Menganalisis Konsep Translasi Memahami dan Menemukan Konsep Translasi Pergeseran

380 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK tersebut? Coba kamu amati, teliti dengan baik hubungan koordinat Kartesius pada setiap titik. Dapatkah kamu temukan konsep pergeseran? Alternatif Penyelesaian. 1. Gambar formasi cara berdiri keempat anak dan guru mereka pada latihan mengirim bola boli sesuai permasalahan di atas adalah sebagai berikut: Gambar 10.2: Formasi guru dan siswa dalam latihan bola voli 2. Formasi mereka dalam sistem koordinat Kartesius. Anggap guru olah raga tersebut adalah titik pusat O0, 0. Gambar 10.3 Formasi 4 orang siswa dan 1 orang guru pada koordinat kartesius 3. Coba kamu gambarkan formasi mereka dalam bidang koordinat Kartesius dengan guru olah raga tersebut adalah titik pusat P1, 3. Minta siswa untuk menggambarkan formasi mereka latihan bola voli sesuai dengan masalah tersebut. Ingatkan siswa masalah arah mata angin untuk meletakkan titik di utara, timur, selatan dan barat. Perhatikan Gambar 10.2 di samping. Minta siswa mensketsa kembali formasi pada Gambar 10.2 ke bidang koordinat kartesius. Ingatkan siswa bahwa posisi guru adalah di O0,0. Minta siswa memperhatikan Gambar 10.3. Tanya siswa, apa arti tanda panah pada gambar? Minta siswa menggambarkan formasi latihan bola voli tersebut kembali ke koordinat 381 Matematika Langkah 1. Letakkanlah titik P1, 3 di koordinat Kartesius. Langkah 2. Buatlah garis di empat penjuru utara, timur, selatan, dan barat dengan titik P adalah titik pusatnya. Langkah 3. Bergeraklah 4 satuan ke masing-masing penjuru dan letakkanlah sebuah titik serta berilah nama titik A, B, C dan D. Langkah 4. Tentukanlah koordinat titik A, B, C dan D tersebut. 4. Perhatikan tabel berikut. Tabel 10.1 Posisi keempat siswa dalam bidang koordinat Kartesius dan hubungannya. Darike Siswa 1 A0, 4 Siswa 2 B4, 0 Siswa 3 C0, -4 Siswa 4 D-4, 0 Siswa 1 A0,4 4 4       =       +       4 4 4 4       =       + −       4 4 8 −       =       + −       − = + − −                   4 4 4 4 Siswa 2 B4,0 4 4 4 4                   = + − 4 4       =       +       4 4 4 4 − = + − −                   − = + −                   4 4 8 Siswa 3 C0,-4 4 4 8                   = − + 4 4 4 4       = −       + −       4 4 −       = −       +       − = − + −                   4 4 4 4 Siswa 4 D-4,0 4 4 4 4                   = − + 4 4 8                   = − + 4 4 4 4 − = − + −                   −       = −       +       4 4 Coba kamu isi sel yang masih kosong pada tabel di atas. Secara umum dapat kita lihat bahwa: jika titik Ax, y ditranslasi oleh Ta, b, koordinat hasil translasinya adalah Ax + a, y + b . Perhatikan deinisi berikut. Minta siswa melengkapi setiap sel pada tabel di samping. Minta siswa mengamati penjumlahan bilangan pada matriks pada tabel. Arahkan siswa mengamati hubungan antar koordinat asal dan tujuan pada setiap sel. Ingatkan siswa materi Matriks di kelas X. kartesius dengan mengubah posisi guru olah raga ke koordinat P1,3, pandu siswa mengikuti langkah – langkah di samping. 382 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Deinisi 10.1 Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi titik Ax, y dengan Ta, b menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A x + a, y + b, secara notasi ditulis: A x y A x a y b T a b        →  + +             Mari kita pelajari beberapa soal berikut yang diselesaikan dengan deinisi di atas. Contoh 10.1 Sebuah titik A10, -8 ditranlasikan berturut-turut dengan T 1 –1, 2 dilanjutkan T 2 1,–12 dan T 3 –5, –6 kemudian dilanjutkan lagi dengan. Tentukan koordinat titik banyangan A tersebut setelah ditranslasikan. Alternatif Penyelesaian-1 Permasalahan di atas dapat kita notasikan dengan: A A x y A T T 10 8 1 2 1 2 1 12 −        →         →  −       −       xx y A x y T        →        − −       3 5 6 Dengan demikian, proses translasi dapat dilakukan secara bertahap 3 tahap Tahap 1. A A x y T 10 8 1 1 2 −        →        −       x y       = −       + −       = − + −       = −       1 2 10 8 1 10 2 8 9 6 Informasikan Pada penjumlahan setiap sel diperoleh matriks baru selain matriks awal dan tujuan. Contoh di sel baris 1 kolom 1 diperoleh matriks       . Tanya siswa, matriks lain yang diperoleh pada sel lainnya. Dengan mengamati penjumlahan matriks di atas, guru bersama – sama dengan siswa menarik pendeinisian berikut. Untuk melihat tingkat pemahaman siswa tentang deinisi di atas, minta siswa memahami penyelesaian Contoh soal 10.1 berdasarkan deinisi tersebut. Guru sebagai fasilitator dan mengawasi kebenaran pendapat siswa. Pandu siswa memahami setiap proses translasi bertahap berikut. Pastikan siswa memahami penggunaan konsep atau deinisi di atas pada masing – masing tahap. 383 Matematika Jadi, koordinat bayangan pada tahap 1 adalah A9,–6. Tahap 2. A x y A x y T        →        −       2 1 12 x y       = −       + −       = + − −       = −     1 12 9 6 1 9 12 6 10 18   Jadi, koordinat bayangan pada tahap 2 adalah A10, –18. Tahap 3. A x y A x y T        →        − −       3 5 6 x y       = − −       + −       = − + − −       = − 5 6 10 18 5 10 6 18 5 24 4       Jadi, koordinat bayangan pada tahap 3 adalah A5, –24. Dengan demikian, bayangan titik A 10, −8 setelah ditranlasikan berturut-turut dengan T 1 –1, 2, T 2 1, –12, dilanjutkan dengan T 3 –5, –6 adalah A5, –24. Alternatif Penyelesaian-2 Permasalahan translasi di atas, dapat juga kita proses secara langsung atau tidak bertahap sebagai berikut: A A x y A T T 10 8 1 2 1 2 1 12 −        →         →  −       −       xx y A x y T        →        − −       3 5 6 x y       = − −       + −       + −       + −       = 5 6 1 12 1 2 10 8 −− + − + − − + −       = −       5 1 1 10 6 12 2 8 5 24 Dengan demikian, bayangan titik A10, −8 setelah ditranlasikan berturut-turut dengan T 1 –1, 2, T 2 1, –12 dilanjutkan dengan T 2 –5, –6 adalah A5, –24. Arahkan siswa memahami alternatif penyelesaian kedua di samping. Tanya siswa, kenapa proses translasi dapat dilakukan sekaligus tidak bertahap? Minta siswa untuk menyampaikan pendapatnya. 384 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Alternatif Penyelesaian-3 Permasalahan di atas, dapat kita selesaikan secara geometri atau dengan menggambar pada bidang koordinat Kartesius. Gambar 10.4 Pergeseran bertahap sebuah titik Contoh 10.2 Sebuah garis g dengan persamaan y = mx, ditranslasikan dengan Tx 1 , y 1 sehingga terbentuk garis g’. Jika garis g’ melalui titik Bx 2 , y 2 maka tentukanlah nilai m. Minta siswa mengamati pergerakan titik objek oleh translasi pada tahap 1, 2 dan 3 pada gambar di samping. Tanya siswa, dimanakah translasi yang membuat pergeseran dapat dilakukan sekaligus alternatif penyelesaian 2? Minta siswa menggambarkan proses translasi pada alternatif penyelesaian 2. Contoh 10.2 adalah proses translasi yang dilakukan pada sebuah garis sebagai objek. Arahkan siswa memahami proses penyelesaian di samping. Tanya siswa, titik Ax,y yang bagaimana yang dimaksud disamping? Pastikan siswa mengerti bahwa titik Ax,y yang dimaksud adalah titik yang memenuhi garis objek tersebut. 385 Matematika Alternatif Penyelesaian A x y A x y T x y        →              1 1 x y x y x y x x y y       =       +       = + +       1 1 1 1 Diperoleh x = x 1 + x atau x = x – x 1 serta y = y − y 1 atau y = y 1 − y sehingga dengan mensubstitusi ke persamaan garis g diperoleh garis g’ dengan persamaan: y = mx ⇒ y = y – y 1 ⇒ y – y 1 = mx – x 1 Karena garis g’ melalui titik Ax 2 , y 2 maka y 2 – y 1 = mx 2 – x 1 sehingga m y y x x = − − 2 1 2 1

