Menemukan Konsep Integral Tak Tentu

486 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Masalah-12.1 Di pelabuhan selalu terjadi bongkar muat barang dari kapal ke dermaga dengan menggunakan mesin pengangkatpemindah barang. Barang dalam jaring diangkat dan diturunkan ke dermaga. Terkadang barang diturunkan ke sebuah bidang miring agar mudah dipindahkan ke tempat yang diharapkan. Dari permasalahan ini, dapatkah kamu sketsa perpindahan barang tersebut? Dapatkah kamu temukan hubungan masalah ini dengan konsep turunan Ingat pelajaran Turunan pada Bab XI Alternatif Penyelesaian: Misalkan masalah di atas kita sketsa dengan sederhana pada gambar berikut: Gambar 12.1 Barang yang diturunkan ke bidang miring Sekarang, kita misalkan jaring barang yang diturunkan adalah sebuah fungsi, bidang miring sebuah garis, ketinggian adalah sumbu y, dan permukaan dermaga adalah sumbu x maka gambar tersebut dapat disketsa ulang dengan sederhana pada bidang koordinat kartesius. Ajukan Masalah 12.1 kepada siswa. Ingatkan siswa proses pergerakan objek barang mengikuti konsep transformasi translasi. Minta siswa membuat sketsa sederhana sesuai dengan cerita pada masalah tersebut. Berikut adalah sketsa sederhana berdasarkan Masalah 12.1. Minta siswa menghubungkan Gambar 12.1 dengan cerita pada Masalah 12.1. Pandu siswa mengubah masalah nyata menjadi masalah abstrak dengan menggunakan pendekatan koordinat. Pandu siswa untuk membentuk sketsa sederhana masalah di atas dengan menggunakan 487 Matematika y x jaring diturunkan bidang miring Gambar 12.2 Jaring dan bidang miring sebagai kurva dan garis pada bidang koordinat kartesius Jika jaring tersebut sebuah kurva dan diturunkan pada Gambar 12.2 maka berdasarkan konsep Transfromasi translasi pada Bab X, terjadi perubahan nilai konstanta pada fungsi tersebut sampai akhirnya kurva tersebut akan menyingung bidang miring atau garis. Perhatikan gambar kembali. y = fx+c 1 y = fx+c 2 y = fx+c 3 .... y = fx+c k y x garis singgung y = mx + n Gambar 12.3 Perubahan konstanta fungsi pada translasi kurva Berdasarkan Gambar 12.3, kurva yang bergerak turun akan menyinggung garis tersebut. Ingat kembali konsep gradien sebuah garis singgung pada Bab XI bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi yang disinggung garis tersebut. Berdasarkan konsep tersebut maka Gambar 12.3 memberikan informasi bahwa: m adalah turunan pertama y′ atau m = dy dx = f ′ x ingat bidang koordinat kartesius. Minta siswa mempelajari sketsa berikut dan kembali menghubungkan dengan cerita pada Masalah 12.1 Ingatkan siswa konsep translasi yang telah dipelajari pada bab sebelumnya. Minta siswa memberi komentar, apa maksud dari nilai c 1 , c 2 , c 3 dan c k pada gambar di samping. Minta siswa mengingat kembali konsep turunan terkait persamaan garis singgung. Tanya siswa, apa hubungan gradien garis singgung dengan fungsi yang disinggung? 488 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK notasi turunan di Bab XI sehingga y adalah anti turunan dari m . Dengan demikian anti turunan dari m adalah y = fx + c k . Hal ini berarti bahwa nilai konstanta c k dapat berubah- ubah. Jadi, kita telah memahami bahwa integral adalah antiturunan dari sebuah fungsi. Dan anti turunan dari sebuah fungsi akan mempunyai konstanta yang belum dapat ditentukan nilainya. Untuk lebih memahaminya, kita ingat kembali proses turunan sebuah fungsi pada masalah berikut. Masalah-12.2 Berdasarkan konsep turunan, beberapa fungsi tersebut bila diturunkan menghasilkan fungsi yang sama. Jika digunakan konsep antiturunan pada fungsi tersebut, bagaimanakah fungsinya? Apakah dapat kembali ke fungsi asal? Berikut adalah fungsi-fungsi yang akan diamati. a Fx = 1 4 x 4 , b Fx = 1 4 x 4 + 4, c Fx = 1 4 x 4 – 8, d Fx = 1 4 x 4 – 1 2 , e Fx = 1 4 x 4 – 13 207 . Turunkan fungsi-fungsi tersebut kemudian amatilah turunan nilai konstantanya Hubungkan kembali fungsi awal dengan turunannya serta anti turunannya Buatlah kesimpulan dari hasil pengamatan dari penyelesaian yang kamu peroleh petunjuk: turunan fungsi Fx adalah F′x = fx = y′ Alternatif Penyelesaian: a Fx = 1 4 4 x adalah F x = fx = y = d dx x 1 4 4       = x 3 Ajukan Masalah 12.2 kepada siswa. Beri kesempatan kepada siswa untuk mempelajari masalah tersebut terlebih dahulu. Minta siswa menurunkan semua fungsi tersebut dan mengamati, apa yang terjadi? 