P
cr
P P
P P
Sendi Plastis
Penopang a Tekuk bila
tidak ada momen utama
P
cr
b ketidakstabilan bila ada momen
utama c Kekuatan plastis
bila portal stabil secara
keseluruhan
4.3.3. Tekuk Portal Elastis
Ada dua jenis beban yang dapat menyebabkan ketidakstabilan. Untuk portal tak bergoyang Gambar 3.6 bagian a, momen lentur utama tidak ada dan
satu-satunya beban adalah tekanan aksial. Beban kritis untuk keadaan seperti ini biasanya disebut beban tekuk. Batang-batang tidak akan melentur sebelum beba
tekuk tercapai.
Gambar 3.6 Kekuatan Portal Tak Bergoyang sumber : Salmon, Johnson, 1995
Dalam Gambar 3.6 bagian b, momen letur terjadi pada saat struktur stabil
secara keseluruhan. Karena titik kumpul portal kaku, momen disalurkan ke batang kolom. Selain momen lentur utama pada kolom, tekanan aksial menimbulkan
momen sekunder yang sama dengan P kali lendutan. Pada kombinasi tekanan aksial dan momen yang tertentu, lendutan lateral pada kolom membesar tanpa
mencapai keseimbangan, keadaan ini disebut ketidakstabilan, atau ketidakstabilan bila momen lentur utama bekerja.
Universitas Sumatera Utara
P
cr
P
cr
P P
H P
H
Sendi Plastis
a Tekuk bila tidak ada
momen utama b ketidakstabilan
bila ada momen utama
c Kekuatan plastis bila portal
stabil secara keseluruhan
Bila momen lentur utama ada, sejumlah sendi plastis yang cukup banyak mungkin terbentuk sebelum ketidakstabilan portal tercapai sehingga terjadi suatu
mekanisme. Dalam hal ini, kekuatan batas untuk portal tak bergoyang sama dengan kekuatan plastis Gambar 3.6 bagian c.
Kekuatan portal bergoyang lihat Gambar 3.7 juga dapat dibedakan atas tiga kategori: tekuk bila tidak ada momen utama Gambar 3.7 bagian a,
ketidakstabilan ketika momen utama bekerja Gambar 3.7 bagian b, dan kekuatan plastis Gambar 3.7 bagian c. Untuk portal bergoyang, pencapaian kekuatan
plastis sering kali berarti pencapaian mekanisme yang berkaitan dengan ketidakstabilan geometris secara keseluruhan.
Gambar 3.7 Kekuatan Portal Bergoyang sumber : Salmon, Johnson, 1995
Konsep panjang kolom efektif L’=KL telah diperkenalkan sebelumnya pada bagian 3.2 mengenai Panjang Efektif dan sebuah nilai K didapatkan untuk
beberapa kasus yang lazim dijumpai. Dari pengamatan disimpulkan bahwa bila ujung-ujung kolom dikekang secara lateral sehingga efek P-
Δ tersebut tidak dapat
Universitas Sumatera Utara
berkembang, maka faktor K ≤ 1,0. Dengan “Tiang bendera” dari gambar 3.1
bagian e atau dasar sendi dari gambar 3.1 bagian f, maka faktor K adalah 2,0 atau lebih.
