REVITALISASI DAN SOSIALISASI DIRI UNTUK BERPERAN AKTIF DALAM PENINGKATAN KUALITAS PENELITIAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DI INDONESIA

REVITALISASI D A N SOSIALISASI DIRI UNTUK BERPERAN AKTIF DALAM PENINGKATAN KUALITAS PENELITIAN & PENDIDIKAN MATEMATIKA DI INDONESIA

Editor :

Muslim Ansori Ismail Djakaria Dhoriva Urwatul Wutsqa Agus Maman Abadi M. Andy Rudhito Umu Sa’adah Karyati Hasih Pratiwi

ISBN : 978-979-17979-0-0

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

MAHASISWA S3 MATEMATIKA INDONESIA 2008

EDITOR: Muslim Ansori Ismail Djakaria Dhoriva Urwatul Wutsqa Agus Maman Abadi M. Andy Rudhito Umu Sa’adah Karyati Hasih Pratiwi

PENERBIT: JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM

ALAMAT: Sekip Utara Unit III Yogyakarta Telp. 0274-552243, Fax. 0274-555131

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas terselenggarakannya Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika Indonesia pada tanggal 31 Mei 2008 di Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta. Kegiatan ini merupakan kegiatan ilmiah rutin yang diadakan oleh Forum Komunikasi Mahasiswa S3 Matematika Indonesia sejak tahun 2005.

Seminar Nasional ini diselenggarakan dengan tujuan (1) memberikan wawasan dan berbagi informasi diantara mahasiswa matematika/statistika dan pendidikan matematika, atau peminat matematika tentang hasil penelitian yang telah atau sedang dilakukan; (2) mendorong terciptanya kerjasama keilmuan antara mahasiswa S3 matematika/satistika dan pendidikan matematika, atau antara mahasiswa S3 matematika/statistika/pendidikan matematika dengan para pakar matematika/statis-tika/pendidikan matematika lainnya di Indonesia; dan (3) membentuk korps keilmuan untuk pengembangan profesi ke depan dan menjalin

dan alumni S3 matematika/statistika/pendidikan matematika se-Indonesia. Peserta yang berpartisipasi dalam kegiatan ini berjumlah 90 orang yang berasal dari berbagai institusi/instansi, yaitu ITB, UNY, UPI, UT, UNMER Malang, UNMUL, UNNES, UM, IPB, UNIMED, USD, ITS, UNSOED, UNTAD, IAIN Antasari Banjarsari, UNISBA, Universitas Widya Dharma Klaten, UNESA, SMA Sang Timur Yogyakarta, UBAYA, Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo, UNIKA Parahyangan, UNTAD, Universitas Mahasaraswati, UI, UII, UNPAD, STAIN Purwokerto, UNHALU, UNSRAT, Universitas PGRI Palembang, UNCEN, UNPAD, STKIP YASIKA Majalengka, UNEJ, STKIP PGRI Pontianak, UIN Syarif Hidayatullah, UNPATI, STT Garut, UNILA, Universitas Negeri Gorontalo, SMKN 2 Ygyakarta, BATAN, UBINUS, Universitas Muhammadiyah Bengkulu, UNAND, SKIP Siliwangi Bandung, Sekolah Tinggi Sandi Negara, dan UGM. Di antara peserta ini, yang membawakan makalah berjumlah 50 orang. Pembicara utama pada seminar ini adalah Prof. Dr. Muchlas Samani (Direktur Ketenagaan Ditjen Dikti Depdiknas) dan Dr. Supama, M.Si. (Peneliti Bidang Analisis Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada).

iii

Terselenggaranya Seminar Nasional ini tidak lepas dari dukungan berbagai pihak. Untuk itu terima kasih kami sampaikan kepada peserta Seminar Nasional atas partisipasinya yang aktif serta kepada Fakultas MIPA UGM dan Jurusan Matematika FMIPA UGM atas fasilitas dan dukungan dananya. Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada Forum Komunikasi Mahasiswa S3 Matematika Indonesia atas dukungan dan publikasinya. Terakhir, terima kasih juga kami sampaikan kepada rekan-rekan Panitia dan staf Jurusan Matematika FMIPA UGM atas dukungan dan kerjasamanya sehingga Seminar Nasional ini dapat terselenggara dengan lancar.

Yogyakarta, Mei 2008

Ketua Panitia

SAMBUTAN : PENGELOLA S2/S3 MATEMATIKA FMIPA UGM

Yang terhormat Dekan Fakultas MIPA, Yang terhormat Direktur Ketenagaan Ditjen Dikti Depdiknas, Yang terhormat Staf Pengajar S3 Matematika FMIPA UGM, Yang terhormat Hadirin Peserta Seminar Nasional, Assalamu ‘alaikum Warahmatullaahi Wabarakaatuh,

Selamat pagi dan salam sejahtera bagi kita semua. Pertama-tama marilah kita memanjatkan puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa karena atas perkenan-Nya kita dapat berkumpul pada acara seminar yang penting ini, yaitu Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika se-Indonesia. Kami menyambut baik acara yang diprakarsai dan diselenggarakan oleh mahasiswa S3 Matematika karena dapat mendorong terciptanya kerjasama keilmuan antara mahasiswa S3 Matematika/Satistika dan Pendidikan Matematika, atau antara mahasiswa S3 Matematika/Statistika/Pendidikan Matematika dengan para pakar Matematika/Statistika/Pendidikan Matematika lainnya di Indonesia.

Pada kesempatan ini, kami mengucapkan selamat mengikuti rangkaian Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika se-Indonesia yang sangat penting ini. Semoga upaya yang kita laksanakan ini dapat menghasilkan sumbangan yang berharga dan menjadi bekal bagi kita semua dalam mencapai masyarakat Indonesia yang andal, cerdas, mempunyai komitmen moral dan semangat pengabdian.

Lebih jauh lagi, kami mengharapkan Seminar Nasional ini dapat memberikan wawasan dan berbagi informasi diantara mahasiswa Matematika/Statistika dan Pendidikan Matematika, atau Peminat Matematika tentang hasil penelitian yang telah atau sedang dilakukan.

Demikian sambutan ini kami sampaikan, atas perhatian seluruh peserta Seminar Nasional, kami ucapkan terimakasih dan semoga Tuhan Yang Maha Kuasa memberkahi seluruh upaya bersama yang terus kita lakukan ini.

Wassalamu‘alaikum Warahmatullaahi Wabarakaatuh. Yogyakarta, 31 Mei 2008

Pengelola S2/S3 Matematika FMIPA UGM

The Sufficient Conditions for R[x,  ] to be a GCD-ring

Santi Irawati Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang (UM)

Abstract.

Let R be a commutative ring. An element c  R is called a greatest common divisor (GCD for short) of a and b in R if (i). cR  aR, bR and (ii). For any d  R if dR  aR, bR then dR  cR. If each pair of elements of R has a GCD in R, then R is called a GCD-ring. A GCD-domain is an integral domain which is a GCD-ring. Gilmer proved that if D is a GCD-domain with quotient field K, then its polynomial ring D[x] is also a GCD-domain. Based on this idea, it will be investigated the sufficient conditions for a non-commutative skew polynomial

2 ring R[x,] ={ n a

0  a 1 x  a 2 x  ...  a n x  a i  R}, with Aut(R) satisfies

xb = (b)x for any b  R where R is an order in a simple Artinian ring Q, to be a GCD-ring.

