Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran

336 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Pertama kali yang dilakukan adalah membuat radius jari- jari sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak Gunung Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya harus mengungsi karena berada pada daerah radius 3 km yaitu Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan Payung. Deinisi 9.1 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu Masalah-9.2 Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang koordinat cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P0, 0 dan jari-jarinya r = 3. Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang berada pada titik Sx, y pada lingkaran tersebut, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut Alternatif penyelesaian Gambar 9.2: Lingkaran pusat P0, 0 dan jari-jari r = 3 Ajak juga siswa untuk bersikap saling mengasihi sesamanya jika terjadi bencana alam, sehingga mereka dapat menolong sesamanya melalui perbuatan sekecil apapun. Berdasarkan penyelesaian masalah 9.1 fasilitasi siswa untuk membuat deinisi 9.1 dan memahami deinisi yang telah dibuat Selanjutnya ajak siswa untuk memahami masalah 9.2. Setelah siswa memahami maksud dari Masalah 9.2 suruh siswa untuk menyelesaikan masalah tersebut. Tujuan diselesaikannya masalah 9.2 ini adalah agar siswa dapat menentukan rumus dari bentuk lingkaran yang berpusat di titik 0, 0 dan berjari-jari r. Pandu siswa untuk menyelesaikan masalah 9.2 dan ingatkan kembali kepada siswa tentang rumus jarak dua titik sebagai bekal awal untuk menyelesaikan masalah tersebut. 337 Matematika jarak titik Sx, y ke titik P0, 0 dapat ditentukan dengan rumus: PS x y = − + − 2 2 Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka r x y x y r = − + − ⇔ − + − = 2 2 2 2 Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh x – 0 2 + y – 0 2 = r 2 ⇔ x 2 + y 2 = r 2 Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh x 2 + y 2 = 3 2 ⇔ x 2 + y 2 = 9 Sifat 9.1 Persamaan lingkaran yang berpusat di P0, 0 dan memiliki jari-jari r adalah x 2 + y 2 = r 2 Atau dengan kata lain Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P0, 0 maka L {x, y | x 2 + y 2 = r 2 } Contoh 9.1 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan jari-jari sebagai berikut: a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 Dengan diselesaikannya Masalah 9.2, pastikan siswa dapat mendeinisikan bentuk baku persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0, 0 dan berjari- jari r sehingga siswa memahami arti dari Sifat 9.1 Sebagai bentuk uji tentang pemahaman siswa terhadap Deinisi 9.2, suruh siswa untuk memahami contoh 9.1 dan menyelesaikannya dengan caranya sendiri. 338 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Alternatif Penyelesaian a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan panjang jari-jari 3 adalah x 2 + y 2 = 3 2 ⇔ x 2 + y 2 = 9 b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan panjang jari-jari 4 adalah x 2 + y 2 = 4 2 ⇔ x 2 + y 2 = 16 c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan panjang jari-jari 5 adalah x 2 + y 2 = 5 2 ⇔ x 2 + y 2 = 25 d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan panjang jari-jari 6 adalah x 2 + y 2 = 6 2 ⇔ x 2 + y 2 = 36 Masalah-9.3 Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat Kartesius dan gunung Sinabung berpusat di Pa, b dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salah satu desa yaitu Sukameriah berada pada titik Sx, y, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut Alternatif Penyelesaian: Gambar 9.3: Lingkaran pusat Pa, b dilalui titik Sx, y Selanjutnya ajak siswa untuk mengamati masalah 9.3 dan suruh siswa untuk menyelesaikannya dengan caranya sendiri, selanjutnya fasilitasi siswa jika ada yang bertanya. Agar siswa memahami dengan baik masalah yang diberikan suruh siswa untuk mencoba m e n g g a m b a r k a n n y a selanjutnya ajak siswa untuk menyimpulkan hasil dari penyelesaian masalah yang diberikan. Tujuan dari menyelesaikan masalah ini adalah agar siswa dapat mendeinisikan bentuk baku dari persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0, 0 dan berjari- 339 Matematika Jarak titik Sx, y ke titik Pa, b adalah PS x