Contoh: Misalkan
, , A
a b c
dan
, , B
c d e
;
maka = { , , , , }
2. Irisan, yang disimbolkan dengan Untuk kejadian A dan B, irisan ruang hasil kejadian A dengan ruang hasil kejadian B
adalah ruang hasil yang unsur-unsurnya terdiri dari unsur-unsur yang dimiliki oleh ruang kejadian A dan juga dimiliki oleh kejadian B. Kejadian ini dituliskan dengan
. Contoh:
Misalkan
, , , A
k l m n
dan
, , , B
m n o p
; maka = { , }
Dalam percobaan tertentu tidak jarang didefenisikan dua kejadian A dan B yang tidak mungkin terjadi sekaligus. Kedua kejadian A dan B seperti itu dikatakan saling
meniadakan atau saling terpisah mutually exclusive, dirumuskan sebagai:
Kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah yakni, bila A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.
Contoh: Misalkan
, , A
x y z
dan
, B
p q
; maka =
.
2.2. Aksioma, Lemma, dan Teorema
Aksioma 1
Untuk setiap kejadian A, PA ≥ 0. Aksioma ini menyatakan bahwa peluang dari setiap kejadian adalah non-negatif.
Aksioma 2
PS = 1. Aksioma ini menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka peluang dari kejadian tersebut adalah 1.
Universitas Sumatera Utara
Aksioma 3
Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas , A
1
, A
2
, A
3
, ...
1 1
i i
i i
P A
P A
Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing, maka peluang dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-
masing peluangnya.
Lemma 1
= 0 Bukti: Andaikan kejadian A
1,
A
2
, A
3
, ... sedemikian hingga A =
untuk i = 1,2,3, ... Karena
= , maka kejadian A
i
adalah saling asing, untuk i = 1,2,3, ... Berdasarkan aksioma 3 diperoleh:
1 i
i
P P
A
1 i
i
P A
1 i
P
1 1
n i
i i
i n
P A P A
1 1
n n
i i
i i
P A P A
Lemma 2
Untuk setiap kejadian A, = 1
Bukti: Andaikan kejadian A dan saling asing dan
=
1 = =
= + 1 = +
= 1
Universitas Sumatera Utara
Lemma 3
Untuk setiap kejadian , 1
Bukti: Dari aksioma 1 diperoleh 0. Jika
1 maka dari teorema 3, 0 yang mana ini berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan
probabilitas setiap kejadian harus non-negatif, maka 1
sehingga 1.
Lemma 4
Jika A B
, maka Bukti: Pada gambar berikut:
S B B A
c
A
Gambar 2.1. Himpunan =
Dari gambar, kejadian B adalah gabungan dari kejadian A dan , sehingga
= + . Dari aksioma 1,
0, maka .
Teorema 1
Untuk kejadian yang saling asing yaitu A
1
, A
2
, A
3
, ...
1 1
n i
i i
i
P A
P A
Bukti: Andaikan kejadian tak terbatas A
1
, A
2
, A
3
, ... dimana A
1
, A
2
, A
3
, ..., A
n
adalah kejadian yang diberikan
A = untuk
i . Maka untuk kejadian tak terbatas ini adalah saling asing dan
1 1
n i
i i
i
A A
Melalui aksioma 3 dapat diperoleh:
1 1
1 n
i i
i i
i i
P A
P A
P A
Universitas Sumatera Utara
Teorema 2
Untuk dua kejadian A dan B, = +
Bukti: Pada gambar berikut: A
B
Gambar 2.2. Himpunan
Dari gambar dapat dituliskan =
Dari Teorema 1 didapat = {
} =
Dari gambar 2.2 juga diperoleh =
+ Maka
= =
+ =
Sehingga =
= +
+ = +
Teorema 3
Jika S adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian e
i
, i = 1,2,3, ... dimana e
i
mempunyai Pe
i
, maka untuk kejadian A S
i
i e
A
P A P e
Bukti: =
, jika = , jika
i
i e
A
P A P A
e
i
i e
A
P e
Universitas Sumatera Utara
Teorema 4
Jika B
1
,B
2
,B
3
, ... B
n
adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan 0 untuk
i = 1,2,3 ...n untuk kejadian A dari S,maka dapat ditulis: = |
+ | +
+ | =
| Bukti:
, ,
, adalah mutually exclusive saling bebas, dimana
0 dimana 0 sehingga diperoleh
, ,
adalah himpunan dari kejadian yang mutually
exclusive. Sekarang
diperoleh =
diberikan =
, untuk
itu =
+ +
+ Tetapi
= | Maka,
= | + |
+ + |
Universitas Sumatera Utara
2.3 Konsep Peluang