2. Memahami dan Menemukan Konsep Releksi Pencerminan

2.1 Menemukan Sifat-Sifat Releksi

Pada saat kamu berdiri di depan cermin cermin datar, kemudian kamu berjalan mendekati cermin dan mundur menjauhi cermin, bagaimana dengan gerakan bayanganmu? Tentu saja bayanganmu mengikuti gerakanmu bukan? Bagaimana dengan jarak dirimu dan bayanganmu dengan cermin? Jarak dirimu dengan cermin sama dengan jarak bayanganmu dengan cermin. Mari kita lihat dan amati bentuk, ukuran dan posisi suatu objek bila dicerminkan pada sistem koordinat. Perhatikan gambar berikut. Minta siswa menjelaskan pengalamannya pada saat bercermin. Arahkan siswa menjelaskan bentuk dan ukuran dan jarak bayangan setiap objek pada cermin. Minta siswa mengamati pencerminan objek pada bidang koordinat kartesius berikut. Arahkan siswa mengamati bentuk, ukuran dan posisi titik, bidang dan kurva. Beri kesempatan pada siswa menyampaikan pendapatnya. Ingatkan siswa konsep gradien pada persamaan garis yang dipelajari di SMP. 386 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Gambar 10.5 Pencerminan titik, bidang dan kurva pada sistem koordinat Kartesius.3 Pada sistem koordinat Kartesius di atas, objek titik, bidang, kurva lingkaran mempunyai bayangan dengan bentuk dan ukuran yang sama tetapi letak berubah bila dicerminkan dengan garis. Perhatikan sifat- sifat pencerminan berikut. Sifat 10.3 Bangun objek yang dicerminkan releksi tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Sifat 10.4 Jarak bangun objek dari cermin cermin datar adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut. Kerja kelompok. Perhatikan gambar berikut. Jika garis 1 dan garis 2 adalah cermin maka berdasarkan sifat pencerminan, gambarkanlah bayangan kurva berikut Bersama – sama dengan siswa, guru memandu menyimpulkan sifat – sifat pencerminan pada dunia nyata dan pada pendekatan koordinat. Minta siswa mengutarakan pendapatnya masing – masing tentang sifat – sifat pencerminan. Arahkan siswa memahami Sifat 10.3 dan Sifat 10.4 Pandu siswa dalam bekerja kelompok. Bentuk kelompok kerja siswa terdiri dari 3 atau 4 orang. Arahkan mereka bekerja dan mempresentasikan kerja kelompoknya. Berikan kesempatan