Keywords: greatest common divisor, order, skew polynomial ring.

In what follows all of the rings are assumed to be commutative with nonzero identity 1. An element uR is a unit if there exists vR such that uv = 1. An element xR is a zero divisor if there exists a nonzero element xR such that either rx = 0 or xr = 0. A nonzero element a in a ring R is said to be regular if a is not a zero divisor. A nonzero ring R is an integral domain if R has no zero divisor [H: 1989]. An element c in a non commutative ring R is called a right greatest common divisor (GCD for short) of a and b in R if (i) cR  aR,bR and (ii) for any d  R if dR  aR,bR then dR  cR. A ring R is a GCD ring if it is an integral domain which any two elements of R have a GCD. If R is a commutative GCD domain, it will be investigated the sufficient condition for a non-commutative skew polynomial ring

2 R[x,] = { n a

0  a 1 x  a 2 x  ...  a n x  a i  R}, with Aut(R) satisfies xb = (b)x for any b  R where R is an order in a simple Artinian ring Q, to be a GCD-ring. We will start

with the following easy lemmas. Lemma 1. If u is a unit of a ring R with  Aut(R), then  (u) is a unit of R.

Proof. Since u is a unit of a ring R, there exists vR such that uv = 1. Therefore, we get 1=  (1) =  (uv) =  (u)  (v). It means  (u) is a unit of R.

Santi Irawati

Lemma 2. GCD {  (a),  (b)}=  (GCD {a,b}). Proof. Let c = GCD{a,b}. We will show that  (c) = GCD{  (a),  (b)}. Since cR  aR , bR, then a = ce and b = cf, for some e, fR. It implies  (a) =  (ce) =  (c)  (e)  (c)R and  (b) =  (c)  (f)  (c)R. We get  (a)R,  (b)R   (c)R. Let dR such that  (a)R,  (b)R  dR. We will show that  () cR  dR . Since  (a)R  dR and  Aut(R), there exists gR

 1  1  1  such that a = 1  () d  () g   () dR . It means aR   () dR . Dengan cara serupa,  1  1  1  diperoleh bR  1  () dR . Since c = GCD{a,b}, cR   () dR . Then, c =  () d  () t =   1 () dt for some tR. We get  (c) = dtdR and hence  () cR  dR .

By combination of Lemma 1 and Lemma 2, we have Corollary 3. If GCD {a, b}= uU(R), the set of unit elements of R, then GCD {  (a),  (b)} =  (u)U(R).

Let R[x] be a polynomial ring over R in an indeterminate x. If  is an automorphism of R, we have a skew polynomial ring R[x, i  ]=

  a i x a i R  with xb =  (b)x. A

polynomial f(x) = i 

a i x in R[x,  ] is called right primitive polynomial if the GCD of

aaa 0 , 1 , 2 , ..., a n is a unit in R [H:1989]. A finitely generated right ideal I of R is primitive if I is contained in no proper principal right ideal of R. Equivalently, a right ideal I of R is a

primitive right ideal if I = A= f  a i R , for some right primitive polynomial f(x) =

a i x in R[x,  ].

Lemma 4. Let R be a GCD domain and I is a finitely generated right ideal of R. Then, I is

primitive if and only if I = R. Particularly,  () I . R

2 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

The Sufficient Conditions for …

Proof. Assume that I is primitive. Let I =  aR i . Since I is primitive, then GCD

{ aaa 0 , 1 , 2 , ..., a n } = c for some unit cR. It means, a i  c . i and c = a i i for some

 n

i , i R . Therefore, I =  aR i =  cR  i  R = cR =  a i  i R   aR i = I. So, I = R.

Theorem 5. If f(x), g(x) are right primitive polynomials in R[x,  ], then the product f(x)g(x) is also a right primitive polynomial in R[x,  ].

Proof. Let f(x) = j 

a i x and g(x) =  b j x with right GCD{ a 1 , a 2 , ..., a n }= uU(R) and

right GCD { b 1 , b 2 , ..., b m }= vU(R). Then we obtain A= f  a i R and A= g  b j R .

Since f(x)g(x) = i 

c k x with c k   a i  ( b j ) . By rearrangement the terms of the

coefficients of f(x)g(x), we have

A= n

fg  c k R = a 0  b j R + a 1   ( b j ) R +…+ a n   ( b j ) R

0  b j R + a 1  (  b j R ) +…+ a n  (  b j R )

0 A g + a 1  ( A g ) +…+ a n ( A g )

Let dR  i

fg A . We will show that d is a unit of R. Based on Lemma 4, we get  ( A g ) = R for any 0  i  n. Thus, dR  i A

fg a i ( A g ) = a i R implies dR  uR = R. We obtain d is a unit in R. It means that fg A is a primitive ideal of R and hence f(x) g(x) is a right primitive polynomial in R[x,  ].

Bidang Aljabar

Santi Irawati

Corollary 6. If R is a commutative GCD domain and I and J are primitive ideals of R, then IJ is a primitive ideal of R.

A nonzero polynomial f(x) in R[x] is irreducible if f(x) is not a unit and in every factorization f(x) = g(x) h(x), either g(x) or h(x) is a unit in R[x]. A nonzero polynomial f(x) in R[x] is prime if f(x)R[x] is a prime right ideal of R[x], that is, the condition f(x)R[x]  g(x)R[x]h(x)R[x] implies f(x)R[x]  g(x)R[x] or f(x)R[x]  h(x)R[x].

Lemma 7. Let R is a commutative GCD domain. If f(x) is an irreducible polynomial in R[x;], then f(x)R[x;] is a maximal element of any principal right ideal of R[x;]. Proof. If f(x)R[x;]  g(x)R[x;], then either f(x)R[x;]  g(x)R[x;] or f(x)R[x;] = g(x)R[x;]. It means, that f(x)R[x;] is a maximal element of any principal right ideal of R[x;].

Theorem 8. Let R is a commutative GCD domain. If f(x) is an irreducible polynomial in R[x;], then f(x) is prime, that is, f(x)R[x;] is a prime right ideal of R[x;].

Proof.

We will show that if f(x) is an irreducible polynomial in R[x;], then f(x)R[x;] is a maximal right ideal of R[x;] and therefore a prime right ideal of R[x;]. If f(x)R[x;]  g(x)R[x;], then either f(x)R[x;]  g(x)R[x;] or f(x)R[x;] = g(x)R[x;]. It means that f(x)R[x;] is a maximal element of any principal right ideal of R[x;]. Now, suppose that f(x)R[x;]  I where I is a right ideal of R[x;]. Then, there exists g(x)I- f(x)R[x;] such that f(x)R[x;]  f(x)R[x;] + g(x)R[x;]  I. Let f(x) =  i

i a x and g(x) =  j bx

. Since R is GCD domain, there exists a regular element c  R such that c = GCD { i a b }. Let , j a i  c i and b j  c  j for some  i , j  R. Therefore, f(x)R[x;] 

( r

i a x )R[x;] + ( bx j )R[x;] = ( cx  i )R[x;] + ( c  j x )R[x;] = ( cx )R[x;]  cR[x;]. The maximality of f(x) implies c is a unit in R. Hence, I = R which means f(x)R[x;]

is a maximal right ideal of R[x;]. Therefore, f(x) is prime element of R[x;].

