Metode Kofaktor Determinan Dan Invers Matriks a. Determinan Matriks.

100 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK = − = − = − = − = − + + 1 4 5 5 4 9 1 4 5 3 7 13 22 2 2 23 2 3 31 c c c 1 1 3 4 5 5 5 1 4 3 5 5 5 1 4 3 3 4 7 3 1 32 3 2 33 3 3 + + + = − = − = − = − = c c Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus : CA= a a a a a a a a a a a a a a a a + − + − + 22 32 23 33 21 31 23 33 21 31 22 32 21 32 13 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 31 13 33 11 31 12 32 12 22 13 23 11 21 13 23 11 2 − + − + 1 1 12 22 19 23 5 13 9 5 1 13 7 a a                             = − − − − −             Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = C ij t , yaitu: Adj A c c c c c c c c c t =             = − 11 21 31 12 22 32 13 23 33 19 1 13 1 23 9 13 5 5 7 − − − −             Dari masalah 2.10 di atas, diperoleh inver matriks A. Dengan rumus : A A adj A − = 1 1 det 101 Matematika Sehingga: A adj A − = = − − − − − −             = 1 1 1 32 19 13 1 23 9 13 5 5 7 det A 1 19 32 13 32 1 32 23 32 9 32 13 32 5 32 5 32 7 32 − − − −                      Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok, coba tunjukkan bahwa AA - 1 = A - 1 A = I, dengan I adalah matriks identitas 3 × 3. Bentuk matriks permasalahan 2.10 adalah 4 3 5 3 4 7 5 5 4 2030000                         = x y z 1 1790000 2500000             Bentuk ini dapat kita nyatakan dalam bentuk persamaan AX = B. Untuk memperoleh matriks X yang elemen-elemennya menyatakan biaya sewa hotel, biaya transportasi dan biaya makan, kita kalikan matriks A - 1 ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX = B, sehingga diperoleh X A B = =          − − − − − − 1 19 13 13 32 1 32 23 32 9 32 13 32 5 32 5 32 7 32              ×        2030000 1790000 2500000     X =             547500 592500 116875 Hasil yang diperoleh dengan menerapkan cara determinan dan cara invers, diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00. 102 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Berdasarkan langkah-langkah pemecahan masalah di atas, dapat disimpulkan Sifat 2.6 Misalkan matriks A berordo n × n dengan n ∈ N. Jika det A ≠ 0, A − = 1 1 det A adj Adan AA -1 = A -1 A = I, I adalah matriks identitas perkalian matriks

e. Sifat-Sifat Invers Matriks

Misalkan matriks A = − −         2 1 3 2 det A = 2-2 – 1-3 = -1 A adj − = = − − −         1 1 1 1 2 1 3 2 det A A = − −         2 1 3 2 A adj − − − − = = − − −           = −      1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 3 2 det A A       = A Perhatikan uraian di atas diperoleh bahwa A - 1 - 1 = A. Coba buktikan sifat berikut setelah kamu mempelajari invers matriks Sifat 2.7 Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A A = � dan det A A − − = 1 1 maka A A -1 =1 Arahkan siswa mene- mukan sifat-sifat invers matriks melalui berbagai contoh-contoh dan me- minta siswa untuk mem- buktikan sifat tersebut se- cara umum. 103 Matematika Sifat 2.8 Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. detA ≠ 0, Jika A -1 adalah invers matriks A, maka A -1 -1 = A. Perhatikan pertanyaan, apakah AB - 1 = B - 1 × A - 1 Misalkan matriks A= 2 1 3 2 − −         dan B= − −         2 1 3 det A = 2- 2 – 1-3 = -1 A adj − = = − − −         = − −         1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 3 2 det A A det B = 0-2 – 3-1 = 3 B B B − = = − −         = − −        1 1 1 3 1 3 2 1 3 1 2 3 det adj     A B A B × = − −        × − −         × = −       2 1 3 2 2 1 3 1 6 3   Dengan demikian dipereloh det AB = - 3 – 0 = -3. Selanjutnya, det AB AB Adj AB − = = − − −         = −      1 1 1 3 3 6 1 1 2 1 3        AB − = −            1 1 2 1 3