34 merupakan tabel optimal. Dengan membaca tabel terakhir ini dapat
disimpulkan bahwa optimalitas tercapai pada kombinasi produksi 7 unit dan 1 unit
dengan provit maksimum 190 dan tersisa 2 unit masukan .
M. Goal Programming
Goal programming adalah salah satu metode yang digunakan dalam
pemecahan masalah program linier dengan multi-tujuan. Model umum program linier multi tujuan dapat dituliskan sebagai berikut
Mohammed Hordofa
, 2016:3 : Memaksimumkan
∑ dengan kendala
∑ 2.17
Keterangan: = fungsi tujuan ke- i
= variabel keputusan = koefisien
= jumlah sumber daya yang tersedia Fungsi tujuan model goal programming selalu diekspresikan dalam
bentuk minimisasi yaitu meminimalkan penyimpangan dari nilai fungsi- fungsi tujuan. Langkah awal dalam membentuk model goal programming
35 adalah merumuskan variabel- variabel penyimpangan dari fungsi tujuan yaitu
, dituliskan sebagai berikut: ∑
2.18 dimana
dan Fungsi tujuan goal programming adalah meminimalkan nilai varibel
– variabel penyimpangan dari fungsi
– fungsi tujuan dengan tambahan fungsi kendala, yaitu :
∑ 2.19
atau ∑
2.20 Sehingga model goal programming dari masalah 2.17 adalah Hillier dan
Lieberman, 1980: 173: Meminimalkan
∑ dengan kendala
∑ ∑
2.21 Keterangan:
= penyimpangan ke- i = penyimpangan bawah ke- i underachievement
36 = penyimpangan atas ke- i overachievement
Notasi adalah variabel penyimpangan yang merepresentasikan
tingkat pencapaian di bawah target underachievement . Notasi adalah
variabel penyimpangan yang merepresentasikan tingkat pencapaian di atas target overachievement . Kedua variabel penyimpangan tersebut merupakan
sepasang variabel
deviasional yang
berfungsi untuk
menampung penyimpangan yang akan terjadi pada nilai ruas kiri suatu persamaan kendala
terhadap nilai ruas kanannya. Agar penyimpangan tersebut minimal, artinya nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas
kanannya maka variabel deviasional itu harus diminimalkan di dalam fungsi tujuan Siswanto, 2007: 342. Berdasarkan tujuan dapat ditentukan variabel
deviasional yang akan diminimalkan dalam fungsi tujuan goal programming pada Tabel 2.5 berikut Orumie dan Ebong, 2014:61:
Tabel 2.5 Stuktur Umum Goal Programming Tujuan
Variabel deviasional yang diminimalkan dalam Z
Fungsi tujuan pertama baris pertama Tabel 2.5 menyatakan bahwa tujuan yang hendak dicapai dituangkan ke dalam
dan tidak boleh dilampaui. Oleh karena itu penyimpangan di atas nilai
harus diminimalkan
37 agar hasil tidak melebihi nilai
, maka dibutuhkan variabel deviasional untuk diminimalkan. Fungsi tujuan kedua baris kedua Tabel 2.5 menyatakan
bahwa penyimpangan diubah nilai harus diminimalkan agar hasil
penyelesaian paling sedikit sama dengan , dengan demikian
akan diminimumkan. Fungsi tujuan terakhir baris ketiga Tabel 2.5 setiap penyimpangan atas dan bawah tidak boleh dilampaui, maka
dan harus diminimumkan. Apabila kedua variabel deviasional yang
dimaksud di atas dapat diminimisasi, artinya: kedua variabel deviasional bernilai nol, maka tujuan telah tercapai, begitu juga sebaliknya.