4 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

The Sufficient Conditions for …

Theorem 9. Let R is a commutative GCD domain. Then any non-constant primitive polynomial in R[x,  ] can be expressed as a finite product of irreducible polynomials in R[x,  ]. Proof. Let f(x) be a non-constant primitive polynomial in R[x,  ]. If deg f = 1, it is clear that f(x) is irreducible. Assume deg f > 1. If f is irreducible, then it is proved. Now we assume that f is not irreducible, say f(x) = g(x) h(x) for some g(x), h(x)  R[x,  ] where 0 < deg g,

deg h < deg f. Let g(x) = k 

 , and then f(x) = k

nm 

ax i , h(x) =

bx j

cx where

nm 

k   a i  () b j . If g is not primitive, then I = A= g  aR i  cR  R, for some

ijkk  ,  0

regular element cR. Then, for any i we get a i = cr i , for some r i R. It implies A= f

 i cR k =  a i  () bR j = c  r i  () bR j  cR  R, a contradiction. Similarly, if h is not

primitive we will get a contradiction. Therefore, g and h must be primitive polynomials. By hypothesis induction, g and h are products of finite irreducible polynomials in R[x;] and so is f.

Corollary 10. Let R is a commutative GCD domain. Then any non-constant primitive polynomial in R[x,  ] can be expressed as a product of prime polynomials in R[x,  ]. Proof. Use Theorem 9 and Theorem 8.

Theorem 11. Let R is a commutative GCD domain. Then for any primitive irreducible polynomials f(x), g(x) in R[x,  ] such that f(x).g(x) = h(x).f(x), for some h(x) in R[x,  ], then h(x) is primitive irreducible polynomial. Proof. By using Theorem 5, if f(x), g(x) are primitive polynomials in R[x,  ] then f(x).g(x)

also a primitive polynomial in R[x,  ] or fg A is a primitive ideal of R ……...( # ).

It implies that h(x) must be primitive since otherwise, if h(x) = j  dx j then A h =  dR j

 cR  R for some regular element cR. If f(x) = i 

ax i , we have h(x).f(x) =

Bidang Aljabar

Santi Irawati

 j  dx j    ax i  =  d j  () ax i and then A= fg A= hf  d j  () aR i 

 j  0   i  0  ij  0 ij  0

 dR j  cR  R which contradicts ( # ). Now, suppose that h(x) is not irreducible polynomial. Then either, h(x) is a unit or h(x) is decomposable. If h(x) is a unit, then f(x).g(x)

 1  1 = h(x).f(x) implies h i A=

f A= hf fg A and then A= f h A= hf h  a i  () bR j =

a i  () bhR j =  a i  () bR j = fg A since h is also a unit in R. From A= f fg A , we

get f(x) = f(x).g(x) or g(x) = 1, a contradiction. Next, if h(x) is decomposable then by Theorem

9 there exist irreducible polynomials d 1 (x), d 2 (x) , …, d n (x) in R[x,  ] such that h(x) =

d 1 (x) d 2 (x) … d n (x). Therefore, f(x).g(x) = d 1 (x) d 2 (x)… d n (x) f(x)  d 1 (x) R[x,  ] …………... ( ## ) Since d 1 (x) R[x,  ] is a prime right ideal of R[x,  ] by Theorem 8 and f(x), g(x) are primitive irreducible polynomials, then f(x), g(x)  d 1 (x) R[x,  ] which implies f(x)g(x)  f(x)R[x,  ]g(x)  d 1 (x) R[x,  ]. This contradicts ( ## ). So, h(x) should be an irreducible polynomial in R[x,  ].

Corollary 12. Let R is a commutative GCD domain. Then any non-unit primitive polynomial

1 2 () x … p n n () x where px i () are primes and  i 0 .

f(x) in R[x,   ] can be factorized as f(x) = p 1 () x p 2

Theorem 13. Let R is a commutative GCD domain. Then for any primitive irreducible polynomials f(x), g(x) in R[x,  ], there exists a primitive polynomial h(x) in R[x,  ] such that h(x) is a right GCD of f(x) and g(x).

Proof. Let f(x) =  p 1

1 () x p 2 2 () x … p n n () x and g(x) = p 1 1 () x p 2 () x … p 2 n n () x with

0 . If we choose h(x) = p 1 () x p 2 () x … p n () x with  i = min {  i , i }, then h(x) is right GCD of f(x) and g(x).

 px n

i () are primes and 

6 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

The Sufficient Conditions for …

For a ring R, we denote by U(R) the set of all units of R and by C R (0) the set of all regular elements of R. Let C be a multiplicatively closed subset of a ring R. We say that R

satisfies the right Ore condition with respect to C or that C is called a right Ore set of R if, for any a R and c C, there exist b R and d C such that ad = cb. If C  C R (0), then it is called a regular right Ore set of R. Similarly, we can define a (regular) left Ore set of R. If C

is a (regular) right and left Ore set of R, then it is simply called (regular) Ore set of R. Let C

be a regular right Ore set of a ring R. An overring T of R is called the right quotient ring of R with respect to C if (i) c U(T ) for any c C and (ii) for any q  T, there exist a R and c

C . We note that for a multiplicative subset C of R with C  C R (0), the right quotient ring R C of R with respect to C exists if and only if C is a regular right Ore set of R ([MMU]: 1997).

 C such that q = a 1 c . We denote the ring T by R

A subring R of a ring Q is called a right order in Q if Q is the right quotient ring of R with respect to C R (0), and sometimes we denote the ring Q by Q(R). In particular, R is a right

order in Q if and only if C R (0) is a right Ore set of R. Similarly, we can define a left order in Q and a ring which is both a right and left order in Q is called an order in Q.

Let R be an order in a simple Artinian ring Q. If  Aut(R), then we can extend to  1 be an automorphism on Q by -1  (a b)=  (a)  (c) for a,bR and b is a regular element of

R. A right R-submodule I of Q is called a right R-ideal if aR  I  bR, for some units a,b in Q. A left R-ideal of Q is defined similarly and an R-ideal of Q, we mean a right R-ideal which is also a left R-ideal. For A and B any subsets of a simple Artinian ring Q, we set

(A:B) l = {qR qA B } and (A:B) r = {qR Aq  B }. For any right R-ideal I of Q, we set

I v = (R:(R:I) l ) r . If I = I v , then we call I a right v –(I)-ideal of Q. A left v –(I)-ideal J of Q is defined similarly, J = v J = (R:(R:J) r ) l . An R-ideal A is said to be a v –(I)-ideal if A v =A= v A. R is a right v -Bezout ring if there exists a regular element cQ, such that I v = cR for any finitely generated R-ideal I.

