24 2.12
Keterangan : : variabel keputusan ke-n
: suku tetap bahan mentah ke-m yang tersedia : koefisien kendala
: koefisien ongkos ke-n
L. Metode Simpleks
Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh para ahli lain. Metode simpleks
adalah suatu prosedur bukan secara grafis maupun aljabar yang digunakan untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah-masalah
optimisasi yang terkendala. Pencarian nilai optimum dengan menggunakan metode simpleks dilakukan proses pengulangan iterasi dimulai dari
penyelesaian dasar awal yang layak feasible hingga penyelesaian dasar akhir yang layak dimana nilai dari fungsi tujuan telah optimum. Dalam hal
ini proses pengulangan tidak dapat dilakukan lagi. Secara khusus prosedur pengulangan mudah dipahami menggunakan operasi baris dari Gauss-Jordan.
Permasalahan model linear harus diubah kedalam bentuk kanonik sebelum dilakukan penyelesaian menggunakan metode simpleks, perubahan tersebut
meliputi fungsi tujuan dan kendala Josep, 2004: 199.
25 1.
Fungsi kendala Terdapat tiga persyaratan untuk merumuskan fungsi kendala masalah
pemrogaman linier dengan menggunakan metode simpleks, yaitu a.
Semua kendala pertidaksamaan harus dinyatakan sebagai persamaan Sebelum penyelesaian dengan metode simpleks pertidaksamaan harus
diyatakan dalam persamaan linier. Perubahan tersebut dibedakan menjadi tiga sesuai sifat persamaaan tersebut
1 Tanda lebih kecil dari atau sama dengan ≤
Kendala yang mempunyai tanda lebih kecil dari atau sama dengan harus ditambahkan dengan variabel slack
non negatif disisi kiri kendala. Variabel ini untuk membuat ruas yang semula longgar
menjadi ketat sehingga sama nilainya dengan ruas yang lainnya B. Susanta, 1994: 69 . Contoh kendala
berubah menjadi
2 Tanda lebih besar dari atau sama dengan ≥
Kendala yang mempunyai tanda lebih besar dari atau sama dengan ≥ harus ditambahkan dengan variabel surplus t non negatif
disisi kanan kendala dan ditambahkan variabel buatan atau artificial variabel q disisi kiri. Variabel surplus untuk membuat
ruas yang semula longgar menjadi ketat sehingga sama nilainya dengan ruas yang lainnya. Variabel buatan memudahkan untuk
menyelesaikan masalah awal metode simpleks. Contoh kendala berubah menjadi
26 3
Tanda sama dengan = Setiap kendala yang mempunyai tanda sama dengan =, harus
ditambahkan dengan variabel buatan di sisi kiri kendala. Contoh kendala
berubah menjadi .
b. Sisi kanan dari suatu kendala persamaan tidak boleh negatif
Jika sebuah kendala bernilai negatif di sisi kanan, kendala tersebut harus dikalikan -1 untuk membuat sisi kanan positif.Jika terdapat
pertidaksamaan yang sisi kanan bernilai negatif maka harus dikalikan -1 sehingga merubah tanda pertidaksamaanya juga. Contoh kendala
berubah menjadi c.
Semua variabel dibatasi nilai-nilai non negatif Variabel-variabel yang bernilai negatif terdapat metode khusus dalam
penyelesaiannya akan tetapi tidak dibahas dalam tulisan ini. Contoh kendala
2. Fungsi tujuan
Permasalahan model linear dapat dibedakan menjadi dua yaitu meminimalkan atau memaksimalkan fungsi tujuan . Perubahan masing-
masing fungsi tujuan kedalam bentuk kanonik berbeda satu sama lain,dapat dituliskan bentuk kanonik dari metode simpleks sebagai
berikutJosep, 2012: 203:
27 a.
Fungsi tujuan meminimalkan Meminimalkan
dengan kendala
dengan dan
untuk i=1,2,...,m; j=1,2,...,n 2.13
maka bentuk kanonik metode simpleks dapat dituliskan menjadi:
2.14 b. Fungsi tujuan memaksimalkan
Memaksimalkan
dengan kendala
2.15
28 dengan
dan untuk i=1,2,...,m; j=1,2,...,n
maka bentuk kanonik metode simpleks dapat dituliskan menjadi:
2.16 dimana
adalah variabel slack non negatif. Tabel awal simpleks dengan matriks yang diperbesar dengan
penambahan variabel basis dan . Tabel awal simpleks dapat dilihat
seperti Tabel 2.1 Dumairy,2012:369.
Tabel 2. 1 Tabel Awal Simpleks Penyelesaian Program Linear
... ...
̅ ̅
... ...
... 1
... ...
1 ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
1 ...
... Z
... ...
Z
29 Keterangan :
= variabel fungsi tujuan = koefisien teknis
= konstanta ruas kanan setiap kendala = koefisien ongkos fungsi tujuan , untuk variabel slack dan
surplus bernilai nol sedangkan variabel artifisial bernilai
–M untuk polamemaksimalkan dan M untuk pola meminimumkan
̅ = variabel basis pada persamaan kanonik
̅ = koefisien untuk variabel dalam basis , pada awal koefisien
ini bernilai nol. = hasil kali
, dengan kolom ∑
= rasio terkecil untuk menentukan variabel keluar baris pivot, diperoleh dengan rumus
⁄ yang digunakan untuk
menentukan baris kunci yaitu dipilih dengan terkecil dengan
Z = nilai fungsi tujuan yang diperoleh dari
∑ ̅
Penyelesaian metode simpleks dilakukan guna memperoleh kombinasi yang optimal dari variabel-variabel pilihan. Langkah-langkah penyelesaian
metode simpleks sebagai berikut Dumairy, 2012:370: 1.
