Sifat-sifat MSLE
3. Sifat-sifat MSLE
Misal g~ i () merupakan nilai simulasi dari g i (). g~ () adalah mean sampel g~ i () sedemikian hingga g~ () adalah nilai simulasi dari g(). Setiap individu i dilakukan pengambilan sampel (pengamatan) sebanyak R kali. Penaksir parameter (atau ˆ ) memenuhi syarat g~ ( ˆ ) = 0. Selanjutnya sifat-sifat estimator ˆ dapat diturunkan melalui dua tahap seperti halnya dalam penaksir tradisional.
Tahap 1 : Menentukan Distribusi g~ (*). Misal * merupakan nilai parameter sesungguhnya. Untuk mengidentifikasi komponen-
komponen g~ (*) dapat susun persamaan g~ (*) = g~ (*)+g(*) - g(*) + E r g~ (*) - E r g~ (*)
= g(*) + [E r g~ (*)- g(*)] + [ g~ (*) - E r g~ (*)] (14)
E r g~ (*) adalah harga harapan untuk nilai simulasi dari r pengambilan sampel. Dari sifat MLE,
d 1 -1
n -1 g ( *) N{0,- H ()} ; H adalah matrik Hessian. (15)
Suku ke dua pada persamaan (14), [E r g~ (*)- g(*)] merupakan besarnya bias antara nilai simulasi dengan nilai sesungguhnya. Jika tidak ada perbedaan antara g(*) dengan nilai
harapan simulasi maka
Bidang Statistika
Jaka Nugraha
E r g~ (*) = g(*) Suku ketiga pada persamaan (14), [ g~ (*) - E r g~ (*)] merupakan simulasi noise. Selanjutnya dapat disusun
g~ () = A + B + C dan perlu menguji sifat bias simulasi B
B = [E r g~ (*)- g(*)] dan simulasi noise C.
C=[ g~ (*) - E r g~ (*)]
i ( *) E r ~ g i ( *)
nilai d i menyatakan deviasi nilai simulasi terhadap nilai harapanya. Mean C adalah nul dengan variansi untuk setiap i adalah
Var(d i )=S i /R S i adalah variansi untuk i (dari R pengambilan sampel simulasi). Dengan teorema limit pusat diperoleh
dengan S merupakan mean populasi untuk S i . Untuk n cukup besar walupun R tertentu maka simulasi noise menjadi tidak ada. Hal ini mengindikasikan bahwa untuk menghilangkan simulasi noise dapat dilakukan dengan mengambil sampel observasi n cukup besar.
Selanjutnya untuk suku bias B. Jika simulasi g~ () tak bias untuk g() maka suku bias B adalah nul. Bagaimanapun juga jika terdapat bias, maka efek bias pada distribusi
g~ i () harus dipertimbangkan. Biasanya suku g i () didefinisikan sebagai fungsi dari statistik l i () dimana E[ ~ l i ( ) ]=l i (). ~ l i ( ) adalah nilai simulasi dari l i ().
Deret Taylor dapat digunakan untuk mendekati nilai g~ i () menggunakan g i () yang dapat dinyatakan sebagai
i ( )) ~
1 g ( l i ( )) ~
Seminar Nasional Matematika-FKMS3MI 2008
Sifat Penaksir Simulated MLE pada Respon ...
i ( )) ~
1 g ( l i ( )) ~
i () – g i () = g i [ l i ( ) l i ( )] + 1 2 g i [ l i ( ) l i ( )]
'' ~
Karena ~ l i ( ) unbias untuk l i (), maka ' ~
E r g i [ l i ( ) l i ( )] g i [ E r ( l i ( )) l i ( )] 0
sehingga
1 '' ~
r g i ( ) g i ( ) g i E r [ l i ( ) l i ( )]
1 ''
r g i ( ) g i ( ) g i Var r [ l i ( )] g i
1 '' Q
oleh karena itu ~
1 1 '' Q Z
Jadi Z n 1
''
g i Var r [ l i ( )] dan n B Z
Jika p maka B = 0 n
Bias simulasi akan bernilai nul jika
n Tahap 2 : Menurunkan distribusi ˆ dari distribusi ~ g ( *)
Sebagaimana dalam MLE, distribusi ˆ dapat diturunkan dari distribusi g ~ ( *) dengan menggunakan deret Taylor dan diperoleh
n ( ˆ *) D n g ~ ( *) D n ( A B C )
dengan D merupakan derivatif g ~ ( *) terhadap parameternya. Sehingga ˆ
Dari persamaan (15-18), dapat disusun teorema mengenai MSLE,
Bidang Statistika
Jaka Nugraha
Sampel random y 1 ,...,y n mempunyai densitas bersyarat f(y|x, 0 ) memenuhi sfat keteraturan sedemikian hingga MLE nya adalah konsisten dan asimtotis normal dengan limit variansi A -1 (
0 ), dengan
n 2 1 ln f ( y
A ( 0 ) p lim
dan densitas f diestimasi menggunakan simulator fˆ sehingga f adalah unbias untuk f, maka
MSLE mempunyai sifat asimtotis seperti MLE jika R,n dan yaitu
MSLE 0 ) N [ 0 , A ( 0 )]