489 Matematika b Fx = 1 4 4 4 x + adalah F x = fx = y d dx x 1 4 4 4 +     = x 3 c Fx = 1 4 8 4 x − adalah F x = fx = y = d dx x 1 4 4 8 −     = x 3 d Fx = 1 4 1 2 4 x − adalah F x f x y d dx x x = = = − =     1 4 4 3 1 2 e Fx = 1 4 13 207 4 x − adalah F x f x y d dx x x = = = − =     1 4 4 3 13 207 Jika dilakukan pengamatan kepada ketiga fungsi, maka seluruh fungsi Fx tersebut di atas adalah antiturunan dari fungsi fx = x 3 , sementara fungsi Fx mempunyai konstanta yang berbeda-beda. Jadi, dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat memiliki banyak antiturunan. Jika Fx adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu fx maka antiturunan dari f x adalah Fx + c dengan c adalah sembarang konstanta. F x f x F x + c turunan anti turunan Perhatikan dan pahami deinisi dan sifat berikut. Deinisi 12.1 f : R → R dan F : R → R disebut antiturunan atau integral tak tentu f jika F x = fx ∀ x ∈ R Pandu siswa mengamati hubungan turunan dan antiturunan masing – masing fungsi. Arahkan siswa memahami Deinisi 12.1, Sifat 12.1 dan Sifat 12.2. Minta siswa membuat contoh berdasarkan deinisi dan kedua sifat tersebut. 490 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Sifat 12.1 Proses menemukan y dari dy dx merupakan kebalikan dari sebuah proses turunan dan dinamakan antiturunan. Sifat 12.2 Jika Fx adalah sebuah fungsi dengan F x = fx dapat dikatakan bahwa a. turunan Fx adalah f x dan b. antiturunan dari fx adalah Fx Contoh 12.1 Jika m = 2x – 4 adalah gradien garis singgung dari sembarang kurva fx. Tunjukkan bahwa terdapat banyak fungsi fx yang memenuhi. Alternatif Penyelesaian: Dengan mengingat konsep gradien suatu garis singung dengan turunan bahwa gradien adalah turunan pertama fungsi tersebut maka m = dy dx = 2x – 4. Berdasarkan Deinisi 12.1 maka y adalah antiturunan dari gradien dy dx = 2x – 4 sehingga dengan konsep turunan maka y = x 2 – 4x + c dengan c adalah konstanta bernilai real. Dengan c adalah konstanta bernilai real maka terdapat banyak fungsi y = fx yang memenuhi gradien garis singgung tersebut. Ajukan Contoh 12.1 pada siswa. Minta salah satu siswa memberikan penjelasan terkait hubungan gradien garis singgung dengan turunan serta mengaitkan kembali dengan antiturunan. Penjelasan yang diberikan merupakan penyegaran teori atau konsep turunan kepada siswa. 491 Matematika Perhatikan gambar berikut PGS PGS PGS PGS x y c 1 c 2 c 3 c 4 Gambar 12.4 Persamaan garis singgung dan fungsi fx Pada Gambar 12.4 terdapat banyak persamaan garis singgung yang sejajar. Ingat kembali deinisi persamaan garis yang sejajar. Dengan demikian, terdapat juga banyak fungsi kurva yang disinggung oleh garis singgung tersebut. Uji Kompetensi 12.1 1. Tentukan antiturunan dari a. fx = 2x e. fx = 6x b. fx = 3x f. fx = 7x c. fx = 4x g. fx = 8x d. fx = 4x h. fx = 9x Minta siswa mengamati gambar berikut. Minta siswa mengaitkan gambar tersebut dengan permasalahan pada soal tersebut. Minta salah satu siswa untuk memberikan komentar dan pendapatnya tentang gambar di samping. Arahkan siswa mengaitkan gambar di samping dengan konsep persamaan garis lurus, konsep persamaan garis singgung dalam turunan, serta konsep translasi pada transformasi. Arahkan proses belajar ke sesi tanya jawab antara siswa dengan siswa, guru sebagai fasilitator dan penengah bila ada pendapat yang berlawanan atau keluar dari kebenaran konsep Untuk melihat tingkat pemahamanan siswa akan hubungan antara turunan dan antiturunan, ajukan Uji Kompetensi 12.1 sebagai tugas pribadi. Soal ini, dapat diberikan sebagai tugas rumah. Guru sebaiknya memberikan soal tambahan. 492 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK 2. Tentukan antiturunan dari fungsi fx berikut a. fx = 2x 2 e. fx = 4x 2 b. fx = 2x 3 f. fx = 4x 3 c. fx = 3x 2 g. fx = ax n d. fx = 3x 3 3. Tentukan antiturunan dari a. fx = x – 2 b. fx = 2x – 3 c. f x x = − 1 2 d. f x x = 1 3 e. f x x = − 5 1 3 f. f x x = − 2 3 3 2 g. f x x = − 100 1 4 h. f x a b x n = − 1 dengan a, b bilangan real, b ≠ 0, n rasional. 4. Tentukan antiturunan fx dengan memanfaatkan turunan fungsi gx dibawah ini a. Jika fx = 8x 3 + 4x dan gx = x 4 + x 2 b. Jika f x x = dan g x x x = c. Jika fx = x + 2 3 dan g x = x + 2 4 5. Jika gradien m suatu persamaan garis singgung terhadap fungsi fx memenuhi m = x 2 – 1. Tunjukkan dengan gambar bahwa terdapat banyak fungsi fx yang memenuhi gradien tersebut. 493 Matematika

