Perbandingan Variansi Asimptotik

5. Perbandingan Variansi Asimptotik

Dalam kasus sederhana dimana peluang missingness seperti pada M.1, Z 1 i dan Z 2 i indikator biner skalar dari waktu konstan. Kontribusi pada fungsi estimasi tipe I dapat dinyatakan sebagai berikut.

u ˆ i     i H i [  Z i  E   , X i     E ˆ   , X i   E  , X i   ]

dimana E ˆ  , X i  adalah imputasi “expected” sebagaimana diuraikan pada bagian 2 di

atas. Pendekatan fungsi skor likelihood parsial dari Lin & Ying (1993) dapat ditulis sebagai berikut.

u ˆ i     i H i [  Z i  E   , X i     E ˆ   , X i   E  , X i   ]

dengan E   , X   1 i ;

2   X 

ˆ ( 0 ( ) 0 )   Z i ( k )  S   , t

s ˆ   , T    H 0 i Y i ( t ) e ; S ˆ   , t 

Bentuk pertama dari u ~ 1   dan ˆu 1   adalah sama. Bentuk kedua menyatakan

deviasi estimasi “expected” jika kovariat “observed” sepenuhnya acak. Dapat dilihat bahwa bentuk pertama dan kedua tidak berkorelasi. Didefinisikan frekuensi “observed” dan missing cell sebagai berikut.

o jk ( t )   I ( Z 1 i  j , Z 2 i  k , X i  t ) H 0 i , dan

m jk ( t )   I ( Z 1 i  j , Z 2 i  k , X i  t )( 1  H 0 i )

dimana j , k 0 , 1 . Subskrip + menyatakan jumlah marginal. Dengan demikian:

S   

dimana m tidak diketahui. jk

Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

Model Proportional Hazards Cox ...

Metode dari Lin & Ying (1993) menukar m jk dengan m    o jk / o    dimana m jk

sekurang-kurangnya Bin ( m   , p jk ) dan p jk diestimasi dengan p ˆ jk  o jk / o   . Jika didefinisikan:

m ( t )   m 11 ( t ), m 10 ( t ), m 01 ( t ), m 00 ( t )  p ( t )   p 11 ( t ), p 10 ( t ), p 01 ( t ), p 00 ( t ) 

Varians asimtotik dari E   , X i   E  , X i  dan E ˆ   , X i   E  , X i  serta V i dan Vˆ i dapat

dinyatakan sebagai:

 E   , X i  E  , X  

i 

var m (( X )

Untuk Vˆ i :

var  m ( X i )   m   ( X i )  p  X i  p ( X i ) p  ( X i ) 

~ Untuk V i :

var  m ( X i )   bdiag [ m 1  ( X i ) p 1 ( X i )  1  p  X i  J 2 , m 0  ( X i ) p 0 ( X i )  1  p 0 ( X i )  J 2 ]

Dalam hal ini J 2 adalah matriks satuan 2x2 dan bdiag menyatakan matriks diagonal

blok. Untuk X i X k dipunyai cov  m  X i , m X k   0 karena p ˆ  X i dan p ˆ  X k keduanya memuat H 0 i jika X i  max  X 1 , X k  . Jika diberikan p ˆ maka cov  m  X i , m X k | p ˆ   0 .

Untuk statistik E ˆ   , X i  dan E ˆ   , X k  diperoleh:

cov  m ( X i ), m ( X k )   E [cov  m ( X i ), m ( X k )  | p ˆ ]  cov[ E  m ( X i ) | p ˆ  , E m ( X k ) | p ˆ  ]  m   ( X i ) m   ( X k )  p ( X k )  p ( X k ) p ( X k )   / o   ( X i )

dengan X i X k .

Secara sama, untuk statistik E   , X i  dan E   , X k  diperoleh

cov  m ( X i ), m ( X k )   bdiag [ m 1   ( X i ) m ` 1   ( X k ) p 1 ( X k )  1  p 1 ( X k )  / o 1  ( X i ), m 0  ( X i ) m 0  ( X k ) p 2 ( X k )  1  p 2 ( X k )  / o 0  ( X i )]

Didefinisikan:

Bidang Statistika

Nurkaromah Dwidayati, dkk

V ˆ  cov  E ˆ   , X 1   E  , X 1  , E ˆ  , X 2   E  , X 2  ,..., E ˆ   , X n   E  , X n  