Pada beberapa kasus, tujuan satu akan lebih penting dengan tujuan lainnya, maka pengambil keputusan harus menentukkan mana dari tujuan
– tujuan tersebut yang diprioritaskan. Misalkan tujuan yang paling penting
sebagai prioritas ke-1. Tujuan yang kurang begitu penting ditentukan sebagai prioritas ke-2, demikian seterusnya. Pembagian prioritas tersebut dikatakan
sebagai pengutamaan preemptive, yaitu mendahulukan tercapainya kepuasan pada sesuatu tujuan yang telah diberikan prioritas utama sebelum
menuju kepada tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas berikutnya. Jadi tujuan harus disusun dalam suatu urutan ranking menurut prioritasnya Nasendi
Affendi, 1985: 213. Model dengan memprioritaskan tujuan ini disebut sebagai model lexicographic goal programming.
Notasi yang digunakan untuk menandai prioritas tujuan tersebut adalah
. Faktor- faktor- faktor prioritas tersebut memiliki hubungan sebagai berikut:
38 dimana berarti “jauh lebih penting daripada”. Berdasarkan Persamaan
2.21 dengan memperhatikan prioritas setiap tujuan model lexicographic goal programming
dapat dituliskan sebagai berikut: Meminimalkan
dengan kendala ∑
∑ 2.22
Keterangan : =
Prioritas ke-i Neelavathi
2015 memaparkan
langkah- langkah
untuk menyelesaikan model lexicographic goal programming, dapat diselesaikan
dengan tahapan sebagai berikut : Diasumsikan setiap fungsi tujuan mempunyai nilai optimal, langkah pertama
adalah menyelesaikan prioritas pertama terlebih dahulu,
39 Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif Nilai fungsi tujuan prioritas ke-1 akan ditambahkan pada fungsi kendala pada
prioritas ke-2. Misalkan nilai fungsi tujuan prioritas ke-1 adalah , maka
model lexicographic goal programming prioritas ke-2 adalah Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendal non-negatif Misalkan nilai fungsi tujuan prioritas ke- 2 adalah
, maka model lexicographic goal programming
prioritas ke- 3 adalah Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif
40 Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif Solusi optimal prioritas ke- n menjadi solusi optimal dari masalah
lexicographic goal programming pada kasus ini.
Agar lebih mudah dipahami akan diberikan kasus permasalahan lexicographic goal programming
. Misalkan terdapat 4 variabel deviasional yang akan diminimalkan, dua variabel deviasional pada prioritas ke- 1, satu
variabel deviasional prioritas ke- 2, dua variabel deviasional pada prioritas ke- 3. Variabel deviasional berturut- turut adalah
. Penyelesaian lexicographic goal programming
prioritas ke- 1 adalah Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif Misalkan hasil optimal fungsi meminimalkan prioritas ke-1 yaitu
, maka model lexicographic goal programming prioritas ke- 2 adalah
41 Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif Misalkan hasil optimal fungsi meminimalkan prioritas ke- 2 yaitu
, maka model lexicographic goal programming prioritas ke- 3 adalah
Meminimalkan dengan kendala: Persamaan Tujuan
Fungsi Kendala
Kendala non-negatif Solusi optimal prioritas ke- 3 menjadi solusi optimal dari masalah
lexicographic goal programming pada kasus ini.
42
BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas pembentukan portofolio menggunakan metode goal programming
dan lexicographic goal programming pada empat saham yang akan dipilih menjadi kandidat portofolio dari saham- saham yang tergabung dalam
Jakarta Islamic Index JII periode Februari 2014 - Maret 2016. Pembentukan
portofolio optimal dipilih dari 11 portofolio yang dibentuk investor. Selanjutnya dilakukan penilaian kinerja portofolio berdasarkan perhitungan indeks sharpe
guna mendapatkan portofolio optimal. Oleh karena itu, dalam bab ini terlebih dahulu akan dibahas analisis pembentukan portofolio menggunakan metode goal
programming dan lexicographic goal programming, perhitungan indeks sharpe.
Pembentukan portofolio metode goal programming dan lexicographic goal programming
akan dilakukan dengan menggunakan program komputer LINGO.
A. Pembentukan Model Portofolio
