Hamiltonovi ciklusi

5.6 Hamiltonovi ciklusi

U Eulerovoj turi putuje se svakim bridom grafa jedanput, da bi se na kraju vratili odakle smo krenuli. Ovdje ´cemo prikazati komplementarni problem tako da traˇzimo ciklus u grafu koji prolazi svim vrhovima samo jedanput. Taj je problem 1956. godine posebno razmatrao poznati irski matematiˇcar William R. Hamilton (1805-1865).

Definicija 5.18 Hamiltonov put na G je put koji sadrˇzi sve vrhove od G. Hamiltonov ciklus (eng. Hamilton circuit, cycles) na G je ciklus koji sadrˇzi sve vrhove od G. Graf G je Hamiltonov ako sadrˇzi Hamiltonov ciklus.

Za razliku od Eulerovog grafa, joˇs je uvijek otvoreni problem karak- terizacije Hamiltonovog grafa, tj. nalaˇzenja nuˇznog i dovoljnog uvjeta da (netrivijalni) graf bude Hamiltonov. Oˇcito je da je jedan od nuˇznih uvjeta

da bi graf bio Hamiltonov, da je povezan. Postoji dosta parcijalnih razultata koji doprinose mogu´cem rjeˇsenju najpoznatijeg problema iz teorije grafova. Evo jednog od tih rezultata.

Propozicija 5.4 (Dirac, 1952) Ako je G povezan (jednostavni) graf u ko- jem je broj vrhova n ve´ci od 3 (n n ≥ 3) i stupanj svakog vrha d (v) ≥

2 tada je G Hamiltonov graf.

Dokaz. Pretpostavimo da je put P : v 1 v 2 ...v r najdulji put u G, tj. put koji prolazi najve´cim brojem vrhova grafa. Svaka ˇsetnja u G, koja je dulja od P, prolazi nekim izmedu gornjih r vrhova barem dva puta. Neka je u vrh

povezan sa v 1 , koji nije u P. Tada ˇsetnja uv 1 v 2 ...v r ne prolazi nekim vrhom iz P dva puta i dulja je od puta P , ˇsto je u kontradikciji s pretpostavkom, pa je svaki vrh koji je povezan sa v 1 u P. Sliˇcnim naˇcinom pokazujemo da su

svi vrhovi susjedni vrhu v n r takoder u P. Budu´ci da znamo da je d (v 1 ) ≥

2 , pa ako brojimo i vrh v 1 imamo r ≥ 2 + 1. Pretpostavili smo da je n ≥3i

znamo da je r prirodan broj, pa slijedi r ≥ 3. Sada tvrdimo da postoji par vrhova v k ,v k +1 u P takvih da je jedan od njih, uzmimo da je to v k , povezan sa v r ,av k +1 , povezan sa v 1 .

POGLAVLJE 5. TEORIJA GRAFOVA 209

Da bi dokazali tu tvrdnju pretpostavimo suprotno, tj. da svaki vrh u P susjedan vrhu v 1 ima prethodnika koji nije susjedan vrhu v r . Znamo da su svi vrhovi v n

2 , ..., v r medusobno razliˇciti, pa postoji najmanje 2 vrha u G koji nisu susjedni vrhu v r . Kad njima pribrojimo vrhove koji jesu susjedni

vrhu v r , tih je vrhova najmanje n. Dodamo li tome i vrh v r , u grafu bi imali viˇse od n vrhova, ˇsto je kontradikcija.

Sada zakljuˇcujemo da put P sadrˇzi ciklus C : v 1 v k +1 v k +2 ...v r v k v k +1 ...v 1 . Preostaje nam dokazati da C sadrˇzi sve vrhove iz G. Znamo da C ima

najmanje n

2 + 1 vrhova pa postoji manje od 2 vrhova koji nisu u C. Vrh u koji nije u C mora biti susjedan nekom vrhu v p u C. No, tada bi put P ′

kojem bi dodali i vrh u bio duˇzi od puta P, ˇsto dovodi do kontradikcije. Uoˇcite da u prethodnoj propoziciji vrijedi samo jedan smjer. Znaˇci, postoje Hamiltonovi grafovi za koje ne vrijedi da je d (v)

2 . Zadatak 5.17 Nadite primjer grafa za koji je d (v)

2 , a da nije Ha- miltonov, tj. da ne vrijedi Diracov teorem.

n ≥ −1

Zadatak 5.18 Pokaˇzite da su pojmovi Eulerov grafi Hamiltonov graf neza- visni, tj. ako je graf Eulerov moˇze i ne mora biti Hamiltonov i obrnuto.