Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P a, b dan berjari-jari r

365 Matematika Gambar 9.20 : Lingkaran dilalui titik Ax 1 , y 1 Garis singgung g tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis singgung g adalah m m x a y b g PA = − = − − − 1 1 1 Persamaan garis singgung g adalah y – y 1 m g x – x 1 ⇔ y y x a y b x x − = − − − − 1 1 1 1 ⇔ y – y 1 y1 – b = – x 1 – ax – x 1 ⇔ yy 1 – yb – y 1 2 + y 1 b = –x 1 x – x 1 2 – ax + ax 1 ⇔ yy 1 – yb – y 1 2 + yb = –x 1 x + x 1 2 + ax – ax 1 ⇔ xx 1 – xa + x 1 a + yy 1 – yb + y 1 b = x 1 2 – y 1 2 Karena Ax 1 , y 1 terletak pada lingkaran x – a 2 + y – b 2 = r 2 , maka diperoleh x 1 – a 2 + y 1 – b 2 = r 2 ⇔ x 1 2 – 2x 1 a + a 2 + y 1 2 – 2y 1 b + b 2 = r 2 ⇔ x 1 2 + y 1 2 = r 2 + 2x 1 – a 2 + a 2 + 2y 1 b – b 2 366 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Substitusikan x 1 2 + y 1 2 = r 2 + 2x 1 – a 2 + a 2 + 2y 1 b – b 2 ke persamaan garis singgung di atas, diperoleh xx 1 – xa + x 1 a + yy 1 – yb + y 1 b = r 2 + 2x 1 a – a 2 + 2 1 yb – b 2 ⇔ xx 1 – xa + x 1 a + a 2 + yy 1 – yb + y 1 b + b 2 = r 2 ⇔ x – ax 1 – a+ y – by 1 – b = r 2 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik Pa, b dan berjari-jari r yang melalui titik Ax 1 , y 1 pada lingkaran x – a 2 + y – b 2 = r 2 adalah x – ax 1 – a + y – by 1 – b = r 2 Sifat 9.6 Persamaan garis singgung yang melalui titik x 1 , y 1 pada lingkaran x – a 2 + y – b 2 = r 2 adalah x – ax 1 – q + y 1 – b = r 2 Contoh 9.12 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik 2, 4 dengan persamaan lingkarannya adalah x – 1 2 + y – 2 2 = 5. Alternatif Penyelesaian: Persamaan garis singgung lingkaran x – 1 2 + y – 2 2 = 5 yang melalui titik 2, 4 adalah x – ax 1 – a + y – by 1 – b = r 2 ⇔ x – 1x 1 – 1 + y – 2y 1 – 2 = 5 ⇔ x – 12 – 1 + y – 24 –2 = 5 ⇔ x – 11 + y – 22 = 5 ⇔ x – 1 + 2y – 4 = 5 ⇔ x + 2y = 0 Ajak siswa untuk memahami Sifat 9.6 tentang persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat lingkaran a, b. Minta siswa untuk memahami contoh 9.12 sebagai penerapan dari prinsip persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik a, b. 367 Matematika Jadi persamaan garis singgung lingkaran x – 1 2 + y – 2 2 = 5 adalah x + 2y = 0 Latihan 9.7 1. Misalkan titik Ax 1 , y 1 terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + ax + by + c = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 yang melalui titik Ax 1 , y 1 Alternatif Penyelesaian: Jika diberikan lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 dan diminta untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik Ax 1 , y 1 maka yang akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah dengan menggunakan konsep tentang persamaan lingkaran yang berpusat di titik Pa, b. Karena persamaan lingkaran yang berpusat di PA, B adalah x 2 + y 2 + 2Ax + 2By + C = 0 maka persamaan lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 berpusat di titik P A B − −       1 2 1 2 , Berdasarkan prinsip persamaan garis singgung yang melalui titik x 1 , y 1 pada lingkaran x – a 2 + y – b 2 = r 2 diperoleh persamaannya adalah x – a x 1 – a + y – b y 1 – b = r 2 Karena –a = A dan –b = B sehingga persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 2Ax + 2By + C = 0 yang melalui Ax 1 , y 1 adalah x a x a y b y b r −       −       + −       −       = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 10x – 12y + 25 = 0 di titik a. 5, 12 b. 1, 6 c. –5, 0 Minta siswa untuk menyelesaikan latihan 9.7 Soal no 1 bertujuan untuk memberitahukan kepada siswa bahwa persamaan lingkaran juga dapat berbentuk