Rumus Kolom Euler ANALISA

Gambar 3.2 Nomogram Faktor Tekuk Kolom

1.10. Rumus Kolom Euler

Batang yang dibebani secara aksial axially loaded members, yaitu batang-batang yang merupakan elemen-elemen struktur yang memiliki sumbu longitudinal lurus dan hanya memikul gaya aksial tarik atau tekan. Hal ini biasanya terdapat pada batang-batang diagonal dalam berbagai rangka truss, batang-batang penghubung dalam berbagai mesin, kabel-kabel dalam jembatan , kolom-kolom dalam bangunan dan lain-lain. a Tak Ada Goyangan Samping b Goyangan Samping diizinkan Universitas Sumatera Utara L P P X Y Persamaan umum rumus kolom Euler telah diturunkan dalam BAB II, yaitu persamaan 2.8 dan 2.10. Gambar 3.3 Kondisi Perletakan Ujung Sendi-Sendi Persamaan differensial kolom yang tertekuk diberikan oleh persamaan 2.8 yakni: �� � 4 � �� 4 − � � 2 � �� 2 = 0 3.1 Dengan � 2 = � �� 3.2 Penyelesaian umum dari persamaan differensial diatas diberikan oleh persamaan 2.11 yakni: Y = A sin kx + Bcos kx + Cx + D 3.2a Untuk struktur yang ditunjukkan diatas, pada kedua ujung batang displacement searah sumbu-y dan momen lentur sama dengan nol. Maka persamaan kondisi batas yang diberikan pada persamaan 3.1 � = � 2 � �� 2 pada x = 0 dan x = L 3.3 Turunan kedua dari persamaan 3.2a adalah: � = � 2 � �� 2 = − �� 2 sin �� − �� 2 cos �� 3.4 Universitas Sumatera Utara Dengan memasukkan harga-harga kondisi batas kedalam persamaan ke dalam persamaan 3.2a dan turunannya, maka diperoleh: Pada x = 0 B + D = 0 3.5 -k 2 b = 0 3.6 Pada x = L A sin kL + B cos kL + CL + D = 0 3.7 -k 2 A sin kL – k 2 B cos kL = 0 3.8 Untuk menyelesaikan persamaan – persamaan diatas dapat disusun dalam bentuk matrix sebagai berikut: � 1 −� 2 sin �� − � 2 sin �� cos �� −� 2 cos �� � 1 1 � � � � � � � = 0 3.9 Terdapat suatu jawaban tidak berarti non trivial solution untuk persamaan diatas, yaitu: A = B = C = D = 0, dan penurunan rumusnya tidak dibahas lebih lanjut. Dari persamaan 3.6 didapat B = 0 sehingga persamaan 3.5 diperoleh D = 0. Dari persamaan 3.8 menghasilkan –k 2 A sin kL = 0, hasil ini tidak berarti jika A = 0, kemungkinan lainnya ialah sin kL = 0. Sebagai gantinya kita juga bisa melihat persamaan 3.3 bahwa kita menghadapi persoalan harga eigen. Dalam kasus ini, supaya diperoleh solusi non trivial maka determinan matriks itu harus sama dengan nol, sehingga diperoleh: -k 4 L sin kL = 0 Jika k = 0; k 2 = PEI maka harga P sama dengan nol. Ini menunjukkan tidak terdapay gaya tekan yang bekerja pada batang, tinggal satu lagi kemungkinan yakni : sin kL = 0 Universitas Sumatera Utara Ini berarti kL = 0 atau nπ = 1,2,3 dan seterusnya. Dari definisi, k 2 = PEI dimana kL = nπ �� � �� � � = �� 3.10a � �� = � 2 � 2 �� � 2 3.10b P cr adalah gaya aksial yang membuat batang tertekuk. Karena yang digunakan adalah harga yang terkecil dari beban batas atau beban Euler, maka harga n pada persamaan 3.10a diambil 1, dengan demikian, � �� = � 2 � 2 �� � 2 3.11 Kita akan mengecu pada harga ini sebagai beban kritis Euler dengan kondisi ujung sendi-sendi yang lazim disebut sebagai kasus dasar fundamental case tekuk dari batang prismatis. Persamaan dari kasus dasar diatas sering juga dituliskan dalam bentuk berikut: � �� = � 2 �� �� 2 3.12 Dimana: Lk adalah panjang tekuk. Pada kasus dasar ini kondisi ujung sendi-sendi panjang tekuk adalah Lk=L. Selanjutnya kita akan mengusahakan untuk menentukan kurva defleksi batang desak jika mengalami beban kritis. Dari persamaan 3.2 ditunjukkan bahwa harga B, D, dan sin kL semuanya nol, sehingga persamaan 3.7, C harus nol. Dengan memasukkan harga-harga tersebut kepersamaan 3.2a kita peroleh: Y = A sin kx 3.13 Universitas Sumatera Utara Harga A pada persamaan 3.13 tak tentu. Maka yang dapat kita tentukan hanyalah batang desak dengan kondisi ujung sendi-sendi akan terdefleksi mengikuti suatu kurva sinus amplitude tak tentu.

1.11. Analisis Beban Kritis Pada Portal Baja