Perbandingan Variansi Asimptotik
5. Perbandingan Variansi Asimptotik
Dalam kasus sederhana dimana peluang missingness seperti pada M.1, Z 1 i dan Z 2 i indikator biner skalar dari waktu konstan. Kontribusi pada fungsi estimasi tipe I dapat dinyatakan sebagai berikut.
u ˆ i i H i [ Z i E , X i E ˆ , X i E , X i ]
dimana E ˆ , X i adalah imputasi “expected” sebagaimana diuraikan pada bagian 2 di
atas. Pendekatan fungsi skor likelihood parsial dari Lin & Ying (1993) dapat ditulis sebagai berikut.
u ˆ i i H i [ Z i E , X i E ˆ , X i E , X i ]
dengan E , X 1 i ;
2 X
ˆ ( 0 ( ) 0 ) Z i ( k ) S , t
s ˆ , T H 0 i Y i ( t ) e ; S ˆ , t
Bentuk pertama dari u ~ 1 dan ˆu 1 adalah sama. Bentuk kedua menyatakan
deviasi estimasi “expected” jika kovariat “observed” sepenuhnya acak. Dapat dilihat bahwa bentuk pertama dan kedua tidak berkorelasi. Didefinisikan frekuensi “observed” dan missing cell sebagai berikut.
o jk ( t ) I ( Z 1 i j , Z 2 i k , X i t ) H 0 i , dan
m jk ( t ) I ( Z 1 i j , Z 2 i k , X i t )( 1 H 0 i )
dimana j , k 0 , 1 . Subskrip + menyatakan jumlah marginal. Dengan demikian:
S
dimana m tidak diketahui. jk
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Model Proportional Hazards Cox ...
Metode dari Lin & Ying (1993) menukar m jk dengan m o jk / o dimana m jk
sekurang-kurangnya Bin ( m , p jk ) dan p jk diestimasi dengan p ˆ jk o jk / o . Jika didefinisikan:
m ( t ) m 11 ( t ), m 10 ( t ), m 01 ( t ), m 00 ( t ) p ( t ) p 11 ( t ), p 10 ( t ), p 01 ( t ), p 00 ( t )
Varians asimtotik dari E , X i E , X i dan E ˆ , X i E , X i serta V i dan Vˆ i dapat
dinyatakan sebagai:
E , X i E , X
i
var m (( X )
Untuk Vˆ i :
var m ( X i ) m ( X i ) p X i p ( X i ) p ( X i )
~ Untuk V i :
var m ( X i ) bdiag [ m 1 ( X i ) p 1 ( X i ) 1 p X i J 2 , m 0 ( X i ) p 0 ( X i ) 1 p 0 ( X i ) J 2 ]
Dalam hal ini J 2 adalah matriks satuan 2x2 dan bdiag menyatakan matriks diagonal
blok. Untuk X i X k dipunyai cov m X i , m X k 0 karena p ˆ X i dan p ˆ X k keduanya memuat H 0 i jika X i max X 1 , X k . Jika diberikan p ˆ maka cov m X i , m X k | p ˆ 0 .
Untuk statistik E ˆ , X i dan E ˆ , X k diperoleh:
cov m ( X i ), m ( X k ) E [cov m ( X i ), m ( X k ) | p ˆ ] cov[ E m ( X i ) | p ˆ , E m ( X k ) | p ˆ ] m ( X i ) m ( X k ) p ( X k ) p ( X k ) p ( X k ) / o ( X i )
dengan X i X k .
Secara sama, untuk statistik E , X i dan E , X k diperoleh
cov m ( X i ), m ( X k ) bdiag [ m 1 ( X i ) m ` 1 ( X k ) p 1 ( X k ) 1 p 1 ( X k ) / o 1 ( X i ), m 0 ( X i ) m 0 ( X k ) p 2 ( X k ) 1 p 2 ( X k ) / o 0 ( X i )]
Didefinisikan:
Bidang Statistika
Nurkaromah Dwidayati, dkk
V ˆ cov E ˆ , X 1 E , X 1 , E ˆ , X 2 E , X 2 ,..., E ˆ , X n E , X n