Invers Matriks Determinan Dan Invers Matriks a. Determinan Matriks.

96 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Pada teori dasar matriks, bahwa tidak ada operasi pembagian pada matriks, tetapi yang ada adalah invers matriks atau kebalikan matriks. Misalkan A matriks persegi, berordo 2 × 2, A a c b d =         . Maka invers matriks A, dinotasikan A - 1 : A a.d b.c d c b d - 1 1 = − − −         dengan a.d. ≠ b.c d c b d − −         disebut adjoint matriks A, dinotasikan adjA. Salah satu sifat invers matriks adalah A - 1 .A=A.A - 1 =I Akibatnya persamaan 4 dapat dimodiikasi menjadi: A -1 . A. X = A -1 B. semua ruas dikalikan A -1 . A -1 .A. X = A -1 B I.X = A -1 B X = A -1 B karena I. X = X ...............................................5 Rumusan ini berlaku secara umum, dengan syarat det A ≠ 0, namun ada beberapa teknik yang harus diperhatikan. Untuk selanjutnya akan dikaji pada subbab berikut. Deinisi 2.3 Misalkan A sebuah matriks persegi dengan ordo n × n, n ∈ N. • Matriks A disebut matriks tidak singular, apabila det A ≠ 0. • Matriks A disebut matriks singular, apabila detA = 0. • A -1 disebut invers matriks A jika dan hanya jika AA -1 = A -1 A = I, dengan I adalah matriks identitas perkalian matriks . 97 Matematika Masalah-2.10 Agen perjalanan Sumatera Holidays menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba, yaitu menginap di Inna Parapat Hotel, transportasi ke tiap tempat wisata, dan makan di Singgalang Restaurant. Paket perjalanan yang ditawarkan yaitu Paket I terdiri 4 malam menginap, 3 tempat wisata dan 5 kali makan dengan biaya Rp2.030.000,00. Paket II dengan 3 malam menginap, 4 tempat wisata dan 7 kali makan dengan biaya Rp1.790.000,00. Paket III dengan 5 malam menginap, 5 tempat wisata dan 4 kali makan dengan biaya Rp2.500.000,00. Berapakah biaya sewa hotel tiap malam, satu kali transportasi dan satu kali makan? Alternatif Penyelesaian Misalkan x : biaya sewa hotel y : biaya untuk transportasi z : biaya makan Paket 1 Paket 2 Paket 3 Sewa hotel 4 3 5 Transportasi 3 4 5 Makan 5 7 4 Biaya Total 2.030.000 1.790.000 2.500.000 Dalam bentuk matriks adalah seperti berikut : 4 3 5 3 4 7 5 5 4 2030000 1790000 2500000                         = x y z             Determinan untuk matriks masalah 2.10 di atas : Organisasikan siswa un- tuk membangun cara me- nentukan invers matriks berordo 3 ×3 melalui lang- kah-langkah pemecahan masalah nyata yang diaju- kan. Arahkan siswa beker- jasama dalam kelompok belajar dan mendorong siswa berinteraksi secara multiarah untuk mengaju- kan ide-ide secara bebas terbuka. 98 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK A =             4 3 5 3 4 7 5 5 4 Maka det A = 4 3 5 3 4 7 5 5 4 4 3 5 3 4 7 = × × + × × + × × − × × − × × − × × = − 4 4 4 3 5 5 5 3 7 5 4 5 4 5 7 3 3 4 32 x =                     2030000 1790000 2500000 3 4 7 5 5 4 4 3 5 3 4 7 5 5 4     = − − = 17520000 32 547500 y =                     4 3 5 2030000 1790000 2500000 5 5 4 4 3 5 3 4 7 5 5 4     = − − = 18960000 32 592500 z =                     4 3 5 3 4 7 2030000 1790000 2500000 4 3 5 3 4 7 5 5 4     = − − = 3740000 32 116875 Oleh karena itu, biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00 Cobalah kamu selesaikan masalah tersebut dengan cara menentukan invers matriks. Mintalah bimbingan dari gurumu. Organisasikan siswa men- gamati sebuah matriks A, untuk menentukan matriks kofaktor A yang elemen-elemennya adalah nilai determinan sub ba- gian matriks A atau minor dari matriks A. 99 Matematika

d. Metode Kofaktor

Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan M ij adalah determinan matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j. Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo n × n, maka minor elemen a ij yang dinotasikan dengan M ij , dideinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berordo n- 1 × n-1 setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalkan matriks A = a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33             minor elemen a 11 adalah a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33             sehingga M 11 a a a a 22 32 23 33         M 11 , M 12 , dan M 13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke–1 dari matriks A. Matriks kofaktor matriks A dilambangkan C M c M a a a a ij i j ij ij i j i j = − = − = − + + + 1 1 1 11 22 23 32 33 dan det c c c c 11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 1 4 7 5 4 19 1 3 5 5 4 13 1 3 5 4 7 1 = − = − = − = = − = = + + + − = + 1 3 7 5 4 23 4 5 4 3 2 1 100 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK = − = − = − = − = − + + 1 4 5 5 4 9 1 4 5 3 7 13 22 2 2 23 2 3 31 c c c 1 1 3 4 5 5 5 1 4 3 5 5 5 1 4 3 3 4 7 3 1 32 3 2 33 3 3 + + + = − = − = − = − = c c Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus : CA= a a a a a a a a a a a a a a a a + − + − + 22 32 23 33 21 31 23 33 21 31 22 32 21 32 13 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 31 13 33 11 31 12 32 12 22 13 23 11 21 13 23 11 2 − + − + 1 1 12 22 19 23 5 13 9 5 1 13 7 a a                             = − − − − −             Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = C ij t , yaitu: Adj A c c c c c c c c c t =             = − 11 21 31 12 22 32 13 23 33 19 1 13 1 23 9 13 5 5 7 − − − −             Dari masalah 2.10 di atas, diperoleh inver matriks A. Dengan rumus : A A adj A − = 1 1 det