Permutasi Siklis Menemukan Konsep Pencacahan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi

302 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK salahnya kita menyelidiki posisi duduk Beny, Edo, Lina, dan Siti yang duduk mengitari meja bundar. Adapun posisi duduk yang mungkin keempat orang tersebut adalah sebagai berikut: f B E L S B L E d S e B E L S c B E L S b B E L S B L E a S Gambar 8.3 Susunan posisi tempat duduk Terdapat 6 cara posisi duduk keempat mengitari meja bundar tersebut. • Ternyata, pola n – 1 Akan menghasilkan banyak cara dengan banyak cara yang diperoleh dengan cara manual, yaitu 4 – 1 = 3 = 6 cara. Coba temukan susunan posisi duduk Beny, Edo, dan Lina secara manual. Kemudian bandingkan dengan menggunakan pola n – 1. Berikut ini merupakan kemungkinan cara duduk yang mungkin terbentuk yaitu sebanyak 6 cara. B e r d a s a r k a n penyelesaian yang telah dilakukan, minta siswa untuk menemukan pola penyelesaian masalah. Jika siswa masih mengalami kesulitan berikan beberapa permasalahan lain sehingga siswa dapat menyimpulkan bahwa permutasi siklis itu adalah n – 1. 303 Matematika Masalah-8.8 Seorang direktor bank swasta yang berkantor di Jakarta akan melakukan rotasi kepala cabang yang terdapat di 5 kota besar, yaitu Fahmi Jakarta, Cintha Surabaya, Trisnawati Bandung, Novand Medan, dan Rahmat Padang. Dia meminta staff ahlinya untuk menyusun pilihan-pilihan yang mungkin untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya. Bantulah staff ahli tersebut untuk menyusun pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut Alternatif Penyelesaian Misalkan kelima kepala cabang tersebut duduk melingkar, seperti diilustrasikan pada gambar berikut ini. Posisi kepala cabang sebelum rotasi F C T N R J S B M P F C T R N J S B M P Pilihan rotasi 1 F R C T N J S B M P Pilihan rotasi 4 F R C T N J S B M P Pilihan rotasi 5 F C R T N J S B M P Pilihan rotasi 2 F C R N T J S B M P Pilihan rotasi 3 Gambar 8.4 Ilustrasi rotasi kepala cabang bank swasta Minta siswa untuk memahami Masalah 8.8. Penyelesaian masalah ini melibatkan permutasi siklis. Minta siswa untuk menyelesaikan dengan caranya sendiri . Berikut ini disajikan hanya beberapa kemungkinan rotasi duduknya kepala cabang. Diharapkan dengan memahami permutasi siklis siswa dapat menyelesaikan bahwa kemungkinan rotasi kepala cabang itu adalah 24 cara. 304 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK ♦ Menurut kamu, ada berapakah pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut? Berikan penjelasanmu. Untuk menentukan banyak cara menyusun unsur dalam posisi melingkar, kita dapat menguji validitas pola n – 1. • Jika terdapat 4 unsur, maka banyak susunan adalah 4 – 1 = 3 = 6 cara. • Jika terdapat 3 unsur, maka banyak susunan adalah 3 – 1 = 2 = 2 cara. • Jika terdapat 5 unsur, maka banyak susunan adalah 5 – 1 = 4 = 24 cara. Secara umum, jika terdapat n unsur yang disusun melingkar, maka banyak susunan unsur yang mungkin disebut permutasi siklis, dinyatakan dalam sifat berikut ini. Sifat 8.3 Misalkan dari n unsur yang berbeda yang tersusun melingkar. Banyak permutasi siklis dari n unsur tersebut dinyatakan: − siklis P = n 1 ♦ Perhatikan kembali Masalah 8.8, karena alasan keluarga Fahmi dan Trisnawati hanya mau dirotasi jika mereka berdua ditempatkan di pulau yang sama. Berapa pilihan rotasi kepala cabang bank swasta yang mungkin? Kerjakan secara mandiri dan bandingkan hasil kerjamu dengan temanmu. Alternatif Penyelesaian R C T F N J S B M P Berdasarkan pola n – 1 Minta siswa untuk menguji kebenaran dari pola tersebut, misalnya dengan mencoba pola itu atas 5 unsur, 4 unsur, 3 unsur atau beberapa unsur. Berikan masalah ini kepada siswa, selanjutnya periksa. 305 Matematika • Jika Fahmi di Jakarta dan Trisnawati di Bandung atau sebaliknya, maka terdapat 3 kemungkinan di Surabaya, 2 kemungkinan di Padang dan 1 kemungkinan di Medan. Akibat diperoleh: 2 × 1 × 1 × 3 × 2 × 1 = 12 cara. • Jika Fahmi di Jakarta dan Trisnawati di Surabaya atau sebaliknya, maka terdapat 3 kemungkinan di Bandung, 2 kemungkinan di Padang dan 1 kemungkinan di Medan. Akibat diperoleh: 2 × 1 × 1 × 3 × 2 × 1 = 12 cara. • Jika Fahmi di Bandung dan Trisnawati di Surabaya atau sebaliknya, maka terdapat 3 kemungkinan di Jakarta, 2 kemungkinan di Padang dan 1 kemungkinan di Medan. Akibat diperoleh: 2 × 1 × 1 × 3 × 2 × 1 = 12 cara. • Jika Fahmi di Medan dan Trisnawati di Padang, maka terdapat 3 kemungkinan di Surabaya, 2 kemungkinan di Bandung dan 1 kemungkinan di Jakarta. Akibat diperoleh: 2 × 1 × 1 × 3 × 2 × 1 = 12 cara. Jadi banyak rotasi kepala cabang bank swasta tersebut yang mungkin adalah: 48 cara.

