2.3 Teori Partisi dan Teorema Bayes
Antara Teorema Bayes dengan teori partisi terdapat hubungan yang sangat erat, hal ini disebabkan untuk membuktikan Teorema Bayes, kita tidak akan terlepas dari
penggunaan teori partisi. Dengan kata lain, teori partisi adalah konsep dasar bagi Teorema Bayes.
2.3.1 Teori Partisi
Andaikan S menyatakan ruang sampel dari beberapa percobaan dan k adalah kejadian ,
, dan S sedemikian hingga
, ,
saling asing dan
1 k
i i
A S
.
Sehingga dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S. Jika k
kejadian ,
, membentuk sebuah partisi dari S dan jika B adalah kejadian lain
dalam S, maka kejadian akan membentuk partisi atau bagian untuk B, seperti gambar dibawah ini.
A
1
A
2
... A
i
... A
k
S
B A
1
B A
2
B ... A
i
B ... A
k
B
Gambar 2.3 Partisi Bayes
Dari gambar 2.3 dapat dituliskan,
1 2
...
k
B B
A B
A B
A
2.1
Karena k kejadian dalam persamaan 2.1 diatas adalah disjoint saling asing maka :
Universitas Sumatera Utara
1 2
...
k
P B P B
A P B
A P B
A
1 k
i i
P B P B
A
2.2 Jika
P A
maka peluang bersyarat untuk |
i i
i
P B A
P B A P A
|
i i
i
P B A
P A P B A
i = 1,2, ... ,k
Maka dapat ditulis kembali persamaan 2.2 sebagai berikut :
1 k
i i
P B P B
A
1
|
k i
i i
P B P A P B A
Sehingga dapat dituliskan bahwa untuk kejadian ,
, yang membentuk partisi
dari ruang sampel S dan
i
P A , untuk i = 1,2, ..., k, maka untuk kejadian B dan
ruang sampel S, berlaku:
1
|
k i
i i
P B P A P B A
2.3.2 Teorema Bayes
Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung
peluang atau probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
Antara Teorema Bayes dengan teori peluang terdapat hubungan yang sangat erat, karena untuk membuktikan Teorema Bayes tidak terlepas dari penggunaan teori
peluang, dengan kata lain teori peluang adalah konsep dasar dalam Teorema Bayes.
Teorema Bayes menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan
Universitas Sumatera Utara
syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas. Teorema Bayes ini bermanfaat untuk
mengubah atau memutakhirkan meng-update probabilitas yang dihitung dengan tersedianya data dan informasi tambahan.
Syarat-syarat Teorema Bayes bisa digunakan untuk menentukan pengambilan keputusan, yaitu:
a. Berada dalam kondisi ketidakpastian adanya alternatif tindakan b. Peluang prior diketahui dan peluang posterior dapat ditentukan
c. Peluangnya mempunyai nilai antara nol dan satu
Sesuai dengan probabilitas subyektif, bila seseorang mengamati kejadian B dan mempunyai keyakinan bahwa ada kemungkinan B akan muncul, maka
probabilitas B disebut probabilitas prior. Setelah ada informasi tambahan bahwa misalnya kejadian A telah muncul, mungkin akan terjadi perubahan terhadap
perkiraan semula mengenai kemungkinan B akan muncul. Probabilitas untuk B sekarang adalah probabilitas bersyarat akibat A dan disebut sebagai probabilitas
posterior. Teorema Bayes merupakan mekanisme untuk memperbaharui probabilitas dari prior menjadi probabilitas posterior.
Teorema Bayes dapat diperoleh dari konsep teori peluang bahwa rumus Teorema Bayes adalah sebagai berikut:
Andaikan S menyatakan ruang sampel dari beberapa percobaan dan k adalah kejadian A
i
,...,A
k
dalam S sedemikian hingga A
i
,...,A
k
saling asing dan = . Sehingga
dapat dikatakan kejadian k tersebut membentuk partisi atau bagian dari S. Jika k kejadian A
i
,...,A
k
membentuk sebuah partisi dari S dan jika B adalah kejadian lain dalam S, maka kejadian akan membentuk partisi atau bagian untuk B.
| = |
|
Universitas Sumatera Utara
Yang menyatakan bahwa: PA
i
| B = Peluang peristiwa A akan terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi
lebih dulu PA
i
= Peluang peristiwa A PB | A
i
= Peluang peristiwa B akan terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dulu
PB =
Peluang peristiwa B
Bukti: | =
| = +
+. . . +
Dengan: =
| = |
| = |
Maka diperoleh: | =
| |
2.4 Perbaikan Nilai Probabilitas dengan Adanya Informasi Tambahan