Keaktifan siswa tidak lepas dari peranan guru sebagai pembimbing dan fasilitator agar siwa menjadi lebih aktif dan kreatif dalam belajar. Menurut
Bruner dalam Sri Esti 2002, peranan guru harus menciptakan situasi, di mana siswa dapat belajar sendiri daripada memberikan suatu paket yang berisi
informasi atau pelajaran kepada siswa.
C. Penerapan Turunan
Fungsi 1.
Pengertian Fungsi
Definisi Purcell, 1987 : 48 : Sebuah fungsi
f
adalah suatu padanan yang menghubungkan tiap obyek x
dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal
x f
dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut.
2. Pengertian Turunan Fungsi
a. Fungsi kontinu pada satu titik
Definisi Purcell, 1987 : 95: Fungsi f dikatakan kontinu di
∈ [ , ]
jika dipenuhi ketiga hal berikut :
i. Fungsi f terdefinisi di
c
, yaitu ada,
ii. lim
x f
c x
→
ada, iii.
lim c
f x
f
c x
=
→
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
b. Fungsi kontinu pada interval Definisi Purcell, 1987 : 98:
i. Fungsi
f
dikatakan kontinu pada selang terbuka a,b jika fungsi f
kontinu di setiap titik pada a,b. ii. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a,b] jika fungsi
f kontinu pada selang terbuka a,b, kontinu kanan di a, dan
kontinu kiri di b. c. Turunan fungsi
Misalkan f fungsi yang kontinu pada daerah asal D, maka turunan fungsi dari f Purcell, 1987 : 115 adalah fungsi lain
f
yang nilainya pada sembarang bilangan
c
adalah :
h c
f h
c f
c f
h
lim −
+ =
→
asalkan limit ini ada.
3. Rumus Turunan Fungsi
a. Jika
=
, maka
= 0
b. Jika
=
, maka
=
c. Jika
=
, maka
=
d. Jika
= ±
, maka
= ±
e. Jika
= .
, maka
= . + .
f. Jika
=
,
≠ 0
, maka
=
. .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4. Nilai Stasioner Fungsi
Suatu fungsi dikatakan naik pada selang I jika , untuk
setiap , dan dikatakan turun pada selang I jika
, untuk setiap
. Dengan demikian, pada saat
′
= 0 fungsi tersebut tidak naik dan tidak turun atau dikatakan fungsi stasioner.
Definisi nilai stasioner sebagai berikut : Jika suatu fungsi
= kontinu dan diferensiabel di = dan
′
= 0, maka fungsi tersebut memiliki nilai stasioner di = , yaitu
. Dari definisi tersebut, jika pada
= berlaku
′
= 0, maka fungsi tersebut memiliki titik stasioner di
, .
5. Penerapan Turunan Fungsi
Nilai stasioner suatu fungsi menggambarkan adanya nilai minimum atau maksimum suatu fungsi atau dikenal ekstrim fungsi. Penelusuran
ekstrim fungsi berkaitan dengan penerapan turunan suatu fungsi. Dalam kehidupan di sekitar kita, dapat dijumpai berbagai penerapan turunan
fungsi. Kinematika dalam fisika dan maksimum keuntungan serta minimum biaya dalam ekonomi merupakan contoh permasalahan ekstrim
fungsi. Langkah-langkah
yang dapat dilakukan dalam menyajikan permasalahan dalam model matematika adalah sebagai berikut :
a. Nyatakan semua besaran atau faktor yang terlibat dalam permasalahan dalam suatu variabel matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
b. Nyatakan suatu rumusan dari variabel-variabel tersebut dalam hubungan tertentu sebagai representasi masalah.
c. Tentukan variabel yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan sebagai fungsi dari variabel lainnya.
d. Tentukan nilai maksimum atau minimum yang diperoleh pada model yang dibentuk dari langkah-langkah sebelumnya.
Berikut salah satu contoh penyelesaian permasalahan ekstrim fungsi. Contoh : Seorang pengrajin mainan anak mampu menjual sebanyak
2005 − 15 unit setiap minggunya. Jika biaya yang dikeluarkan adalah
2400 + 25 dan harga jual setiap unit adalah x dalam ratusan rupiah, tentukan harga jual setiap unit mainan tersebut
agar diperoleh keuntungan maksimum dan tentukan tingkat produksinya
Jawab : Biaya produksi
= 2400 + 25 ratus rupiah, harga x ratus rupiah, dan penjualan sebanyak
= 2005 − 15 unit minggu. Keuntungan yang diperoleh yaitu selisih antara penerimaan total dengan
biaya produksi : = 2005 − 15 − 2400 + 25
= 2005 − 15 − 2400 − 25
= 1980 − 15 − 2400
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Keuntungan akan maksimum jika
′
= 0, yaitu
′
= 0 1980 − 30 = 0
30 = 1980 =
1980 30
= 66 Tabel :
59 63
65,5 …
66 …
66,5 69
72 62205 62805 62936 … 62940 … 62936 62805 62400
Sehingga harga jual per unit adalah Rp 6.600,00. Banyak mainan yang diproduksi dalam satu minggu :
66 = 2005 − 1566 66 = 2005 − 990 = 1015
Jadi, pada tingkat produksi 1015 unit dan harga jual Rp 6.600,00 setiap unit, maka pengrajin akan memperoleh keuntungan maksimum.
D. Kerangka Berpikir