Kita akan mendapatkan bahwa K dalam bangunan bertingkat banyak, yang dapat bertranslasi, dapat cukup banyak lebih besar dari 2,0 seperti yang dilukiskan
dalam Gambar 3.8 bagian a. Untuk bagian kerangka elastik yang diperlihatkan dalam Gambar 3.8 bagian b dan menggunakan persamaan:
X = A sin ky 3.14
Dengan k = PEI
12
dan dengan menggunakan panjang efektif L’ = KL, maka kita mendapatkan:
� = � ���
�� ��
3.15 Dengan mengambil titik asal koordinat di sebuah titik lentur balik seperti
yang diperlihatkan dalam Gambar 3.8 bagian b, maka di atas kolom tersebut kita akan memperoleh:
y = y
1
x = x
1
�
1
= � ���
��
1
��
3.16 Di atas kolom : y = y
1
– L x = x
1
–L Dengan memperhatikan bahwa sin α – β = sin α cos β – cos α sin β,
maka:
�
2
= � ����
��
1
��
���
� �
− ���
��
1
��
���
� �
�
3.17
Universitas Sumatera Utara
I
b
I
b
I
b
I
b
I
c
I
c
I
c
x y
a
O
1
x
1
y
O
1
x y
1
y - L
1
L I
c
A I
b
P x
1
O
2
b
c
L
M M
L2 L2
ML 6EI
ML 6EI
ML 6EI
ML 6EI
P
Gambar 3.8 Kerangka Elastik Untuk Penurunan Suku-Suku G
a
Dan G
b
Untuk Mendapatkan Panjang Kolom Efektif KL. a Bagian Kerangka Elastik, KL Yang
Didefenisikan Sebagai Jarak Diantara Titik-Titik Lentur Balik. b Elemen Kolom Yang Diisolasi Dengan Suku-Suku Yang Digunakan Dalam Penurunan Yang
Diidentifikasi. c Balok Konjugat Dan Variasi Momen Yang Dianggap. sumber : Joseph E. Bowles, 1985
Universitas Sumatera Utara
Di atas dan alas kolom, lereng tersebut sama dengan dxdy, dan dari persamaan 3.16 dan 3.17, kita mendapatkan:
�
1
=
�� ��
���
��
1
��
3.18
�
2
=
�� ��
����
��
1
��
���
� �
+ ���
��
1
��
���
� �
�
3.19 Dari diagram momen lentur untuk distribusi momen yang dianggap
sepanjang balok-balok yang berubah secara linier seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 3.8 bagian c, maka lereng balok di titik hubung dengan kolom dan
dengan menggunakan prinsip balok konjugat memberikan:
�
1
=
∑ ��
1
�
�
∑ 6��
�
3.20
�
2
=
∑ ��
2
�
�
∑ 6��
�
3.21 Dimana penjumlahan
Ʃ diambil karena beban dan momen berasal dari kedua arah. Dari penurunan persamaan Euler sebelumnya, dan dengan
menjumlahkan P, maka kita dapatkan:
∑ � = ∑ �
π K
�
2 ��
�
�
�
3.22 Dengan mensubstitusikan, kita mendapatkan:
�
1
=
∑� � ⁄
2
��
�
�
�
�
1
⁄ ∑ 6��
�
�
�
⁄
=
1 6
�
� �
�
2
�
�
�
1
3.23 Dimana,
�
�
=
∑ ��
�
�
�
⁄ ∑ ��
�
�
�
⁄
Demikian juga,
�
2
=
1 6
�
� �
�
2
�
�
�
2
Dengan mensubtitusikan x
1
dan x
2
[dengan menggunakan persamaan 3.16 dan 3.17], kita mendapatkan:
Universitas Sumatera Utara
�
1
= �
� �
�
2 � 6
�
�
�
�
���
��
1
��
3.24
�
2
= − �
� �
�
2 � 6
�
�
�
�
����
��
1
��
���
� �
− ���
��
1
��
���
� �
�
3.25 Diperpotongan kolom-balok dari kerangka tegar, maka rotasi kolom
menyamai rotasi balok, sehingga dengan menyamakan kedua nilai θ
1
, kita mendapatkan:
� �
�
�
6
���
��
1
��
= 1
3.27 Demikian juga dengan menyamakan persamaan 3.25 dan persamaan
3.19, kita mendapatkan: −
� �
�
�
6
=
�
���
��
1
��
− ���
� �
�
= 1 + ���
��
1
��
tan
� �
3.28 Dengan mensubstitusikan persamaan 3.27 untuk tan πy
1
KL, kita mendapatkan:
�
�
�
�
� � ⁄
2
− 36 6
�
�
+ �
�
=
� � ⁄
tan � �
⁄
3.29 Kita dapat memprogramkan persamaan 3.29 untuk pertambahan G
a
dan G
b
kemudian mengulanginya sampai sebuah nilai F = πK didapatkan untuk memenuhi kesamaan tersebut. Nilai F = πK yang didapatkan seperti itu
digunakan untuk mendapatkan K sebagai:
� =
� �
3.30 Sebuah grafik dari G
a
dan G
b
terhadap K dapat dibuat seperti yang di perlihatkan dalam Gambar 3.2 bagian b. Nomogaraf Faktor Tekuk Kolom ini
mula-mula dikembangkan oleh Julian dan Lawrence dalam diktat-diktat kuliah yang tak diterbitkan dan seperti yang dikutip oleh beberapa referansi, termasuk
Structural Stability Research Council, Guide to Stability Design Criteria for
Universitas Sumatera Utara
Metal Structures, edisi ke 3, yang diedit oleh Johnston dan yang diterbitkan oleh John Wiley Sons, Inc, New York.