Bidang Aljabar

Santi Irawati

Theorem 14. Let R be an order in a simple Artinian ring Q. If R is commutative GCD domain, then any nonzero polynomial f(x) in Q[x,  ] is uniquely expressible as f(x) =

a fx 1 () , where a  Q and fx 1 () is a primitive polynomial in Q[x,  ].

 Proof. Let f(x) = 1 

ax i , a i  Q. There exist b i , d  R, d  0 such that a i = bd i . Since

 1 R is GCD domain, we have b = GCD { i b

i } for some b  R. Then, f (x) =  bdx i =

b ()  i dx =a fx 1 () , where a = bd  Q and fx 1 () =  i x is a a primitive polynomial in Q[x,  ]. Now, if a fx 1 () =b f 2 ( x ) with a, b  Q and fx 1 () , f 2 ( x ) are primitive polynomials in R[x,  ] then aR = a ( A) f 1 v = ( A) af 1 v = ( A) bf 2 v =b ( A) f 2 v = bR. It means a and b differs by units in R and so f 1 and f 2 differs by units in R.

Theorem 15. Let R be an order in a simple Artinian ring Q. If R is a GCD domain and a right invariant ring, then R [x,  ] is a right GCD domain, that is, for any non-constant polynomials f(x), g(x) in R[x,  ], there exists h(x) in R[x,  ] such that h(x) is a right GCD of f(x) and g(x). Proof. Let f(x) and g(x) are any non-constant polynomials in R[x,  ]. By Theorem 14, we

write f(x) = a fx 1 () and g(x) = b fx 2 () , for some a, b  Q and fx 1 () , f 2 ( x ) are primitive polynomials in R[x,  ]. Since R is GCD domain and by Theorem 13, there exist c in R and a

primitive polynomial h(x) in R[x,  ] such that c = GCD {a,b} and h(x) = right GCD {f(x), g(x)}. We show that ch(x) is GCD of f(x) and g(x).

c = GCD {a,b}  cR  aR a=c a 1 , for some a 1  R. h(x) = right GCD {f(x), g(x)}  h(x)R[x,  ] fx 1 () R[x,  ] fx 1 () = h(x)r(x), for some r(x)  R[x,  ]. Since We get f(x) = a fx 1 () = (c a 1 ) h(x)r(x)  cR[x,  ] h(x)r(x)  ch(x)R[x,  ]. Now, let t(x)R[x,  ]  f(x)R[x,  ], g(x)R[x,  ]. We will show that t(x)R[x,  ]  ch(x)R[x,  ]. Let t(x) = d tx 1 () for some d  R and primitive polynomial tx 1 () in R[x,  ]. Since t(x)R[x,  ]  f(x)R[x,  ] , then f(x) = t(x) k(x) for some k(x)  R[x,  ].

8 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

The Sufficient Conditions for …

k(x) = e kx 1 () for some e  R and primitive polynomial kx 1 () in R[x,  ]. Therefore,

a fx 1 () = f(x) = t(x) k(x) = [d tx 1 () ] [e kx 1 () ]=d e 0 tx 1 () kx 1 () .

This means dR  aR and tx 1 () R[x,  ] fx 1 () R[x,  ]. Similarly, we get dR  bR and tx 1 () R[x,  ] fx 2 () R[x,  ]. Since c = GCD {a,b} and h(x) = right GCD {f(x), g(x)}, then

we obtain t(x)R[x,  ]= d tx 1 () R[x,  ]  ch(x)R[x,  ].

References:

[G] Gilmer R., Multiplicative Ideal Theory, Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics, 90 Queen’s University, 1992.

[H] Hungerford, T.W. Algebra, Springer-Verlag, New York, 1989 (Fifth printing). [MMU] Marubayashi H, Miyamoto, H., and Ueda A. Non-commutative Valuation rings

and semi hereditary orders, K-Monographs in Math. 3, Kluwer Academic Publishers,1997.

Bidang Aljabar

Lapangan yang Memenuhi Sifat Unit 1-Stable Range

Indriati Nurul Hidayah dosen jurusan Matematika Universitas Negeri Malang

Abstrak

Untuk sebarang gelanggang R, pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen

(1)Jika abx ,,  R memenuhi ax b  1 maka ada suatu uUR  () sehingga  a bu U R  () . (2) Jika ab ,  R memenuhi aR bR   R maka ada suatu uUR  ()

sedemikian

 a bu U R  () .(3 )Jika aa 1 , 2 ,..., a n  R memenuhi aRaR 1  2  ... aR n  R maka ada suatu uu 1 , ,..., 2 u n  UR () sehingga au 11  au 22  ... au nn  1 . Gelanggang R

hingga

memenuhi sifat unit 1-stable range jika salah satu kondisi pada pernyataan di atas memenuhi dalam R . Dalam tulisan ini akan dibahas bahwa lapangan F dengan sifat tertentu memenuhi sifat unit 1-stable range. Kemudian diberikan contohnya pada

lapangan bilangan kompleks dan terakhir akan diberikan bahwa Himpunan matriks atas lapangan F dengan sifat tertentu juga memenuhi sifat unit 1-stable range.

Kata kunci : Gelanggang yang memenuhi sifat unit 1-stable range, lapangan, matriks atas lapangan F.

Abstract

For any ring R, these statements are equivalent: (1) if abx ,,  R satisfies ax b  1 then there exists uUR  () such that

 a bu U R  () (2). if

ab ,  R satisfies

uUR  () such that  a bu U R  () (3).

aR bR   R then there exists

aa 1 , 2 ,..., a n  R satisfies

then

there exist

uu 1 , ,..., 2 u n  UR () such that au 11  au 22  ... au nn  1 . Ring R satisfies 1-stable

range unit property if one of three conditions of those statements are satisfied in R. In this study, it will be discussed that a field F with special properties satisfies 1-stable range unit property. Moreover, it will be provided the examples of a complex field and a matrix ring over a field F with special properties that satisfy 1-stable range unit property.

Key words : Ring R satisfies 1-stable range , field, matrix ring over a field F

Dalam tulisan ini akan dibahas tentang definisi gelanggang yang memenuhi sifat unit 1-stable range, keberlakuan sifat unit 1-stable range pada lapangan, contohnya dan sifat bahwa matriks atas lapangan

F tersebut juga memenuhi sifat unit 1-stable range.

Lapangan yang Memenuhi Sifat ...

Pendefinisian gelanggang yang memenuhi sifat unit 1-stable range berdasarkan pada teorema yang dikemukakan oleh Goodearl pada tahun 1988. Berikut ini akan dibahas definisi tentang gelanggang yang memenuhi sifat unit 1-stable range. Pendefinisiannya berdasarkan pada teorema yang dikemukakan oleh Goodearl.

Teorema 1 : Diketahui gelanggang R. Pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen:

1. Jika abx ,,  R memenuhi ax b  1 maka ada suatu uUR  () sehingga  a bu U R  ()

2. Jika ab ,  R memenuhi aR bR   R maka ada suatu uUR  () sedemikian hingga  a bu U R  () .

3. Jika aa 1 , 2 ,..., a n  R memenuhi aRaR 1  2  ... aR n  R maka ada suatu uu 1 , ,..., 2 u n  UR () sehingga au 11  au 22  ... au nn  1

Definisi 2 (Goodearl,1988): Gelanggang R dikatakan memenuhi sifat unit 1- stable range jika salah satu kondisi pada teorema 1 memenuhi dalam R.