Rumuskan dan mengubah model menjadi bentuk kanonik. 2.
Bentuk tabel pertama berdasarkan keterangan tabel simplek 2.1 3.
Tentukan kolom pivot diantara kolom- kolom variabel yang ada, yaitu
30 kolom yang mengandung nilai
paling positif untuk kasus maksimasi atau mengandung nilai
paling negatif jika kasusnya minimasi.
4. Tentukan baris pivot diantara baris – baris variabel yang ada,yaitu baris
yang memiliki “rasio kuantitas” dengan nilai positif terkecil, baik masalah maksimasi maupun minimasi.
5. Bentuk tabel berikutnya dengan memasukkan variabel yang masuk ke
kolom program dan mengeluarkan variabel yang keluar dari kolom tersebut, serta lakukan transformasi baris- baris variabel.
6. Lakukan pengujian optimalitas. Ciri-ciri tabel simpleks yang sudah optimal
dibedakan menjadi a.
Pola memaksimumkan Tabel sudah optimal jika
untuk semua j b.
Pola meminimumkan Tabel sudah optimal jika
untuk semua j Selanjutnya kembali ke langkah nomor 2 dan seterusnya hingga
diperoleh penyelesaian yang optimal.Berikut merupakan contoh penyelesaian masalah program linear menggunakan metode simpleks agar mempermudah
pemahaman Dumairy, 2012:371. Contoh:
Maksimumkan Dengan kendala :
31 Berdasarkan langkah- langkah penyelesaian pemrograman linier, masalah di
atas terlebih dahulu diubah menjadi bentuk kanonik, berikut model kanonik: Maksimumkan
Dengan kendala,
Model yang sudah berbentuk kanonik ini dapat langsung diterjemahkan menjadi tabel simpleks pertama, dengan menempatkan variabel- variabel
semu atau slack variable sebagai variabel dasar. Langkah
awal disajikan pada Tabel 2.2 sebagai berikut:
Tabel 2.2 Tabel simpleks I
25 15
̅ 3
3 1
24 8
2 4
1 20
10 3
1 21
7
25 15
32 Pada Tabel 2.2 terlihat bahwa tabel belum optimal karena masih
terdapat nilai positif pada baris .Dipilih nilai
terbesar sehingga kolom pivot pada tabel tersebut menjadi variabel yang masuk. Ternyata nilai
terbesar dimiliki oleh kolom , nilai
terkecil adalah 7 pada variabel basis
sehingga keluar digantikan variabel
. Perpotongan antara kolom pivot dan baris pivot menjadi elemen pivot yang menjadi acuan
perhitungan Operasi Baris Elementer OBE untuk pengisian tabel simpleks selanjutnya. Selanjutnya dilakukan dengan cara perhitungan terlebih dahulu
pada baris pivot, elemen pivot yang sebelumnya bernilai 3 diubah menjadi 1 dengan cara perhitungan baris pivot dikalikan 13 Sedangkan elemen di atas
elemen pivot menjadi 0 diperoleh dengan cara, baris kedua dikurangi 23 dikalikan baris pivot. Sedangkan baris pertama dikurangi 1 dikalikan baris
pivot, sehingga tabel iterasi II seperti Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Tabel simpleks iterasi II
25 15
̅ 3
1 -1
3 1
4 1
23 6
1,5 25
1 13
7 --
23 253
15 -253
33 Berdasarkan Tabel 2.3 dapat dilihat bahwa nilai tersebut belum
optimal, karena masih ada nila yang bernilai positif, sehingga harus
ditentukan kolom pivot, baris pivot dan elemen pivot. Nilai terbesar
dimiliki oleh kolom dan variabel
merupakan variabel masuk. Adapun baris pivot adalah baris
karena memiliki nilai terkecil dan basis
merupakan variabel yang keluar. Sehingga keluar digantikan variabel
. Elemen pivot yang sebelumnya bernilai 3 diubah menjadi 1 dengan cara
perhitungan baris pivot dikalikan 13 Sedangkan elemen di bawah elemen pivot menjadi 0 diperoleh dengan cara, baris kedua dikurangi 43 dikalikan
baris pivot. Sedangkan baris ketiga dikurangi 0 dikalikan baris pivot, sehingga tabel iterasi II seperti Tabel 2.4.
Tabel 2.4 Tabel Simpleks Iterasi Akhir
25 15
̅ 15
1 13
-13 1
- -43
1 23
2 -
25 1
13 7
7 25
15 5
103 190
-5 -103
Pada penyelesaian tahap ketiga ini terlihat tidak terdapat lagi unsur positif pada baris
. Berarti penyelesaian sudah optimal, tabel III
34 merupakan tabel optimal. Dengan membaca tabel terakhir ini dapat
disimpulkan bahwa optimalitas tercapai pada kombinasi produksi 7 unit dan 1 unit
dengan provit maksimum 190 dan tersisa 2 unit masukan .
M. Goal Programming
