Analisis Komponen Utama Temporar (AKUT)

2. Analisis Komponen Utama Temporar (AKUT)

Misalkan X(t) variabel random kontinu, bernilai real, dengan mean nol, dan terdefinisi dalam interval waktu [0, T]. Menurut Fukunaga (1990), X(t) dinyatakan sebagai sebuah kombinasi linear dari fungsi basis ortonormal dalam ruang Hilbert,

X(t) =  Z i b i ( t )

0 ≤t≤T

i 0

di mana fungsi basis b i (t) adalah fungsi-fungsi waktu deterministik dan koefisien ekspansi, Z i adalah variabel-variabel random. Salah satu basis ortonormal yang mungkin adalah himpunan fungsi-fungsi eigen (fungsi-fungsi karakteritsik) dari fungsi autokorelasi, R(t, ) = E[X(t)X()], yang mana b i (t) adalah fungsi-fungsi eigen yang memenuhi persamaan integral,

di mana  i adalah nilai-nilai eigen. Solusi yang paling sulit dari nilai-eigen pada (2) dapat dilakukan jika proses randomnya adalah waktu diskrit. Proses ini dapat dikatakan Analisis Komponen Utama Temporer (AKUT) dengan alasan agar lebih singkat dan jelas. Jika persamaan waktu kontinu dilakukan pada D titik-titik ruang yang sama, maka dapat diaproksimasi integral dengan suatu jumlahan, sehingga (2) bisa ditulis pula secara aproksimasi

Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

Analisis Komponen Utama Temporar

i, j = 0, …, D-1 (3)

atau dalam bentuk matriks,

(4) dengan  i dan u i berturut-turut sebagai nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks autokorelasi rata-rata, R = E[XX], di mana X = [X(t 0 ) X(t 1 ) … X(t D-1 )] sebuah sampel dari X(t) pada D titik. Jika proses diperluas pada pengertian stasioneritas, maka hanya satu proses panjang takhingga yang diperlukan untuk menguraikan statistiknya. Dalam hal ini, X menyatakan sebuah sampel,

Ru i = i u i

(5) dan R sebuah matriks dengan koefisien-koefisien R mn = E[X(m)X(n)] = r XX (|m-n|), dengan fungsi autokorelasi, r XX () hanya bergantung pada lag diskrit. Uraian AKUT analog dengan AKU statis, karena vektor-vektor eigen ortonormal, u i u j = ij , berbentuk basis lengkap

X(n) = [X(n) X(n-1) … X(n – D + 1)]

dalam ruang D-dimensi. Jadi, vektor X(n) disajikan tanpa galat dengan sebuah ekspansi terhadap D vektor-eigen

X(n) =  Z i ( n ) u i = UZ(n)

di mana matriks U = [u 0 u 1 …u D-1 ] deterministik dan full rank. Selanjutnya, oleh karena U ortonormal, (6) digandakan dari kiri dengan U menghasilkan koefisien ekspansi:

(7) Z i dikatakan komponen-komponen utama. Dengan asumsi bahwa nilai-nilai eigen telah disusun dengan urutan menurun, sehingga  0 menjadi nilai eigen terbesar, dan dimisalkan U = [U P U S ], di mana kolom-kolom U dibagi masing-masing ke dalam P vektor-eigen utama

Z i (n) = u i X(n)  Z(n) = UX(n)

dan S vektor-eigen sekunder, dengan D = P + S. Jika ekspansi dibentuk atas P komponen utama, maka hasilnya adalah suatu estimasi dari X,

X ( n ) =  Z i ( n ) u i =U P Z P (n) P<D

Bidang Statistika

Ismail Djakaria

di mana Z P (n) = U P X(n) vektor yang dibentuk dari P komponen utama. Hasil ini dikatakan AKUT, dan dapat dilihat arsitekturnya pada Gambar 1. Matriks U P tidak full rank, sehingga

inputnya hanya dapat direkonstruksi secara aproksimasi. Hal ini dapat ditunjukkan dengan ~ meminimumkan mean kuadrat galat rekonstruksi terhadap kelompok data, 2

E [ X X ] , dalam batasan ortonormalitas yang sama, dan hasilnya seperti nilai-eigen pada (4). P vektor-

eigen dipilih pada basis P nilai-eigen yang bersesuaian. Minimum mean kuadrat galat rekonstruksi diberikan dengan jumlahan nilai-nilai eigen sekunder.

Sumber: Fancourt dan Principe (2003)