1 , 0 ) di R , didefinisikan box spline bivariate 3-arah kmn (y x , ) pada himpunan arah
( 2 1 , 0 ) di R , didefinisikan box spline bivariate 3-arah kmn (y x , ) pada himpunan arah
Dalam bentuk transformasi Fourier sebagai berikut:
Bidang Statistika
Mahmud Yunus, dkk
Demikian juga, box spline bivariate 4-arah pada himpunan arah
e , e e , , e e 2 1 2 1 2 k
didefinisikan dengan
ˆ kmnp ( , ) ˆ kmn ( , )
i ( )
Telah dikemukakan di atas, bahwa polinomial Laurent H A yang bersesuaian dengan box spline A pada sebarang himpunan arah yang terdiri dari vektor-vektor satuan baku
1 ( 0 , 1 ) dan e 2 ( 1 , 0 ) di R memenuhi syarat sub-QMF. Dengan demikian untuk
mengkonstruksi frame wavelet harus dicari polinomial Laurent H j yang memenuhi
H A ( ) H j ( 2 ) , dengan ( , ).
0 , 2 j
Penulis telah mendapatkan polinomial-polinomial Laurent H j untuk box spline tertentu 3- arah , 111 , dan 221 , serta 4-arah 222 1111 dan 21 . Akan tetapi, dalam makalah ini hanya
akan disajikan contoh yang berkaitan dengan box spline 111 seperti berikut ini.
Dengan dua polinomial Laurent H 1 dan H 2 :
dipenuhi
1 H 111 ( ) H j ( 2 ) , dengan ( , )
untuk fungsi filter H 111 yang bersesuaian dengan fungsi skala box spline . Dengan 111
demikian box spline 111 memenuhi hipotesis dari Teorema 3. Selanjutnya, matriks M pada (7) dikalikan dengan matriks H , yaitu
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Generator Frame Wavelet Ketat dari ...
Polinomial pertama pada vektor kolom M H dinotasikan dengan H ˆ 1 ( 2 , 2 ) , yang ke-2 dengan H ˆ 2 ( 2 , 2 ) , yang ke-3 dengan H ˆ 3 ( 2 , 2 ) ,danterakhir dengan H ˆ 4 ( 2 , 2 ) . Mudah
diperiksa bahwa dipenuhi
Dengan demikian tidak perlu mengubah polinomial Laurent H 111 ( 2 , 2 ) ke dalam bentuk dan .
Selanjutnya, pandang Hˆ vektor kolom ˆ
H 1 ( 2 , 2 ) H ˆ 2 ( 2 , 2 ) H ˆ 3 ( 2 , 2 ) H ˆ 4 ( 2 , 2 ) H 1 ( 2 , 2 ) H 2 ( 2 , 2 ) (11)
dan definisikan
Mudah diperiksa bahwa G G I H H .
Pandang G matriks blok 6 4 yang pertama dari G dan kalikan dengan M dari (7), yaitu diperoleh matriks G: 1 1 1 1
(13) 2 e e e e
I T H H , yang berarti G memenuhi bentuk matriks syarat UEP. Selanjutnya masing-masing komponen kolom pertama dari matriks G berturut-turut
maka akan dipenuhi G G
dinotasikan dengan G 1 ( , ), ..., G 111 6 111 ( , ). Polinomial-polinomial G , 1 , , 6 , tersebut adalah polinomial-polinomial Laurent (fungsi-fungsi filter high-pass) yang
1 dikehendaki bersesuaian dengan generator frame wavelet 6 111 , , 111 . Dalam hal ini, didefinisikan
111 , untuk 1 , , 6 , dengan
111 ( , ) G 111 ( 2 , 2 ) ˆ 111 ( 2 , 2 ).
Contoh Eksplisit
Mengikuti tahap-tahap konstruksi frame wavelet ketat dari box spline seperti diuraikan di atas, berikut ini disajikan satu contoh eksplisit konstruksi frame wavelet ketat dari box spline 3-arah . 221
Bidang Statistika
Mahmud Yunus, dkk
Fungsi filter low-pass yang bersesuaian dengan 221 adalah
Dengan perhitungan sederhana dapat diperoleh
1 H 221 ( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ),
0 , 2 32 32 32 64 64 dengan ( ) . Dengan demikian diperoleh
Dari hasil ini dapat diperiksa bahwa
221 ( , ) H 221 ( , ) H 221 ( , ) H 221 ( , )
Selanjutnya, digunakan tahap-tahap (10)—(13) untuk memperoleh fungsi filter high-pass
G , untuk 1 , , 6 . Di sini digunakan bantuan MAPLE untuk perhitungan dan plot grafiknya, dan diperoleh hasil-hasil berikut ini.
G ( , ) g mn e e , g mn 2 m 3
G ( , ) g mn e e , g mn 2 m 3 1 11 116 8 4 1
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Generator Frame Wavelet Ketat dari ...
g mn 2 m 3 1 1 4 8 116 11 4
4 2 m 3 1 2 6 12 16 10 2
e , g mn
5 Untuk 6 G dan G disajikan di sini dalam angka desimal karena bentuknya yang tidak dapat disederhanakan.
5 5 im in G ( , )
5 0 m 5 . 000608 . 02265 . 04775 . 02630 . 00304 . 00122 g
6 im in G ( , )
g mn 0 n 5 0 . 00000 . 01352
Dengan hasil-hasil tersebut, dapat diperoleh enam generator frame wavelet bivariate
1 6 221 , , 221 , yaitu dengan mendefinisikan:
221 ( x , y ) 4 g j , k 221 ( 2 x j , 2 y k ), 221 ( x , y ) 4 g j , k 221 ( 2 x j , 2 y k ),
Bidang Statistika
Mahmud Yunus, dkk
221 ( x , y ) 4 g j , k 221 ( 2 x j , 2 y k ), 221 ( x , y ) 4 g j , k 221 ( 2 x j , 2 y k ),
5 5 6 221 6 ( x , y ) 4 g j , k 221 ( 2 x j , 2 y k ), 221 ( x , y ) 4 g j , k 221 ( 2 x j , 2 y k ).
Pada Gambar 1 disajikan plot untuk masing-masing generator frame wavelet yang dihasilkan dari box spline . 221