BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
3.1 Perumusan Penduga bagi
c
s
Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval [0,
dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan
lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen, yaitu hasil kali suatu komponen periodik siklik dengan periode 0 dengan suatu komponen tren
yang berbentuk fungsi kuadratik. Dengan kata lain untuk setiap titik [0,
s kita
dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut
2 c
s s as
dimana
c
s
adalah suatu fungsi periodik dengan periode dan a adalah koefisien dari tren kuadratik. Karena
c
a s
juga fungsi periodik dengan
periode , maka secara umum fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut
2 c
s s s
3.1
dimana
c c
s a
s
. Karena
c
adalah fungsi periodik maka persamaan
c c
s k
s
3.2 berlaku untuk setiap
[0, s
dan k dengan
adalah himpunan bilangan bulat.
Misalkan bahwa untuk suatu , hanya terdapat realisasi tunggal
N dari proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang ,
, P dengan
fungsi intensitas seperti pada 3.1 yang diamati pada interval terbatas [0, n].
Diasumsikan juga bahwa s adalah titik Lebesgue dari , sehingga berlaku:
1 lim
2
h h
h
s x
s dx h
.
Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesgue dari adalah fungsi
kontinu di s. Misalkan
: [0,
K
merupakan fungsi yang bernilai real, dinamakan fungsi kernel, yang memenuhi sifat-sifat berikut Helmers et al., 2003 :
K1 K adalah fungsi kepekatan peluang
17
K2 K terbatas K3 K memiliki daerah definisi pada [-1,1].
Misalkan juga
{ }
n
h
merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu
n
h
3.3 untuk
n
. Berdasarkan persamaan 3.1, untuk menduga s
pada titik
[0, s
, cukup diduga
c
s
pada titik
[0, s
. Dengan notasi di atas, dapat disusun penduga bagi
c
pada titik [0,
s
sebagai berikut
, , 2
1 ˆ
.
n c n K
k n
n
x s k
s K
N dx n
h s k h
3.4 Ide dibalik penyusunan persamaan 3.4 mengikuti proses penyusunan
penduga tipe kernel yang telah dikerjakan pada Mangku 2011. Penyusunan penduga tipe kernel
, ,
ˆ
c n K
s
dari
c
s
adalah sebagai berikut. Karena hanya ada
sebuah realisasi dari proses Poisson N yang tersedia, harus menggabungkan informasi tentang nilai dari
c
s
yang belum diketahui dari tempat yang berbeda
pada interval [0,n]. Berdasarkan 3.2, untuk
{ : [0, ]}
n
N k s
k n
dimana
menyatakan banyaknya elemen, dapat ditulis
1 {
[0, ]}
c c
k n
s s
k s
k n
N
. 3.5
Dari persamaan 3.1 dan 3.2, untuk setiap titik s dan k maka
2 c
c
s k s
s k s k
.
3.6 Dengan menyubstitusikan 3.6 ke 3.5 diperoleh
2
1 {
[0, ]}
c k
n
s k
s s
k n
N s
k
. 3.7
Nilai fungsi s k
di titik s dapat didekati dengan nilai rata-rata nilai fungsi
pada interval
[ ,
]
n n
s k
h s k
h
. Maka ruas kanan 3.7 dapat didekati sebagai berikut
2
1 1
1 [0, ]
2
n n
s k h
c s k
h k
n n
s x
x n dx
N s k
h
2
1 1
[ ,
] [0, ] 2
n n
k n
n
N s k h s k
h n
N h s k
.
3.8 Dengan mengganti
[ ,
] [0, ]
n n
N s k h s k
h n
dengan padanan stokastiknya yaitu [
, ] [0, ]
n n
N s k h s k
h n
maka 3.8 dapat ditulis
2
1 1
[ ,
] [0, ] 2
c n
n k
n n
s N s k
h s k h
n N
h s k
2
1 [
, ] [0, ]
2
n n
k n
N s k h s k
h n
n h s k
. 3.9 Diasumsikan bahwa
n
h
konvergen ke 0 dan s adalah titik Lebesgue dari ,
yang secara otomatis s juga merupakan titik Lebesgue dari
c
. Sehingga dari 3.9 dapat disimpulkan bahwa
, 2
1 ˆ
[ ,
] [0, ], 2
c n n
n k
n
s N s
k h s
k h
n n
h s k
3.10 adalah suatu penduga bagi
c
s
. Setiap data diberi bobot yang sama dalam
menentukan rata-rata banyak kejadian pada interval
[ ,
]
n n
s k
h s k
h
. Kalau menggunakan fungsi, maka bobotnya sesuai dengan fungsi yang dipilih.
Sehingga
,
ˆ
c n
s
dapat ditulis sebagai berikut
, [ 1,1]
2
1 1
ˆ [
, ]
2
n c n
n n
k n
s s
k h s
k h
N dx n
h s k
. 3.11 Dengan mengganti fungsi
1 [ 1,1]
2
pada persamaan 3.11 dengan kernel umum K
yang memenuhi K1, K2 dan K3, maka diperoleh penduga
, ,
ˆ
c n K
s
seperti
yang telah diberikan pada 3.4, yaitu
, , 2
1 ˆ
n c n K
k n
n
x s
k s
K N dx
n h s
k h
.
3.2 Kekonsistenan dari
Kategori