Algebarske strukture polinoma

6.8 Algebarske strukture polinoma

Polinomi predstavljaju vrlo vaˇznu klasu funkcija. Moˇzemo ih promatrati kao funkcije realne, ali i kompleksne varijable. Klasiˇcni primjeri algoritama su Hornerov i Euklidov algoritam, a oni se odnose na polinome. Spomenuli smo ranije da se i u tzv. fundamentalnom teoremu algebre govori o egzistenciji kompleksnih nultoˇcaka polinoma. Danas se ˇcesto spominje ˇcinjenica da je naziv tog teorema pretenciozan, ali neosporna je njegova vaˇznost u razvoju algebre.

Nadalje, polinomi su dobro opremljeni algebarskim operacijama, tako da ih moˇzemo promatrati u kontekstu razliˇcitih algebarskih strukura. Ovdje navodimo prsten polinoma i vektorski prostor polinoma.

6.8.1 Prsten polinoma Polinom n-tog stupnja je funkcija oblika

0 x +a 1 x −1 + ... + a n −1 x+a 0 ,a 0 6= 0. (6.5) Ako su svi koeficijenti a i , i = 1, 2, ...n realni brojevi i x uzimamo iz skupa

f (x) = a n

realnih brojeva, govorimo o polinomima realne varijable s realnim koefici- jentima ili kratko polinomima nad R. Skup svih polinoma jedne varijable f:R → R nad poljem realnih brojeva oznaˇcavamo sa R [x] . Medutim, ako su koeficijenti i varijable iz skupa kompleksnih brojeva, govorimo o polinomima kompleksne varijable s kompleksnim koeficijentima, odnosno o polinomima nad C. Skup svih polinoma f : C → C nad poljem kompleksnih brojeva oznaˇcavamo s C [x].

U oba skupa mogu´ce je definirati zbrajanje i mnoˇzenje polinoma na naˇcin kako definiramo zbrajanje i mnoˇzenje funkcija. Dakle, ako su f i g polinomi definiramo zbrajanje formulom

(f + g) (x) = f (x) + g (x) .

Slijedi da se suma polinoma dobije zbrajanjem koeficijenata uz mono- me jednakog stupnja. To drugim rijeˇcima znaˇci da stupanj sume ne prelazi stupnjeve polinoma koje zbrajamo.

Polinome mnoˇzimo po formuli

(f g) (x) = f (x) g (x) ,

pa za stupanj umnoˇska vrijedi st (f g) = st (f ) + st (g) . Zadatak 6.31 Provjerite da vrijede sljede´ce tvrdnje:

1. (R [x] , +) i (C [x] , +) su komutativne grupe.

POGLAVLJE 6. ALGEBARSKE STRUKTURE 285

2. Mnoˇzenje polinoma je zatvorena operacija nad poljem R (odnosno C), vrijedi asocijativnost i komutativnost. Postoji jedinica za mnoˇzenje polinoma. Multiplikativni inverz postoji samo za polinome stupnja nula.

3. Vrijede obje distributivnosti mnoˇzenja prema zbrajanju i zbrajanja prema mnoˇzenju.

Teorem 6.16 Skup polinoma R [x] , odnosno C [x] je komutativni prsten polinoma s jedinicom.

Primijetite da se polinom 6.5 jedne varijable, moˇze zapisati u obliku uredene n-torke

(a 0 ,a 1 , ..., a n −1 ,a n ),a 0 6= 0,

a i operacije na polinomima mogu se prevesti na jezik n-torki. Polinome moˇzemo definirati i nad nekim drugim poljem F , te takoder do´ci do strukture komutativnog prstena. Evo jednog primjera:

Primjer 6.11 Izraˇcunajmo zbroj i umnoˇzak polinoma

x 2 + 4x + 5 i 4x 2 + x + 3, definiranih nad poljem Z 7 .

Raˇcunamo: ¡ 2 ¢ ¡

x ¢ + 4x + 5 + 4x 2 +x+3 = 5x 2 + 5x + 1

¡ 2 ¢¡ 2 x ¢ + 4x + 5 4x +x+3 = 4x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 1. Na kraju, spomenimo joˇs jednu upotrebu polinoma. Za kod C kaˇzemo

da je cikliˇcki ako je on linearan i ako vrijedi:

a 0 a 1 ...a n −1 ∈C⇒a n −1 a 0 a 1 ...a n −2 ∈ C. Osnova algebarske manipulacije cikliˇckih kodova je korespondencija iz-

medu kljuˇcnih rijeˇci a 0 a 1 ...a n −1 iz R n i polinoma a(x) = a 0 +a 1 x+...+

i Z[x]. Viˇse o cikliˇckim kodovima i njihovu znaˇcenju, kao i povezanosti s poli- nomima, moˇzete proˇcitati u [1].

n −1

−1 x

6.8.2 Vektorski prostor polinoma Promatramo skup svih polinoma u jednoj varijabli, iz polja C, odnosno R.

U prethodnoj toˇcki smo definirali operaciju zbrajanja polinoma i utvrdili

da polinomi zajedno s operacijom zbrajanja polinoma tvore komutativnu grupu (aditivna grupa polinoma). Nadalje, definiramo operaciju mnoˇzenja polinoma skalarom, tj. elementima iz polja C, odnosno R. Pri tome,

6.9. ZADACI

rezultiraju´ci polinom dobijemo tako da svaki koefcijent zadanog polinoma pomnoˇzimo danim skalarom.

Skup P n svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog n, s realnim ili kom- pleksnim koeficijentima, je vektorski prostor, koji zovemo vektorski prostor polinoma.

Viˇse o toj temi moˇzete na´ci u [7]. Primijetimo da skup svih polinoma stupnja n, nema strukturu vek-

torskog prostora, jer suma dva polinoma n-tog stupnja moˇze biti manjeg stupnja od n. Na primjer,

2x ¢ 3 −x+1 + 3 −2x + 3x 2 + 2x −2 = 3x 2 +x − 1. Polinome moˇzemo definirati i nad nekim drugim poljem F , a ne samo

nad poljem realnih, odnosno kompleksnih brojeva i ponoviti konstrukciju vektorskog prostora polinoma nad poljem F .

Dakle, o polinomima moˇzemo govoriti na mnogo razliˇcitih naˇcina. Poli- nomi se obiˇcno uvode kao funkcije (jedne ili viˇse varijabli), da bi se u napred- nijim stupnjevima o njima govorilo kao o vektorskim prostorima i prstenima. Vidjeli smo takoder da ih se moˇze poistovjetiti s uredenim n-torkama.