Contoh gelanggang yang memenuhi sifat unit 1-stable range adalah gelanggang bilangan rasional dan contoh gelanggang yang tidak memenuhi sifat unit 1-stable range adalah gelanggang bilangan bulat modulo 2.

Dalam hubungan dengan gelanggang bagian , jika S gelanggang bagian R dengan R adalah gelanggang yang memenuhi sifat unit 1-stable range maka S belum tentu memenuhi sifat unit 1-stable range, seperti pada gelanggang bilangan bulat Z sebagai gelanggang bagian dari gelanggang bilangan rasional yang memenuhi sifat unit 1-stable range, tapi Z tidak memenuhi sifat unit 1-stable range .

Sifat-sifat yang berlaku pada gelanggang yang memenuhi sifat unit 1-stable range antara lain:

Bidang Aljabar

Indriati Nurul Hidayah

R . Jika untuk setiap xy ,  ada R  uUR 1  () sehingga xuUR  () dan yu   UR () maka R memenuhi sifat unit 1-

stable range.

Teorema 4 (Chen,1998) Jika R gelanggang maka pernyataan berikut ini ekuivalen:

1. R memenuhi sifat unit 1-stable range

2. Untuk sebarang xy ,  ada R uUR  () sedemikian hingga 1  xyu (  ) UR ()

3. Jika ax b   dalam R maka ada 1 vUR  () sedemikian hingga x vb U R   () Lapangan F merupakan gelanggang komutatif dengan elemen identitas yang setiap

unsurnya mempunyai invers. Dalam hubungannya dengan sifat unit 1-stable range, didapat teorema sebagai berikut:

Teorema 5: Jika F lapangan dengan 2 a 0 untuk setiap a  F , maka F memenuhi sifat unit 1-stable range.

Bukti: Akan dibuktikan aF  bF  F jika a 0 atau b 0

Akan dibuktikan aF  bF  F untuk a , b  F dan a 0 atau b  . Ambil 0

af 1  bf 2  aF  bF . Jelas bahwa af 1  bf 2  F .

Akan dibuktikan F  aF  bF untuk a , b  F dan a 0 atau b 0 . Ambil sebarang

f F akan dibuktikan f  af 1  bf 2 .

2  fb atau f 1  fa . Jika a 0 dan b 0 maka  f 1  a

 1  Jika 1 a  0 atau b  0 maka f

1   ( f  a ) b  . Jadi f  aF  bF .

Terbukti bahwa aF  bF  F jika a  0 atau b  0 .

Perlu ditunjukkan bahwa ada u  U ( F )  F  { 0 } sedemikian hingga a  bu  U (F ) . Sedangkan a  bu  U (F ) jika dan hanya jika a  bu  F dan a  bu  0 .

Pilih u  , 1 elemen identitas terhadap perkalian di F, maka a 1   sehingga b a  bu  0 .

Pilih u   maka a 1   sehingga b  a bu  2 a . 0

12 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

Lapangan yang Memenuhi Sifat ...

Matriks atas gelanggang R yang dilambangkan dengan M n (R ) merupakan salah satu contoh gelanggang. Sudah banyak buku-buku atau artikel-artikel yang menyatakan

keterkaitan sifat antara gelanggang R dengan matriks atas gelanggang R. Salah satunya adalah yang berkaitan dengan elemen identitas, yaitu jika gelanggang R mempunyai elemen

identitas terhadap perkalian maka M n (R ) juga mempunyai elemen identitas terhadap perkalian. Namun tidak demikian halnya dengan sifat komutatif, jika gelanggang R bersifat komutatif maka M n (R ) belum tentu bersifat komutatif..

Teorema berikut ini akan menjelaskan keterkaitan antara gelanggang R dengan gelanggang matriks atas gelanggang R dalam hal sifat unit 1-stable range, yaitu

Teorema 6 (Chen,1998) Jika gelanggang R memenuhi unit 1-stable range maka demikian juga MR n () untuk sebarang n. 1

Dari teorema yang dikemukakan oleh Chen tersebut, didapat teorema akibat sebagai berikut: Teorema Akibat : Jika F lapangan dengan 2 a  , untuk setiap 0 a  , maka F M n (F ) memenuhi sifat unit 1-stable range.

Bukti: Menurut teorema 5, jika F lapangan dengan 2 a  , untuk setiap 0 a  , maka F F memenuhi sifat unit 1-stable range. Akibatnya dengan menggunakan teorema 6 maka M n (F ) juga memenuhi sifat unit 1-stable range.

DAFTAR PUSTAKA

Adkins, W.a. & Weintreub, S.H. 1992, Algebra: An Approach via Module Theory, Springer- Verlag, New York.

Brown, William C.,1992, Matrices over Commutative Rings, Marcel-Dekker, New York. Goodearl, K.R.; Menal,P.,1988, .Stable Range One for Rings with Many Units, J.Pure Appl.

Algebra, 54,261-287 Chen, H., 1988, Rings with Stable Range Condition, Comm. Algebra, 26(11), 3653-3668.

Bidang Aljabar

Aljabar Max-Plus Interval

M. Andy Rudhito Mahasiswa S3 Matematika FMIPA UGM, Staff Pengajar Jurusan PMIPA FKIP USD Paingan Maguwoharjo Yogyakarta rudhito@staff.usd.ac.id Sri Wahyuni Jurusan Matematika FMIPA UGM. Sekip Utara, Yogyakarta swahyuni@ugm.ac.id , swahyuni@indosat.net.id Ari Suparwanto

Jurusan Matematika FMIPA UGM. Sekip Utara, Yogyakarta ari_suparwanto@yahoo.com

F. Susilo, S.J. Jurusan Matematika FST USD. Paingan Maguwoharjo Yogyakarta fsusilo@staff.usd.ac.id

Abstrak

Makalah ini membahas suatu aljabar himpunan semua interval dalam aljabar max- plus yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan. Aljabar ini merupakan perluasan aljabar max-plus dan dapat menjadi dasar pembahasan aljabar max-plus bilangan kabur melalui Teorema Dekomposisi dalam himpunan kabur.

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua interval dalam aljabar max-plus yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan merupakan semiring idempoten komutatif. Semiring idempoten komutatif ini disebut aljabar max-plus interval. Gabungan himpunan semua interval dan himpunan semua interval tak sejati dalam aljabar max-plus yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan merupakan semifield. Semifield ini disebut aljabar max-plus interval tergeneralisasi.

Kata-kata kunci : semiring , idempoten, aljabar max-plus, interval.