1.4 Kombinasi

Cara menyusun unsur dengan memperhatikan urutan telah dikaji pada sub pokok bahasan permutasi. Selanjutnya, dalam percakapan sehari-hari kita mungkin pernah mengatakan “kombinasi warna pakaian kamu sangat tepat” atau tim sepakbola itu merupakan kombinasi pemain- pemain handal”. Apakah kamu memahami arti kombinasi dalam kalimat itu? Untuk menjawabnya, mari kita pelajari makna kombinasi melalui memecahkan masalah-masalah berikut ini. I n f o r m a s i k a n kepada siswa bahwa pembelajaran selanjutnya adalah kombinasi. Dalam hal ini siswa harus memahami bahwa kombinasi itu merupakan susunan unsur tanpa memperhatikan urutan. 306 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Masalah-8.9 Hasil seleksi PASKIBRA di Kabupaten Bantul tahun 2012, panitia harus memilih 3 PASKIBRA sebagai pengibar bendera dari 5 PASKIBRA yang terlatih, yaitu Abdul A, Beny B, Cyndi C, Dayu D, dan Edo E. 3 PASKIBRA yang dipilih dianggap memiliki kemampuan sama, sehingga tidak perhatikan lagi PASKIBRA yang membawa bendera atau penggerek bendera. Berapa banyak pilihan PASKIBRA yang dimiliki panitia sebagai pengibar bendera? Alternatif Penyelesaian Mari kita selesaikan masalah ini dengan cara manual, sambil memikirkan bagaimana pola rumusan untuk menyelesaikannya. Adapun pilihan-pilihan yang mungkin sebagai pengibar bendera adalah sebagai berikut: • Pilihan 1: Abdul, Badu, Cyndi • Pilihan 2: Abdul, Badu, Dayu • Pilihan 3: Abdul, Badu, Edo • Pilihan 4: Abdul, Cyndi, Dayu • Pilihan 5: Abdul, Cyndi, Edo • Pilihan 6: Abdul, Dayu, Edo • Pilihan 7: Badu, Cyndi, Dayu • Pilihan 8: Badu, Cyndi, Edo • Pilihan 9: Badu, Dayu, Edo • Pilihan 10: Cyndi, Dayu, Edo Terdapat 10 pilihan PASKIBRA sebagai pengibar bendera. Dengan menggunakan faktorial, 10 cara yang ditemukan dapat dijabar sebagai berikut: Minta siswa untuk memahami Masalah 8.9. Dengan diselesaikannya masalah ini diharapkan dapat dikonstruk tentang prinsip kombinasi dengan mengamati pola yang terbentuk.