x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 dengan jari-jari P A B − −       1 2 1 2 , dan menerapkan prinsip persamaan garis singgung lingkaran Soal no 2 bertujuan untuk menerapkan tentang konsep persamaan lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 dengan jari- jari P A B − −       1 2 1 2 , 368 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan persamaan lingkaran yang diberikan yaitu maka pusat lingkarannya adalah penyelesaian soal no 2 dapat digunakan prinsip yang ditemukan dalam soal no 1 sehingga a. Untuk titik 5, 12 diperoleh x a x a y b y b r −       −       + −       −       = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ⇔ x y − −       − −       + −       −       = 1 2 5 5 1 2 5 1 2 6 1 2 1 2 6 61 1 ⇔ x y +       +       + − − = 5 2 5 5 2 3 1 2 3 61 ⇔ 30x + 36y – 521 = 0 b. Untuk titik 1, 6 diperoleh x a x a y b y b r −       −       + −       −       = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ⇔ x y − −       − −       + −       −       = 1 2 5 1 1 2 5 1 2 6 6 1 2 6 61 ⇔ 14x + 12y – 245 = 0 c. Untuk titik –5, 0 diperoleh x a x a y b y b r −       −       + −       −       = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ⇔ x y − −       − − −       + −       −       = 1 2 5 5 1 2 5 1 2 6 1 2 6 61 1 ⇔ 10x + 12y + 233 = 0 369 Matematika

c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran Masalah-9.9 Permainan tutup botol juga dapat dimainkan dengan versi yang berbeda. Beberapa membuat tutup botol dalam keadaan tertidur seperti pada gambar, lalu bagian belakangnya disentil dengan jari telunjuk ataupun jari tengah agar tutup botol itu meluncur ke depan. Gambar 9.21 Dua buah tutup botol Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. Mereka tertawa ketika tutup botol salah satu pemain berhasil meluncur dan mengenai tutup botol lainnya. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa salah satu tutup botol akan menyinggung tutup botol yang lain di dua titik. Misalkan Ax 1 , y 1 adalah titik yang berada pada tutup botol I dan sasarannya adalah tepi tutup botol II. Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g 1 dan g 2 tersebut Alternatif Penyelesaian: Misalkan titik Ax 1 , y 1 terletak di luar lingkaran. Terdapat dua garis singgung lingkaran yang melalui titik Ax 1 , y 1 dan digambarkan sebagai berikut. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut: Masalah berikut ini diberikan untuk membangun konsep persamaan garis singgung lingkaran dari sebuah titik di luar lingkaran. perlu dijelaskan kepada siswa bahwa tutup botol yang dipermainkan itu dianggap menyinggung tutup botol yang lain sehingga ada dua kemungkinan titik singgungnya. 370 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK 1. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik Ax 1 , y 1 adalah m sehingga diperoleh persamaan. y – y 1 = mx – x 1 ⇔ y – y 1 = mx – mx 1 ⇔ y = mx – mx 1 + y 1 2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx 1 + y 1 ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut. 3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx 1 + y 1 sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut. Contoh 9.13 Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P0, 0 dan berjari-jari 5 yang melalui titik 7, 1. Alternatif Penyelesaian: Titik 7, 1 berada di luar lingkaran x 2 + y 2 = 25 sebab jika titik 7, 1 disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 25 Persamaan lingkaran dengan pusat P0, 0 dan berjari-jari 5 adalah x 2 + y 2 = 25 Garis yang melalui titik 7, 1 dengan gradient m, memiliki persamaan y = mx – mx 1 + y 1 ⇒ y = mx –7m + 1