Dengan cara yang agak serupa, karena syarat-syarat batasnya berbeda, maka kita dapat mengembangkan persamaan untuk G
a
, G
b
, dan K untuk kerangka- kerangka yang dikekang terhadap translasi lateral sebagai:
�
�
�
�
4
�
� �
�
2
+
�
�
+ �
�
2
�1 −
� � ⁄
tan � �
⁄
� +
2 ��� � �
⁄ � �
⁄
= 1
3.31 Persamaan ini dapat juga diprogramkan untuk nilai-nilai G
a
dan G
b
dan untuk mencari nilai F = πK yang bersangkutan untuk memenuhi kesamaan
tersebut. Sebuah grafik Program ini diperlihatkan dalam nomograf dalam Gambar 3.2 bagian a.
Penggunaan kedua nomograf yang diperlihatkan dalam Gambar 3.2 melibatkan perhitungan nilai-nilai sebesar:
�
�
=
∑ ��
�
�
�
⁄ ∑ ��
�
�
�
⁄
di ujung jauh dari kolom 3.32
�
�
=
∑ ��
�
�
�
⁄ ∑ ��
�
�
�
⁄
di ujung dekat dari kolom 3.33
Dari penurunan yang melibatkan G
a
dan G
b
, jelaslah bahwa jika kita menggunakan salah satu dari nilai tersebut G
a
maka ujung lain menghasilkan G
b
yakni, nilai-nilai tersebut dapat digunakan secara bergantian. Bila E konstan, maka E tersebut dapat dicoret dari persamaan 3.32 dan
persamaan 3.33, akan tetapi bila dikembangkan tekukan yang tak elastis, maka E
t
harus digunakan untuk E dalam perbandingan EI
c
L
c
. Pertimbangan lainnya termasuk:
a Bila kolom tersebut disendikan ke dasar, maka perbandingan EI
b
L
b
sama dengan nol, karena nilai teoritis dari I = 0 maka yang dihasilkan adalah G =
Universitas Sumatera Utara
∞. Untuk situasi ini maka disarankan supaya menggunakan G = 10 karena adanya suatu kesukaran dalam menghasilkan sebuah sambungan bersendi
yang sebenarnya. b Bila kolom tersebut secara tegar dibuat tetap kepada sebuah dasar yang
sangat tegar, maka perbandingan EI
b
L
b
= ∞ dan G = 0. Untuk situasi ini di
sarankan untuk menggunakan G = 1,0 karena adanya suatu kesukaran dalam menghasikan sambungan yang betul-betul tegar.
c Bila sebuah balok atau gelagar digunakan dengan pengikatan yang memadai ke kolom yang ditinjau tetapi:
• Ujung jauh dibuat bersendi maka kalikanlah perbandingan EI
g
L
g
x 1,5. • Ujung jauh dibuat tetap maka kalikanlah perbandingan EI
g
L
g
x 2,0. d Jika balok-balok hanya di kerangka saja ke kolom-kolom, maka gunakanlah
gambar 3.1 untuk K.
1.12. Metode Kemiringan-Lendutan Slope-Deflection Method
