Model Independen

3.1. Model Independen

Probabilitas marginal untuk respon Y it adalah P y ( Y  y )   it

it ( 1   it ) it = ((V it )) (1-(V it ))

dan dari persamaan (5),

1-  it = (-V it ) maka probabilitas marginalnya dapat dinyatakan sebagai P ( Y it  y it )  [(2y it -1)V it ]

(8) Jika diasumsikan Y it saling independen untuk setiap t dan i maka

1  y P it ( Y

y it

i 1  y i 1 ,..., Y iT  y iT )   P ( Y it  y it )    it ( 1   it )     ( 2 y it  1 ) V it  (9)

Fungsi likelihoodnya adalah

L (  )   L i ( Y i | X i , Z i ;  )     ( 2 y it  1 ) V it 

sehingga fungsi log-likelihoodnya adalah

LL (  )   ln    ( 2 y it  1 )[(  1 t   0 t ) X i   t Z it ]  

Selanjutnya akan dicari derivatif LL() terhadap parameter  t = ( 0t , 1t , t )’.

Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008

Estimasi Model Probit pada Respon Biner ...

 LL (  ) n ( 2 y it  1 ) X i   ( 2 y it  1 )[(  1 t   0 t ) X i   t Z it ] 

i  1   ( 2 y it  1 )[(  1 t   0 t ) X i   t Z it ] 

LL n (  )  ( 2 y

it  1 ) X i   ( 2 y it  1 )[(    ) X   Z ]   1 t 0 t i t it

i  1   ( 2 y it  1 )[(  1 t   0 t ) X i   t Z it ] 

LL n (  ) ( 2 y

it  1 ) Z i    ( 2 y it  1 )[(  1 t   0 t ) X i   t Z it ] 

i  1   ( 2 y it  1 )[(  1 t   0 t ) X i   t Z it ] 

 LL (  )  LL (  ) Jika

  0 maka persamaan (12) dan (13) identik sehingga  0t dan  1t tidak   0 t

teridentifikasi. Oleh karena itu salah satu diberi nilai 1 (misal  0t =1). Jika  t = ( 1t ; t )’ maka dari persamaan (12) dan (14) diperoleh persamaan penaksir

  LL  

  LL

( 2 y it  1 )   ( 2 y it  1 )[(  1 t  1 ) X i   t Z it ]   X i 

 (16)   t

LL   i  1   ( 2 y it  1 )[(  1 t  1 ) X i  

  t Z it ]   Z i 

     t  Selanjutnya dicari derevatif ke dua dari fungsi LL(),

 2  2 LL  LL 

(17)   ' t   t   LL

it  2 1) [(  1 t  1) X   Z ] (2  y  1)[(   1) X   Z ]  (2 y  1) X  2 i t it  it 1 t i t it   it i

i  1   (2 y it  1)[(  1 t  1) X i   t Z it ] 

XZ i it (2 y it  1) Z it  

(2 y it  1)   (2 y it  1)[(  1 t  1) X i   t Z it ]    2 X i XZ i it 

 (2 y it  1)[(  1 t  1) X i   t Z it ] 

 XZ i it

Z it 

Persamaan penaksir (16) dapat diselesaikan dengan menggunakan iterasi Newton- Raphson . Jika  t = ( t , t ) dan untuk t tertentu maka persamaan iterasi ke-(k+1) adalah

(19) dengan

( 2 y it  1 )   ( 2 y it  1 )[(  1 t  1 ) X i   t Z it ]   X i 

i  1   ( 2 y it  1 )[(  1 t  1 ) X   Z ]  Z i  t it   i 

dan

Bidang Statistika

Jaka Nugraha

( 2 y it  1 ) [(  1 t  1 ) X i   t Z it ]   ( 2 y it  1 )[(  1 t  1 ) X  t Z it ] 

 ( 2 y it  1 ) X i X i Z it 

i  1   ( 2 y it  1 )[(  1 t  1 ) X i   t Z it ] 

X i Z ( 2 y 1 ) Z it 2 it  it  

 ( 2 y it  1 )   ( 2 y it  1 )[(  1 t  1 ) X i   t Z it ]    X i X i Z it 

  ( 2 y it  1 )[( 1 t  1 ) X i  t Z it ]   X i Z it Z it 

Untuk melakukan pengujian terhadap estimator parameter dapat digunakan sifat Normal asimtotis pada penaksir MLE, yaitu

 ˆ a  t 1   N [  t , { I (  t )} ]

(20) dengan

 2  log LL t (  t ; X ) 

it

Secara umum jika terdapat lebih dari satu variabel karakteristik individu (X i1 ,..,X iM ) dan variabel karaktreristik pilihan (Z ij1t ,...,Z ijkt ) maka

V ijt = 1j X i1 + .... +  Mj X iM + 1 Z ij1t ,...,+  K Z ijKt untuk i=1,..n dan j=0,1.

Agar parameter  teridentifikasi maka ditentukan nilai  m0 = 1 untuk semua m=1,2,..M. Parameter yang diestimasi adalah  = ( 11 ,.... , M1 , 1 ,...., K ). MLE merupakan penyelesaian dari persamaan n ( 2 y

it  1 )   ( 2 y it  1 ) V it   X ' i 

 i 1  ( 2 y  1 ) V   0 (21)

 it it   Z '  it 

dengan X i = [X i1, .. ,X iM ], Z ijt = [Z ij1t ,..,Z ijKt ], V it =V i1t –V i0t ,Z it =Z i1t –Z i0t untuk setiap t.