1. Pendahuluan

Aljabar max-plus (himpunan R {}, dengan R adalah himpunan semua bilangan real, yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan) telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis jaringan, seperti penjadwalan proyek, sistem produksi, jaringan antrian, dan sebagainya. Pemodelan dan analisa suatu jaringan dengan pendekatan ini dapat memberikan hasil analitis dan lebih mudah pada komputasinya, seperti dalam Bacelli, et al. (2001), Rudhito, A. (2004), Krivulin, N.K. (2001). Pemodelan tersebut kebanyakan masih berupa model deterministik, di mana waktu aktifitas pada jaringan berupa bilangan real. Pada kenyataanya, oleh karena beberapa faktor, misalkan operator mesin, kadang waktu aktifitas pada jaringan tidak pasti. Dalam masalah ini, aljabar max-plus telah dikembangkan untuk model stokastik, di mana waktu aktifitasnya berupa peubah acak,

Aljabar Max-Plus Interval

seperti dalam Bacelli, et al. (2001) dan B. Heidergott, B., et. al. (2005). Peubah acak dalam model stokastik diasumsikan mengikuti suatu distribusi peluang tertentu. Distribusi ini biasanya disusun berdasarkan data-data yang diperoleh setelah jaringan dioperasikan untuk jangka waktu tertentu.

Dalam masalah pemodelan dan analisa suatu jaringan di mana waktu aktifitasnya belum diketahui, misalkan karena masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktifitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya. Waktu aktifitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman maupun pendapat dari para ahli maupun operator jaringan tersebut. Untuk itu waktu aktifitas jaringan dimodelkan dalam suatu bilangan kabur (fuzzy number). Akhir-akhir ini telah berkembang pemodelan jaringan yang melibatkan bilangan kabur. Untuk masalah penjadwalan yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada Chanas, S., Zielinski, P. (2001). Sedangkan untuk masalah model jaringan antrian yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada Lüthi, J., Haring, G. (1997).

2. Aljabar Max-Plus

Dalam bagian ini dibahas konsep dasar aljabar max-plus. Pembahasan selengkapnya dapat dilihat pada Baccelli et.al (1992), Rudhito A (2003) dan Schutter (1996). Suatu semiring (S, , ) adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan dua operasi biner  dan , yang memenuhi aksioma berikut:

i) (S,  ) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu a, b, c  S:

(a  b)  c = a  (b  c) , a  b = b  a , a  0 = a .

ii) (S, ) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu a, b, c  S :

Bidang Aljabar

M. Andy Rudhito, dkk

(a  b)  c = a  (b  c) , a  1 = 1  a = a ,

iii) Elemen netral 0 merupakan elemen penyerap terhadap operasi , yaitu a  S :

a  0 = 0  a = 0.

iv) Operasi  distributif terhadap  , yaitu a, b, c  S :

(a  b)  c = (a  c)  (b  c) , a  ( b  c ) = (a  b)  (a  c) .

Semiring (S, , ) dikatakan idempoten jika operasi  bersifat idempoten, yaitu a  S :

a  a =a, dan dikatakan komutatif jika operasi  bersifat komutatif. Suatu semiring komutatif (S, , ) disebut semifield jika setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi . Jika (S, + ) merupakan semigrup komutatif idempoten maka relasi “  ” yang

didefinisikan pada S dengan x  y  x + y = y merupakan urutan parsial pada S. Operasi  dan  dikatakan konsisten terhadap urutan “  ” dalam S bhb jika x  y, maka x + z  y+z dan x  z  y  z ,  x, y, z  S. Dapat ditunjukkan bahwa dalam semiring idempoten (S, +, ) operasi + dan  konsisten terhadap urutan  dalam S. Semiring (S, , ) dengan elemen netral 0 dikatakan tidak memuat pembagi nol bhb jika x  y = 0 maka x = 0 atau y = 0 ,  x,

y  S. Diberikan R  := R { } dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan  : = . Pada R  didefinisikan operasi berikut:

a,b  R  , a  b := max(a, b) dan a  b : = a  b.

Dapat ditunjukkan bahwa (R  , , ) merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral  =  dan elemen satuan e = 0. Lebih lanjut (R  , , ) merupakan semifield, yaitu bahwa (R  , , ) merupakan semiring komutatif di mana untuk setiap a  terdapat a sehingga berlaku a  (a) = 0. Kemudian (R  , , ) disebut dengan aljabar max-plus, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan R max .

Dalam hal urutan pengoperasian (jika tanda kurang tidak dituliskan), operasi  mempunyai prioritas yang lebih tinggi dari pada operasi . Karena (R max , ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka relasi “  m ” yang didefinisikan pada R max dengan x  m

y  x  y = y merupakan urutan parsial pada R max . Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada R max . Karena R max merupakan semiring idempoten, maka operasi  dan 

16 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

Aljabar Max-Plus Interval

konsisten terhadap urutan  m , yaitu a, b, c  R max , jika a  m b , maka a  c  m b  c, dan ac  m b  c. Aljabar max-pus R max tidak memuat pembagi nol yaitu  x, y  R  berlaku: jika x  y =  maka x =  atau y = .

3. Aljabar Max-Plus Interval

Berikut dibahas aljabar max-plus interval yang merupakan perluasan aljabar max-plus dan akan digunakan sebagai dasar pembahasan aljabar max-plus bilangan kabur melalui Teorema Dekomposisi. Ide pembahasan didasarkan pada analisis idempoten interval dalam Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. (2001)

Definisi 1

Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dengan relasi  . Suatu interval (tertutup) dalam S adalah himpunan bagian S yang berbentuk x = [ x , x ]={xS x x x }, dengan x ,

x  S berturut-turut disebut batas bawah dan batas atas interval [ x , x ]. Misalkan x dan y adalah interval dalam S. Perhatikan bahwa interval x  y jika dan

hanya jika y x  x  y . Secara khusus x = y jika dan hanya jika x = y dan x = y . Sebuah interval dengan x dengan x = x merepresentasi suatu elemen dalam S.

Contoh 1

Telah diketahui bahwa R max merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi  m . Interval dalam R max berbentuk x = [ x , x ]={xR max  x  m x x m }. Bilangan x  R max dapat dinyatakan dengan menggunakan interval x = [x, x]. Interval dalam R max misalnya [2, 3], [4,

1], [0, 0] = 0 dan [, ] = .

Definisi 2

Diberikan (S, +, ) adalah suatu semiring idempoten dan tidak memuat pembagi nol, dengan elemen netral 0. Didefinisikan

I(S) = { x = [ x , x ] x , x S,0  x  x } {[0, 0]}.

Pada I(S) didefinisikan operasi  dan  dengan:

xy=[ x + y, x + y ] dan x  y=[ x y, x  y ] ,  x, y  I(S).

Bidang Aljabar

M. Andy Rudhito, dkk

Teorema 1

(I(S),  ,  ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral 0 I = [0, 0] dan elemen satuan 1 I = [1, 1].

