja ˇcine vektorski prostor. Budu´ci da op´cenito n-torke uz nabrojene operacije ˇcine vektorski prostor, treba samo provjeriti zatvorenost operacije zbrajanja, odnosno mnoˇzenja skalarom.

Neka su (5a 1 +b 1 , 3a 1 ,b 1 ,a 1 + 3b 1 ) i (5a 2 +b 2 , 3a 2 ,b 2 ,a 2 + 3b 2 ) dvije ˇce- tvorke rjeˇsenja. Zbrajanjem dobivamo ˇcetvorku

5 (a ¢

1 +a 2 )+b 1 +b 2 , 3 (a 1 +a 2 ),b 1 +b 2 ,a 1 +a 2 + 3 (b 1 +b 2 ) , pa stavimo li a = a 1 +a 2 ,b=b 1 +b 2 dobivamo oblik rjeˇsenja zadanog

sustava. Za vjeˇzbu provjerite da mnoˇzenjem ˇcetvorke rjeˇsenja skalarom, opet dobijemo rjeˇsenje zadanog homogenog sustava!

Zadatak 6.30 Dokaˇzite da je operacija zbrajanja n-torki rjeˇsenja homoge- nog sustava linearnih jednadˇzbi i op´cenito zatvorena operacija nad skupom svih rjeˇsenja.

Najˇceˇs´ci primjeri polja nad kojima se definira vektorski prostor su polje realnih brojeva R i polje kompleksnih brojeva C. Radi jednostavnosti obiˇcno piˇsemo x + y umjesto x ⊕ y, te αx umjesto α ⊙ x.

POGLAVLJE 6. ALGEBARSKE STRUKTURE 283