a y b = − + − 2 2 Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka r x a y b x a y b r = − + − ⇔ − + − = 2 2 2 2 Dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh x – a 2 + y – b 2 = r 2 Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh x – a 2 + y – b 2 = 3 2 ⇔ x – a 2 + y – b 2 = 9 Sifat 9.2 Persamaan lingkaran yang berpusat di Pa, b dan memiliki jari-jari r adalah x – a 2 + y – b 2 = r 2 Atau dengan kata lain Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik Pa, b maka L {x, y | x – a 2 + y – b 2 = r 2 } Contoh 9.2 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 2, 2 dan berjari -jari r = 2. jari r. Seperti halnya menyelesaikan Masalah 9.2, ingatkan kembali siswa tentang rumus jarak dua titik sebagai bekal awal untuk menyelesaikan masalah tersebut. Dengan diselesaikannya Masalah 9.3, pastikan siswa dapat mendeinisikan bentuk baku persamaan lingkaran yang berpusat di titik a, b dan berjari- jari r sehingga siswa memahami arti dari sifat 9.2. Sebagai bentuk uji tentang pemahaman siswa terhadap Sifat 9.2, suruh siswa untuk memahami contoh 9.2 dan 9.3 serta menyelesaikannya dengan caranya sendiri. 340 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Gambar 9.4 : Lingkaran pusat 2, 2 dan r = 2 Alternatif Penyelesaian: x – a 2 + y – b 2 = r 2 a = 2; b = 2; c = 2 ⇔ x – 2 2 + y – 2 2 = 2 2 ⇔ x – 2 2 + y – 2 2 = 4 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di 2, 2 dan berjari-jari r = 2 adalah x – 2 2 + y – 2 2 = 4 Contoh 9.3 Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut a. x – 2 2 + y + 2 2 = 4 b. x + 2 2 + y + 2 2 = 9 c. x + 2 2 + y – 2 2 = 16 d. x + 2 2 + y 2 = 16 341 Matematika Alternatif Penyelesaian: a. x – 2 2 + y + 2 2 = 4 ⇔ x – 2 2 + y + 2 2 = 2 2 a = 2; b = –2; r = 2 lingkaran tersebut berpusat di titik 2, – 2 dan berjari- jari 2 b. x + 2 2 + y + 2 2 = 9 ⇔ x + 2 2 + y + 2 2 = 3 2 a = –2; b = –2; r = 3 Lingkaran tersebut berpusat di titik –2, –2 dan berjari- jari 3 c. x + 2 2 + y – 2 2 = 16 ⇔ x + 2 2 + y – 2 2 = 4 2 a = –2; b = 2; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik –2, 2 dan berjari- jari 4 d. x + 2 2 + y 2 = 16 ⇔ x + 2 2 + y 2 = 16 a = –2; b = 0; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik –2, 0 dan berjari- jari 4

2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep persamaan lingkaran yaitu : a. Lingkaran yang berpusat di P0, 0 dan berjari-jari r persamaannya adalah x 2 + y 2 = r 2 b. Lingkaran yang berpusat di Pa, b dan berjari-jari r persamaannya adalah x – a 2 + y – b 2 = r 2 Berikan informasi kepada siswa bahwa materi yang akan dibahas selanjutnya adalah mengenai sebuah lingkaran yang digambarkan pada koordinat kartesius berjari-jari r yang berpusat di 0, 0 dan a, b. informasikan juga kepada siswa bahwa persamaan di samping dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran . 342 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka dapat langsung diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari -jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran. Kegiatan 9.1 Jabarkanlah persamaan x – a 2 + y – b 2 = r 2 . Alternatif Penyelesaian x – a 2 + y – b 2 = r 2 ⇔ x 2 – 2ax + a 2 + y 2 – 2by + b 2 = r 2 ⇔ x 2 – y 2 – 2ax – 2by + a 2 + b 2 – r 2 = 0 Jika –a = A; –b = B; dan a 2 + b 2 – r 2 = C maka diperoleh ⇔ x 2 + y 2 + 2ax + 2By + C = 0 Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan x 2 + y 2 + 2a + 2by + C = 0, persamaan tersebut merupakan persamaan umum lingkaran. Contoh 9.4 Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan a 2 + b 2 – r 2 = C dengan –a = A; –b = B, tentukanlah nilai r. Alternatif Penyelesaian Karena a 2 + b 2 – r 2 = C dan –a = A; –b = B, maka r 2 = A 2 + B 2 – C 2 ⇔ r A B C = ± + − 2 2 Contoh 9.5 Berdasarkan kegiatan 9.1 diperoleh persamaan x 2 + y 2 + 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan bentuk baku persamaan lingkaran Berikut ini merupakan kegiatan siswa untuk mengekspansi persamaan lingkaran yang berpusat di titik a, b dalam menemukan bentuk umum persamaan lingkaran. Sebagai bentuk evaluasi terhadap pemahaman siswa tentang bentuk umum persamaan lingkaran, berikan contoh 9.4 dan 9.5. jika siswa telah selesai menyelesaikannya suruh siswa untuk menjelaskannya kepada temannya yang lain.