Bukti:

Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa I(S) tertutup terhadap operasi  dan  seperti yang didefinisikan pada Definisi 2 di atas. Ambil sembarang x, y  I(S). Jika salah satu dari x, y sama dengan [0, 0], maka x  y adalah interval itu sendiri dan x  y = [0, 0] , sedangkan jika keduanya sama dengan [0, 0], maka x  y dan x  y keduanya sama dengan [0, 0]. Jika x, y keduanya  [0, 0], maka x , x  S dan 0  x  x , y, y S

dan 0  y y . Karena 0  x , maka 0  x dan x  0, juga karena 0  y , maka 0  y dan y  0 . Karena 0 + ( x + y)= x + y , maka 0  x + y , dan karena x  0 dan y  0 maka x + y  0. Hal ini berarti 0 x + y . Karena x  x , y  S dan S semiring idempoten, maka operasi + konsisten terhadap urutan  , maka x + y x + y . Karena

y y , x  S dan S konsisten terhadap + maka x + y x + y . Oleh karena itu x + y  x + y . Jadi 0 x + y x + y , yang berarti x  y  I(S). Dengan cara yang sama

seperti pada operasi  di atas dapat ditunjukkan bahwa 0  x  y . Karena x  0 dan y 

0 serta S tidak memuat pembagi nol, maka x  y  0. Hal ini berarti 0 x  y . Dengan

cara yang sama seperti pada operasi  di atas dapat ditunjukkan bahwa x y x  y . Jadi 0  x y x  y , yang berarti x  y  I(S).

Selanjutnya karena operasi-operasi  dan  pada (I(S),) didefinisikan komponen demi komponen dari S, maka sifat-sifat pada (I(S),  ,  ) mengikuti seluruh sifat-sifat pada (S, +, ) yang merupakan semiring idempoten, dengan elemen netral 0 dan elemen satuan 1 . Dengan demikian terbukti bahwa (I(S),  ,  ) merupakan semiring idempoten komutatif

dengan elemen netral 0 I = [0, 0] dan elemen satuan 1 I = [1, 1]. ■

Teorema 2

Untuk operasi  dan  yang didefinisikan pada (I(S) berlaku x  y=[ x + y, x + y ] = inf{z  I(S) z  x + y} dan

x  y=[ x y, x  y ] = inf{z  I(S) z  x  y}, x, y I(S), di mana x + y = {t  S  t = x + y , x  x , y  y} dan

x  y = {t  S  t = x  y , x  x , y  y}.

18 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

Aljabar Max-Plus Interval

Bukti:

Akan dibuktikan untuk operasi  . Untuk operasi  dapat dilakukan dengan cara yang sama. Andaikan z  I (S) sedemikian hingga x + y  z. Karena x+ y  x + y  z dan x +

y  x + y  z , maka z  x + y dan x + y  z. Karena x + y  x + y , maka [ x+ y, x + y ]  z. Ambil sembarang t  x + y dan misalkan x  x dan y  y sedemikian hingga t = x + y. Menurut definisi interval di atas, berlaku xx x dan yy y . Karena operasi + konsisten terhadap urutan  , maka x+ yx+yx+ y , sehingga x + y  [ x+ y,

x + y ]. Jadi x  y = inf { z  S  z  x + y} = [ x+ y, x + y ]. ■ Dengan kata lain Teorema di atas mengatakan bahwa [ x + y, x + y ] adalah interval

terkecil yang memuat himpunan x + y. Lebih khususnya batas-batas x  y termuat dalam x + y. Demikan juga untuk x  y.

Karena (I(S),  ) merupakan semigrup komutatif, maka relasi “  I ” yang didefinisikan pada I(S) dengan x  I yxy=y x y dan x  y merupakan

urutan parsial pada I(S).

Contoh 2

Telah diketahui (R  , , ) merupakan semiring idempoten dan tidak memuat pembagi nol, dengan elemen netral . Didefinisikan

I(R)  ={x=[ x, x ] x, x R,  m x  m x } {[, ]}.

Pada I()  didefinisikan operasi  dan  dengan:

xy=[ x y, x  y ] dan x  y = [ x y, x  y ] ,  x, y  I(R)  . Misalnya [1, 1]  [1, 3] = [1, 3] dan [1, 1]  [1, 3] = [0, 4].

Menurut Teorema 2 di atas (I(R)  ,  ,  ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral  = [, ] dan elemen satuan 0 = [0, 0]. Lebih lanjut karena (R  , , ) merupakan

semiring idempoten komutatif, maka (I(R)  ,  ,  ) merupakan semiring idempoten komutatif. Selanjutnya (I(R)  ,  ,  ) disebut dengan aljabar max-plus interval yang cukup

dituliskan dengan I(R) max .

Bidang Aljabar

M. Andy Rudhito, dkk

Semiring idempoten komutatif (I(R)  ,  ,  ) bukan merupakan semifield, karena tidak setiap elemen tak netralnya mempunyai invers. Elemen satuan, yaitu 0 = [0, 0] berupa bilangan real. Elemen tak netral yang mempunyai invers hanya elemen yang berupa bilangan real x = [x, x], dengan x  0. Sementara untuk x = [ x, x ] dengan   m x x m tidak

mempunyai invers. Perhatikan untuk  x = [ x , x ], didapat bahwa x  (x) = [ x  ( x ), x   x ] , yang berupa interval dengan panjang 2 x 2x.

Karena (I(R)  , ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka relasi “  Im ” yang didefinisikan pada I(R) max dengan x  Im y  x  y = y merupakan urutan parsial pada I(R) max . Perhatikan bahwa x  y = y  x  m y dan x y m . Relasi “  Im ” ini bukan merupakan urutan total, karena terdapat x = [1, 3] dan y = [0, 1] dengan x  y = [1, 3]

 [0, 1] = [0, 3] , sehingga x  y  y dan x  y  x. Berikut didefinisikan pengertian interval taksejati (improper interval) yang akan

berperan sebagai invers terhadap  . Hal ini diharapkan akan mempermudah dalam pengoperasian interval.

Definisi 3

Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dengan relasi  . Suatu interval tak sejati dalam S adalah suatu bentuk [ x , x ] , dengan x , x  S dan x  x . Suatu interval tak sejati [ x ,

x * ] dalam S kadang akan cukup dituliskan dengan x , di mana x =[ x , x ]. Interval x = [ x , x ]  I(S) disebut dengan interval sejati.

Definisi 4

Diberikan (S, +, ) adalah suatu semiring idempoten dan tidak memuat pembagi nol, dengan elemen netral 0. Didefinisikan

I * (S) = { x = [ x , x ] x , x S,0  x  x } dan I(S) = I(S)  I(S).

Teorema 4

Jika (S, +, ) adalah suatu semifield, maka (I(S) * ,,  ), dengan operasi yang serupa dengan definisi operasi pada I(S), merupakan semifield.

20 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

Aljabar Max-Plus Interval

Bukti:

Dengan operasi yang serupa dengan operasi pada I(S), jelas bahwa (I(S) * ,,  ) merupakan semiring komutatif , dengan elemen netral 0 = [0, 0] dan elemen satuan 1 = [1, 1]. Untuk

setiap [ 1 x , x ]  [0, 0], karena (S, +, ) adalah suatu semifield, maka terdapat x , x  S, sehingga

x 1 +( x ) = 1 dan x +( x ) = 1. Dengan demikan untuk setiap [ x , x ]  [0, 0] 

(I(S) * , terdapat [ x , x ] sehingga [ x , x ]  [ x , x ] = [1, 1]. Jadi (I(S) ,,  ) merupakan semifield. ■

Untuk setiap interval x = [ * x , x ] anggota semifield interval I(S) , [ x , x ] disebut lawan (oppsite) dari x dan dilambangkan dengan opp(x). Dengan demikian diperoleh bahwa

x  opp(x) = [0, 0].

