Model Independen
3.1. Model Independen
Probabilitas marginal untuk respon Y it adalah P y ( Y y ) it
it ( 1 it ) it = ((V it )) (1-(V it ))
dan dari persamaan (5),
1- it = (-V it ) maka probabilitas marginalnya dapat dinyatakan sebagai P ( Y it y it ) [(2y it -1)V it ]
(8) Jika diasumsikan Y it saling independen untuk setiap t dan i maka
1 y P it ( Y
y it
i 1 y i 1 ,..., Y iT y iT ) P ( Y it y it ) it ( 1 it ) ( 2 y it 1 ) V it (9)
Fungsi likelihoodnya adalah
L ( ) L i ( Y i | X i , Z i ; ) ( 2 y it 1 ) V it
sehingga fungsi log-likelihoodnya adalah
LL ( ) ln ( 2 y it 1 )[( 1 t 0 t ) X i t Z it ]
Selanjutnya akan dicari derivatif LL() terhadap parameter t = ( 0t , 1t , t )’.
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Estimasi Model Probit pada Respon Biner ...
LL ( ) n ( 2 y it 1 ) X i ( 2 y it 1 )[( 1 t 0 t ) X i t Z it ]
i 1 ( 2 y it 1 )[( 1 t 0 t ) X i t Z it ]
LL n ( ) ( 2 y
it 1 ) X i ( 2 y it 1 )[( ) X Z ] 1 t 0 t i t it
i 1 ( 2 y it 1 )[( 1 t 0 t ) X i t Z it ]
LL n ( ) ( 2 y
it 1 ) Z i ( 2 y it 1 )[( 1 t 0 t ) X i t Z it ]
i 1 ( 2 y it 1 )[( 1 t 0 t ) X i t Z it ]
LL ( ) LL ( ) Jika
0 maka persamaan (12) dan (13) identik sehingga 0t dan 1t tidak 0 t
teridentifikasi. Oleh karena itu salah satu diberi nilai 1 (misal 0t =1). Jika t = ( 1t ; t )’ maka dari persamaan (12) dan (14) diperoleh persamaan penaksir
LL
LL
( 2 y it 1 ) ( 2 y it 1 )[( 1 t 1 ) X i t Z it ] X i
(16) t
LL i 1 ( 2 y it 1 )[( 1 t 1 ) X i
t Z it ] Z i
t Selanjutnya dicari derevatif ke dua dari fungsi LL(),
2 2 LL LL
(17) ' t t LL
it 2 1) [( 1 t 1) X Z ] (2 y 1)[( 1) X Z ] (2 y 1) X 2 i t it it 1 t i t it it i
i 1 (2 y it 1)[( 1 t 1) X i t Z it ]
XZ i it (2 y it 1) Z it
(2 y it 1) (2 y it 1)[( 1 t 1) X i t Z it ] 2 X i XZ i it
(2 y it 1)[( 1 t 1) X i t Z it ]
XZ i it
Z it
Persamaan penaksir (16) dapat diselesaikan dengan menggunakan iterasi Newton- Raphson . Jika t = ( t , t ) dan untuk t tertentu maka persamaan iterasi ke-(k+1) adalah
(19) dengan
( 2 y it 1 ) ( 2 y it 1 )[( 1 t 1 ) X i t Z it ] X i
i 1 ( 2 y it 1 )[( 1 t 1 ) X Z ] Z i t it i
dan
Bidang Statistika
Jaka Nugraha
( 2 y it 1 ) [( 1 t 1 ) X i t Z it ] ( 2 y it 1 )[( 1 t 1 ) X t Z it ]
( 2 y it 1 ) X i X i Z it
i 1 ( 2 y it 1 )[( 1 t 1 ) X i t Z it ]
X i Z ( 2 y 1 ) Z it 2 it it
( 2 y it 1 ) ( 2 y it 1 )[( 1 t 1 ) X i t Z it ] X i X i Z it
( 2 y it 1 )[( 1 t 1 ) X i t Z it ] X i Z it Z it
Untuk melakukan pengujian terhadap estimator parameter dapat digunakan sifat Normal asimtotis pada penaksir MLE, yaitu
ˆ a t 1 N [ t , { I ( t )} ]
(20) dengan
2 log LL t ( t ; X )
it
Secara umum jika terdapat lebih dari satu variabel karakteristik individu (X i1 ,..,X iM ) dan variabel karaktreristik pilihan (Z ij1t ,...,Z ijkt ) maka
V ijt = 1j X i1 + .... + Mj X iM + 1 Z ij1t ,...,+ K Z ijKt untuk i=1,..n dan j=0,1.
Agar parameter teridentifikasi maka ditentukan nilai m0 = 1 untuk semua m=1,2,..M. Parameter yang diestimasi adalah = ( 11 ,.... , M1 , 1 ,...., K ). MLE merupakan penyelesaian dari persamaan n ( 2 y
it 1 ) ( 2 y it 1 ) V it X ' i
i 1 ( 2 y 1 ) V 0 (21)
it it Z ' it
dengan X i = [X i1, .. ,X iM ], Z ijt = [Z ij1t ,..,Z ijKt ], V it =V i1t –V i0t ,Z it =Z i1t –Z i0t untuk setiap t.