Teori Operator Semigrup
2. Teori Operator Semigrup
Pada paper ini diberikan (X , ) adalah ruang Banach dan L (X ) adalah himpunan semua operator linear dari X ke X. Selanjutnya didefinisikan semigrup dan sifat-sifatnya
yang akan digunakan untuk meneliti model dissipatif dua kanal.
Definisi 1.
Suatu keluarga satu parameter T ( t ) t 0 T ( t ) L ( X ) | 0 t disebut semigrup jika
i. T ( t ) , t 0
ii. T ( 0 ) I
iii. T ( t s ) T ( t ) T ( s ) untuk t , s 0
Kemudian operator linear A : X X didefinisikan dengan
lim T ( t ) x x
D ( A ) x X ada
dan lim
Ax
untuk x D (A )
dt t 0
disebut infinitesimal generator atau generator dari semigrup T ( t ) t 0 , D (A ) domain A.
Definisi 2.
Semigrup T ( t ) t 0 disebut semigrup kontinu seragam jika
lim
(6) t 0
Bidang Terapan
Sumardi, dkk
Teorema 3.
Operator linear A merupakan generator dari suatu semigrup kontinu seragam T ( t ) t 0 jika
dan hanya jika A operator linear terbatas.
Teorema 4.
Jika T ( t ) t 0 merupakan semigrup kontinu seragam, maka terdapat suatu konstan 0
sehingga t T ( t ) e .
Definisi 5.
Semigrup T ( t ) t 0 disebut semigrup kontinu kuat atau C 0 -semigrup jika
Jika T ( t ) t 0 merupakan C 0 -semigrup, maka terdapat suatu konstan 0 dan
M t 1 sehingga T ( t ) Me .
Teorema 7.
Jika A operator linear yang merupakan generator dari C 0 -semigrup T ( t ) t 0 , maka
D (A ) dense di dalam X dan A operator linear tertutup.
Teorema 8.
Diberikan A operator linear yang merupakan generator dari C 0 -semigrup T ( t ) t 0 yang
memenuhi T ( t ) Me . Jika B operator linier terbatas, maka A B adalah generator
dari C 0 -semigrup S ( t ) t 0 yang memenuhi S ( t ) Me
, dan operator linear S (t ) dirumuskan sebagai berikut:
S ( t ) x T ( t ) x T ( t s ) BS ( s ) xds , x D ( A )
dan S (t ) dapat dituliskan secara eksplisit
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Pendekatan Teori Operator Semigrup Solusi ...
dengan
V n 1 ( t ) T ( t s ) BV n ( s ) xds , x X
Teorema 9(Rumus Hasil kali Trroter).
j A operator linear yang merupakan generator dari C 0 -semigrup S j ( t ) t 0 yang
Diberikan
memenuhi S j ( t ) M j e , untuk j 1 , 2 . Misalkan D ( A 1 ) D ( A 2 ) dense di dalam X
dan nt
S 1 ( t ) S 2 ( t ) Me , n 1 , 2 , 3 , untuk suatu
konstan 0 dan M 1 . Jika S j ( t ) t 0 semigrup yang dibangun oleh A 1 A 2 , maka
diperoleh lim n t t S ( t ) x
S 1 S 2 x , x X n (11)
pada interval terbatas t.
Definisi 10.
Misalkan D (X ) subruang dense dari ruang Banach X. Misalkan A : D ( X ) X X operator linear. Pandang masalah Cauchy abstrak du ( t )
Au ( t ),
dt (12) u ( 0 ) x
x D ( A ) Suatu fungsi u : [ 0 , T ] X disebut solusi masalah Cauchy abstrak (12) jika untuk setiap t [ 0 , T ], u ( t ) D ( X ) berlaku
lim 1 u ( t t ) u ( t ) Au ( t ) 0 (13)
t 0 t dan u ( 0 ) x .
Definisi 11.
Masalah Cauchy abstrak (12) dikatakan well-posed jika untuk setiap u 0 D ( A ) terdapat penyelesaian tunggal u u (t ) dan penyelesaian bergantung kontinu pada nilai awal
Bidang Terapan
Sumardi, dkk
x D (A ) yaitu terdapat konstanta c 0 0 sehingga jika u (t ) dan u (t ) merupakan solusi Cauchy abstrak dengan syarat awal masing-masing x D (A ) dan x D (A ) maka sup
Teorema 12.
Masalah Cauchy abstrak (12) well-posed jika dan hanya jika
A operator linear yang
merupakan generator dari C 0 -semigrup T ( t ) t 0 . Solusi masalah Cauchy abstrak diberikan
dengan rumus u ( t ) T ( t ) x . Kemudian u ( t ) T ( t ) x , x D ( X ) disebut solusi klasik (classical solution) dari masalah Cauchy abstrak (12). Apabila x D (A ) , maka masalah nilai Cauchy abstrak tidak mempunyai solusi klasik, sehingga hal ini memotivasi mendefinisikan suatu jenis
penyelesaian yang lebih umum. Selanjutnya u ( t ) T ( t ) x , x X dikatakan solusi teritlak (generalized solution) dari masalah Cauchy abstrak (12).