HASIL DAN PEMBAHASAN
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Konstruksi bilangan Ramsey R ( S 6 , K 2 , n ) diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan bentuk Goodgraphnya, sesuai dengan definisi 2. Sedangkan bentuk Goodgraph
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Bilangan Ramsey untuk Graf Bintang ...
untuk R ( S 6 , K 2 , n ) diperoleh dengan mengembangkan Goodgraph yang telah diperoleh pada konstruksi R ( S 5 , K 2 , n ) . Berikut ini hasil-hasil selengkapnya untuk bilangan Ramsey R ( S 6 , K 2 , n ) .
1) Bilangan Ramey R ( S 6 , K 2 , 2 )
Berdasarkan Teorema V. Chavatal dan F. Harary, diperoleh nilai batas bawah R ( S 6 , K 2 , 2 ) 6 . Sedangkan telah ditunjukkan pada tulisan sebelumnya bahwa
R ( S 5 , K 2 , 2 ) =7, dengan goodgraph berbentuk graf Ladder dengan 6 titik (Isnaini, 2004). Sehingga bentuk goodgraph untuk R ( S 6 , K 2 , 2 ) diperoleh dengan mengembangkan bentuk graf Ladder, seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Gambar 1. Goodgraph untuk R ( S 6 , K 2 , 2 )
Graf pada gambar 1 merupakan goodgraph untuk R ( S 6 , K 2 , 2 ) , karena graf tersebut tidak memuat S 6 dan komplemennya tidak memuat K 2,2 . Menurut definisi 2 haruslah:
R ( S 6 , K 2 , 2 ) > 8. Berikutnya dapat ditunjukkan bahwa R ( S 6 , K 2 , 2 ) 9 , seperti disajikan dalam teorema
berikut ini.
Teorema 1. R ( S 6 , K 2 , 2 ) 9
Bukti.
Ambil G sebarang graf dengan 9 titik. Andaikan G tidak memuat S 6 dan
G tidak memuat
K 2,2 . Karena G tidak memuat S 6 , maka d(x) ≤ 4, x V (G ) . Claim: Tidak ada x V (G ) dengan d(x) ≤ 3.
Bidang Terapan
Isnaini Rosyida
Bukti Claim: Andaikan terdapat x V (G ) dengan d(x) ≤ 3.
Misal N ( x ) { v V ( G ) : vx E ( G )} . Tulis A = V(G) \ N[x]. Jelas A 5 . Berikutnya
ambil w N(x) sebarang. Definisikan B = A \ N A (w). Jelas B 2 .
Titik x dan w tidak dapat bertetangga lagi dengan semua titik di B. Akibatnya {x,w} B akan membentuk K 2,2 di
G . Bertentangan dengan pengandaian bahwa G tidak memuat K 2,2 . Jadi tidak ada x V (G ) dengan d(x) ≤ 3.
Dengan demikian haruslah d(x) = 4, x V (G ) .
Selanjutnya karena d(x) = 4, x V (G ) maka untuk setiap dua titik x , y V ( G ) dengan xy E (G ) berlaku N(x)N(y) ≠.
Pilih x , y V ( G ) dengan xy E (G ) . Definisikan D V ( G ) \ { x , y } . Jelas D 7 .
Karena N(x)N(y) ≠ maka N D ( x ) N D ( y ) 5 . Berikutnya Tulis F D \ N D ( x ) N D ( z ) . Jelas F 2 Titik x dan y masing-masing tidak dapat bertetangga lagi dengan titik-titik di F. Akibatnya {x, y} F akan membentuk K 2,2 di G.
Kontradiksi dengan pengandaian bahwa
G tidak memuat K 2,2 .
G memuat K 2,2 . Jadi R ( S 6 , K 2 , 2 ) 9 .
Sehingga pengandaian salah. Dengan demikian G memuat S 6 atau
2) Bilangan Ramsey R ( S 6 , K 2 , 3 )
Berdasarkan Teorema V. Chavatal dan F. Harary, diperoleh nilai batas bawah R ( S 6 , K 2 , 3 ) 6 . Selanjutnya goodgraph untuk R ( S 6 , K 2 , 3 ) adalah graf 4-reguler dengan 9 titik yang diperoleh dengan mengembangkan bentuk goodgraph pada gambar 1 , seperti
ditunjukkan pada gambar 2 berikut ini.
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Bilangan Ramsey untuk Graf Bintang ...
Gambar 2. Goodgraph untuk R ( S 6 , K 2 , 3 )
Graf pada gambar 2 merupakan R ( S 6 , K 2 , 3 , 9 ) - goodgraph, karena graf tersebut tidak memuat S 6 dan komplemennya tidak memuat K 2,3 . Menurut definisi 2 haruslah:
R ( S 6 , K 2 , 3 ) 9 . Berikutnya dapat ditunjukkan bahwa R ( S 6 , K 2 , 2 ) 9 , seperti disajikan dalam teorema 2 berikut ini.