Akibat 5

Aljabar I(R) * max = (I(R)  ,  ,  ) merupakan semifield.

Bukti:

Telah diketahui (R *  , , ) merupakan semifield, sehingga (I(R)  ,  ,  ) merupakan

semifield. Untuk setiap [ * x , x ]  [0, 0]  I(R) max , terdapat [ x , x ]  I(R) max sehingga [ x , x ]  [ x , x ] = [0, 0].

Semifield I(R) * max seperti di atas disebut aljabar max-plus interval tergeneralisasi. Dengan demikian untuk interval a, b  I(R) *

max , persamaan aljabar max-plus interval a  x = b mempunyai penyelesaian interval x = b  opp(a). Hal ini karena berlaku bahwa a  (b  opp(a)) = (a  opp(a))  b = 0  b.

Contoh 3

Persamaan interval max-plus [1, 2]  [ x , x ] = [3, 5] mempunyai penyelesaian interval x = [3, 5]  opp([1, 2]) = [3, 5]  [1, 2] = [2, 3]. Perhatikan bahwa [2, 3] memenuhi

persamaan interval di atas, yaitu bahwa [1, 2]  [2, 3] = [3, 5].

4. Penutup

Dalam pemodelan suatu sistem jaringan dengan pendekatan aljabar max-plus, graf untuk jaringan tersebut dinyatakan dengan menggunakan matriks, dengan unsur-unsurnya

Bidang Aljabar

M. Andy Rudhito, dkk

menyatakan waktu aktifitas antar titik pada jaringan tersebut. Pemodelan waktu aktifitas jaringan dengan menggunakan bilangan kabur dengan pendekatan aljabar max-plus akan terkait dengan matriks yang unsur-unsurnya berupa bilangan kabur. Lebih lanjut dapat dibahas matriks atas aljabar max-plus interval, di mana operasi-operasinya merupakan perluasan dari operasi-operasi pada aljabar max-plus interval.

Daftar Pustaka

Bacelli, F., et al. 2001. Synchronization and Linearity. New York: John Wiley & Sons. Boom, T.J.J., et al. 2003. , Identification of stochastic max-plus-linear systems. Proceedings

of the 2003 European Control Conference (ECC'03), Cambridge, UK, 6 pp., Sept. 2003. Paper 104.

B. Heidergott, B., et. al. (2005). Max Plus at Work. Princeton: Princeton University Press. Chanas, S., Zielinski, P. 2001. Critical path analysis in the network with fuzzy activity times.

Fuzzy Sets and Systems. 122 (2001) 195–204. Litvinov, G.L., Sobolevskii, A.N. 2001. Idempotent Interval Anaysis and Optimization

Problems. Reliab. Comput., 7, 353 – 377 (2001); arXiv: math.SC/010180. Lüthi, J., Haring, G. 1997. Fuzzy Queueing Network Models of Computing Systems.

Proceedings of the 13th UK Performance Engineering Workshop, Ilkley, UK, Edinburgh University Press, July 1997.

Rudhito, Andy. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta.

Schutter, B. De., 1996, Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems, PhD

thesis Departement of Electrical Enginering Katholieke Universiteit Leuven, Leuven. Susilo, F. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Edisi kedua. Yogyakarta.

Graha Ilmu.

22 Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

Matriks Atas Aljabar Max-Plus Interval

Jurusan Matematika FMIPA UGM. Sekip Utara, Yogyakarta ari_suparwanto@yahoo.com

F. Susilo, S.J. Jurusan Matematika FST USD. Paingan Maguwoharjo Yogyakarta fsusilo@staff.usd.ac.id

Abstrak

Makalah ini membahas aljabar matriks atas aljabar max-plus interval (matriks interval) dan suatu cara untuk mempermudah pengoperasian matriks interval melalui interval matriksnya. Aljabar matriks ini merupakan perluasan aljabar matriks atas aljabar max-plus dan dapat menjadi dasar pembahasan aljabar matriks max-plus bilangan kabur melalui Teorema Dekomposisi.

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua matriks interval yang dilengkapi dengan operasi perkalian skalar max-plus dan penjumlahan max-plus merupakan semimodul. Himpunan semua matriks persegi atas aljabar max-plus interval yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan max-plus dan perkalian max-plus merupakan semiring idempoten. Sebagai jaminan dapat dilakukan pengoperasian matriks interval melalui interval matriksnya, ditunjukkan bahwa semimodul himpunan semua matriks interval isomorfis dengan semimodul himpunan interval matriks yang bersesuaian, dan semiring himpunan semua matriks interval persegi isomorfis dengan semiring himpunan interval matriks persegi yang bersesuaian.

Kata-kata kunci : semiring, idempoten, aljabar max-plus, interval, aljabar matriks.

1. Pendahuluan

Pemodelan dan analisa suatu jaringan dengan pendekatan aljabar max-plus dapat memberikan hasil analitis dan lebih mudah pada komputasinya, seperti dalam Bacelli, et al. (2001), Rudhito, A. (2004), Krivulin, N.K. (2001). Dalam masalah pemodelan dan analisa suatu jaringan di mana waktu aktifitasnya belum diketahui, misalkan karena masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktifitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya. Waktu aktifitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman maupun pendapat dari para ahli maupun operator jaringan tersebut. Untuk itu waktu aktifitas jaringan dimodelkan dalam suatu bilangan kabur (fuzzy number). Akhir-akhir ini telah berkembang

M. Andy Rudhito, dkk

pemodelan jaringan yang melibatkan bilangan kabur. Untuk masalah penjadwalan yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada Chanas, S., Zielinski, P. (2001), sedangkan untuk masalah model jaringan antrian yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada Lüthi, J., Haring, G. (1997).

Pemodelan dan analisa suatu sistem jaringan yang melibatkan bilangan kabur, sejauh penulis ketahui, belum ada yang menggunakan pendekatan aljabar max-plus. Operasi-operasi pada bilangan kabur dapat dilakukan menggunakan Teorema Dekomposisi, yaitu melalui potongan-potongan--nya yang berupa interval-interval (Susilo, F. 2006). Dalam Rudhito A, dkk. (2008) telah dibahas suatu aljabar dengan elemen-elemennya berupa interval dengan operasi maximum dan penjumlahan yang didefinisikan di dalamnya. Dalam pemodelan jaringan dengan pendekatan aljabar max-plus, graf untuk jaringan dinyatakan dengan menggunakan matriks, dengan unsur-unsurnya menyatakan waktu aktifitas antar titik pada jaringan tersebut. Dengan demikian pemodelan jaringan dengan waktu aktifitasnya yang berupa bilangan kabur, dengan pendekatan aljabar max-plus, akan terkait dengan matriks yang unsur-unsurnya berupa bilangan kabur. Untuk itu dalam makalah ini akan dibahas matriks atas aljabar max-plus interval, di mana operasi-operasinya merupakan perluasan dari operasi-operasi pada aljabar max-plus interval. Akan dibahas juga suatu cara yang dapat mempermudah pengoperasiannya.

REVITALISASI DAN SOSIALISASI DIRI UNTUK BERPERAN AKTIF DALAM PENINGKATAN KUALITAS PENELITIAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DI INDONESIA