2. Notasi Integral dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu

2.1 Notasi Integral

Kita telah banyak membahas tentang turunan dan antiturunan serta hubungannya pada beberapa fungsi yang sederhana pada sub-bab di atas. Pada kesempatan ini, kita akan menggunakan sebuah notasi operator antiturunan tersebut. Antiturunan dari sebuah fungsi fx ditulis dengan menggunakan notasi “∫” baca: integral. Perhatikan kembali Masalah 12.2. Alternatif penyelesaian di atas, dapat kita tuliskan kembali dengan menggunakan notasi integral tersebut. a Fx = 1 4 4 x Adalah F x = fx = y = d dx x 1 4 4       = x 3 sehingga diperoleh F x f x dx x dx x c = ∫ = ∫ = + 3 4 1 4 b Fx = 1 4 4 4 x + adalah F x = fx = y = d dx x 1 4 4 4 +     = x 3 sehingga diperoleh F x f x dx x dx x c = ∫ = ∫ = + 3 4 1 4 c Fx = 1 4 8 4 x − adalah F x = fx = y = d dx x 1 4 4 8 −     = x 3 sehingga diperoleh F x f x dx x dx x c = ∫ = ∫ = + 3 4 1 4 Setelah siswa memahami bahwa antiturunan adalah balikan dari turunan. Perkenalkan kepada siswa notasi integral sebagai pengganti antiturunan yang lazim dipakai. Pandu siswa menggunakan notasi integral pada contoh soal pada Masalah 12.2. Ingatkan siswa tentang notasi differensial dydx Minta siswa untuk mengamati setiap fungsi yang dihasilkan oleh masing-masing integrasi di atas. Tanya siswa, kenapa hasil integral menjadi Fx + c 494 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Contoh 12.2 Jika y = 3x 4 + 2x 3 , carilah nilai dy dx , kemudian tentukan ∫ 4x 3 + 2x 2 dx . Alternatif Penyelesaian: Jika y = 3x 4 + 2x 3 maka dy dx = 12x 3 + 6x 2 sehingga diperoleh ∫ 12x 3 + 6x 2 dx = 3x 4 + 2x 3 + c ∫ 34x 3 + 2x 2 dx = 3x 4 + 2x 3 + c 3 ∫ 4x 3 + 2x 2 dx = 3x 4 + 2x 3 + c ∫ 4x 3 + 2x 2 dx = x 4 + 2 3 x 3 + c

2.2 Rumus Dasar Integral Tak Tentu

Berdasarkan pengamatan pada beberapa contoh di atas, jika semua fungsi yang hanya dibedakan oleh nilai konstantanya diturunkan maka akan menghasilkan fungsi turunan yang sama sehingga bila diintegralkan akan mengembalikan fungsi turunan tersebut ke fungsi semula tetapi dengan konstanta c . Nilai konstanta c disebut tak tentu karena dapat digantikan oleh semua bilangan. Nilai konstanta c akan dapat ditentukan bila diketahui titik yang dilalui oleh fungsi asal tersebut. Titik asal initial value dapat disubstitusi ke fungsi hasil antiturunan sehingga nilai c dapat ditentukan. Sifat 12.3 Jika Fx adalah fungsi dengan F′x maka ∫ fxdx = Fx + c Dengan c sembarang konstanta Berikan soal pada Contoh 12.2 untuk dikerjakan siswa terlebih dahulu. Berikan soal yang lain kepada siswa untuk dikerjakan. Minta siswa membuat fungsi yang lain dan mengintegralkan fungsi yang mereka buat masing-masing. Pandu siswa untuk menemukan aturan dari integral tak tentu. Tanya siswa, kenapa integral disebut tak tentu? Berikan kesempatan kepada siswa untuk memberikan komentar atau pendapatnya. Arahkan siswa memahami Sifat 12.3 dan minta siswa membuat contoh sesuai dengan Sifat 12.3 tersebut.