Teorema 2. R ( S 6 , K 2 , 3 ) 10
Bukti.
Ambil G sebarang graf dengan 10 titik. Andaikan G tidak memuat S 6 dan
G tidak memuat
K 2,3 . Karena G tidak memuat S 6 , maka d(x) ≤ 4, x V (G ) .
Claim: Tidak ada x V (G ) dengan d(x) ≤ 3.
Bukti Claim. Andaikan terdapat x V (G ) dengan d(x) ≤ 3. Misal N ( x ) { v V ( G ) : vx E ( G )} . Tulis
A = V(G) \ N[x]. Jelas A 6 . Berikutnya ambil w N(x) sebarang. Definisikan B = A \ N A (w). Jelas B 3 . Akibatnya {x,w} B akan membentuk K 2,3 di
G . Bertentangan dengan pengandaian bahwa
G tidak memuat K 2,3 . Jadi tidak ada x V (G ) dengan d(x) ≤ 3.
Dengan demikian haruslah d(x) = 4, x V (G ) .
Bidang Terapan
Isnaini Rosyida
Selanjutnya karena d(x) = 4, x V (G ) maka untuk setiap dua titik x , y V ( G ) dengan xy E (G ) berlaku N(x)N(y) ≠. Pilih x , y V ( G ) dengan xy E (G ) . Definisikan D V ( G ) \ { x , y } . Jelas D 8 .
Karena N(x)N(y) ≠ maka N D ( x ) N D ( y ) 5 . Berikutnya Tulis F D \ N D ( x ) N D ( z ) . Jelas F 3 . Titik x dan y masing-masing tidak dapat bertetangga lagi dengan titik-titik di F. Akibatnya {x, y} F akan membentuk K 2,3 di G.
Kontradiksi dengan pengandaian bahwa
G tidak memuat K 2,3 .
G memuat K 2,3 . Jadi R ( S 6 , K 2 , 3 ) 10 .
Sehingga pengandaian salah. Dengan demikian G memuat S 6 atau
3) Bilangan Ramsey R ( S 6 , K 2 , 4 )
Goodgraph untuk R ( S 6 , K 2 , 3 ) adalah graf 4-reguler dengan 10 titik yang diperoleh dengan mengembangkan bentuk goodgraph pada gambar 2 :
Gambar 3. Goodgraph untuk R ( S 6 , K 2 , 4 )
Graf pada gambar 2 merupakan R ( S 6 , K 2 , 3 , 10 ) - goodgraph, karena graf tersebut tidak memuat S 6 dan komplemennya tidak memuat K 2,4 . Menurut definisi 2 haruslah:
R ( S 6 , K 2 , 4 ) 10 . Berikutnya dapat ditunjukkan bahwa R ( S 6 , K 2 , 4 ) 11 , seperti disajikan dalam teorema 3
berikut ini.
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Bilangan Ramsey untuk Graf Bintang ...
Teorema 3. R ( S 6 , K 2 , 4 ) 11
Bukti.
Ambil G sebarang graf dengan 11 titik. Andaikan G tidak memuat S 6 dan
G tidak memuat
K 2,4 . Karena G tidak memuat S 6 , maka d(x) ≤ 4, x V (G ) . Claim: Tidak ada x V (G ) dengan d(x) ≤ 3. Bukti Claim: Andaikan terdapat x V (G ) dengan d(x) ≤ 3.
Misal N ( x ) { v V ( G ) : vx E ( G )} . Tulis A = V(G) \ N[x]. Jelas A 7 . Berikutnya
ambil w N(x) sebarang. Definisikan B = A \ N A (w). Jelas B 4 .
Akibatnya {x,w} B akan membentuk K 2,4 di
G . Bertentangan dengan pengandaian bahwa
G tidak memuat K 2,4 . Jadi tidak ada x V (G ) dengan d(x) ≤ 3.
Dengan demikian haruslah d(x) = 4, x V (G ) .
Selanjutnya karena d(x) = 4, x V (G ) maka untuk setiap dua titik x , y V ( G ) dengan xy E (G ) berlaku N(x)N(y) ≠. Pilih x , y V ( G ) dengan xy E (G ) . Definisikan D V ( G ) \ { x , y } . Jelas D 9 .
Karena N(x)N(y) ≠ maka N D ( x ) N D ( y ) 5 . Berikutnya Tulis F D \ N D ( x ) N D ( z ) . Jelas F 4 . Titik x dan y masing-masing tidak dapat bertetangga lagi dengan titik-titik di F. Akibatnya {x, y} F akan membentuk K 2,4 di G.
Kontradiksi dengan pengandaian bahwa
G tidak memuat K 2,4 .
G memuat K 2,4 . Jadi R ( S 6 , K 2 , 4 ) 11 .
Sehingga pengandaian salah. Dengan demikian G memuat S 6 atau