BAB IV LAJU KEKONSISTENAN LEMAH DAN KEKONSISTENAN KUAT
PENDUGA
4.1 Laju Kekonsistenan Lemah Penduga
Pada Teorema 3.2 telah dibuktikan bahwa penduga bagi
c
s
adalah
konsisten. Suatu penduga yang konsisten umumnya mempunyai laju tertentu. Pada Teorema 4.1 berikut ini akan dibuktikan laju kekonsistenan penduga bagi
c
s
.
Teorema 4.1 Laju kekonsistenan
, ,
ˆ
c n K
s
Misalkan fungsi intensitas memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K adalah simetrik dan memenuhi sifat K1, K2, K3,
n
h n
untuk
2
,
2 n
nh dan
c
memiliki turunan kedua
c
berhingga pada s maka untuk semua
min 2 ,1 2
berlaku
, ,
ˆ
p c n K
c
n s
s
, 4.1
untuk
n
. Dengan kata lain
, ,
ˆ
c n K
s
merupakan penduga konsisten bagi
c
s
dengan laju
1 n
. Bukti :
Untuk membuktikan Teorema 4.1 diperlukan aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan dan aproksimasi asimtotik bagi ragam, sehingga diperlukan Lema 4.1
Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan dan Lema 4.2 Aproksimasi asimtotik bagi ragam.
Lema 4.1 Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan
Misalkan fungsi intensitas memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K adalah simetrik dan memenuhi sifat K1, K2, K3,
n
h ,
c
memiliki turunan kedua
c
berhingga pada s dan
2 n
nh maka
27
, ,
ˆ
c n K
s
=
1 2
2 2
1
2
c c
n n
s s
h x K x dx o h
, 4.2 untuk
n
.
Bukti :
Berdasarkan 3.18 pada Lema 3.1 ketakbiasan asimtotik, maka nilai harapan dari
, ,
ˆ
c n K
s
dapat ditulis sebagai berikut
2 , ,
2
ˆ 0,
.
c n K c
k n
n
y y
s k
s K
y s
y s
k n dy
nh h
s k
4.3 Dengan menggantikan peubah dan memperhatikan persamaan 3.19, maka
persamaan 4.3 dapat ditulis menjadi
, ,
ˆ 1
c n K c
n
n s
K x xh
s O
dx n
4.4 Karena
c
mempunyai turunan kedua yang bernilai berhingga di sekitar s dan
c
terbatas di sekitar s, maka dengan menggunakan deret Taylor, diperoleh
2 2
2
2
n c
n c
c n
c n
x h xh
s s
s xh s
h
4.5 untuk
n
. Berdasarkan persamaan 4.5 maka persamaan 4.4 dapat ditulis menjadi
2 2
2 , ,
ˆ 1
. 2
n c n K
c c
n c
n
x h n
s K x
s s xh
s h
O dx
n
4.6 Karena fungsi kernel K memenuhi K.3 maka persamaan 4.6 dapat dituliskan
menjadi
2 2
1 2
, , 1
ˆ 1
2
n c n K
c c
n c
n
x h n
s K x
s s xh
s h
O dx
n
1 1
1 1
c c
n
s K x dx
s h xK x dx
1 2
2 2
1
1 2
c n
n
s h
x K x dx o h O
n
4.7
untuk
n
. Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada [-1,1], maka
1 1
1 K x dx
. Karena kernel K adalah simetrik, maka
1 1
xK x dx
sehingga persamaan 4.7 dapat ditulis menjadi
, ,
ˆ
c n K
E s
=
1 2
2 2
1
1 2
c c
n n
s s
h x K x dx o h
O n
=
2 1
2 2
2 2
1
2
c n
c n
n n
s h
s h
x K x dx o h O
nh
4.8 untuk
n
. Karena
2 n
nh , maka persamaan 4.8 dapat ditulis menjadi
1 2
2 2
, , 1
ˆ 2
c c n K
c n
n
s s
s h
x K x dx o h
, untuk
n
. Jadi Lema 4.1 terbukti.
Lema 4.2 Aproksimasi asimtotik bagi ragam
Misalkan fungsi intensitas memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K memenuhi sifat K1, K2, K3 dan
n
h untuk
n
, maka
2 1
2 , ,
2 2
1
1 ˆ
6
c c n K
n n
s Var
s K
x dx n h
n h
4.9 untuk
n
, asalkan s adalah titik Lebesque bagi
c
.
Bukti
Berdasarkan 3.29 pada Lema 3.2 Kekonvergenan ragam, maka ragam dari
, ,
ˆ
c n K
s
dapat ditulis sebagai berikut
2 2
2 , ,
2 2 4
ˆ [0, ] .
c n K c
k n
n
y y s k
Var s
K y s
y s k n dy
n h h
s k
4.10 Dengan memperhatikan persamaan 3.31 maka ruas kanan persamaan 4.10
dapat ditulis menjadi
2 2
2 , ,
2 2
2
ˆ 1
6
c n K c
n n
y Var
s K
y s dy
o n h
h
4.11 untuk
n
. Karena
c c
c c
y s
y s
s s
maka persamaan 4.11 dapat ditulis
2 2
2 , ,
2 2
2
ˆ 1
6
c n K c
c n
n
y Var
s K
y s
s dy o
n h h
2 2
2 2
2 2
1 6
c n
n
y s
K dy
o n h
h
. 4.12 Karena s adalah titik Lebesgue dari
c
dan kernel K terbatas maka
2
1 1
2
n n
h c
c h
n n
y K
y s
s dy o
h h
, untuk
n
, sehingga suku pertama ruas kanan persamaan 4.12 adalah
2 2
2 2
2
1 1 1
6
n n
o o
o n h
n h
, 4.13
untuk
n
. Selanjutnya perhatikan suku kedua ruas kanan persamaan 4.12. Dengan
mengganti peubah, misal
n
y z
h
,
n
dy dz
h
dan karena fungsi kernel K memenuhi K.3 maka suku kedua ruas kanan persamaan 4.12 dapat dituliskan menjadi
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
1
1 1
6 6
c c
n n
n
s K
z dz o
s K
z dz o
n h n h
n h
4.14 untuk
n
. Dengan menyubstitusi persamaan 4.13 dan 4.14 ke 4.12, maka diperoleh
2 1
2 , ,
2 2
1
1 ˆ
6
c c n K
n n
s Var
s K
x dx n h
n h
4.15 untuk
n
. Dengan demikian Lema 4.2 terbukti.
Bukti Teorema 4.1
Untuk membuktikan 4.1, akan diperlihatkan bahwa untuk
,
, ,
ˆ 0,
c n K c
n s
s
4.16
untuk
n
. Sebelumnya, kita uraikan dahulu
, ,
ˆ
c n K c
n s
s
dari 4.16, yaitu
, , , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ .
c n K c
c n K c n K
c n K c
n s
s n
s s
s s
4.17
Berdasarkan ketaksamaan 3.39, maka ruas kanan persamaan 4.17 menjadi
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ
c n K c n K
c n K c
n s
s n
s s
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ
c n K c n K
c n K c
n s
s n
s s
. 4.18 Berdasarkan Lema 4.1, yaitu
1 2
2 2
, , 1
ˆ 2
c c n K
c n
n
s s
s h
x K x dx o h
4.19 untuk
n
h n
dan
, maka diperoleh
2 , ,
ˆ
c n K c
s s
O n
,
4.20 jika
n
. Dari 4.20, diperoleh
2 , ,
ˆ
c n K c
s s
O n
. 4.21
untuk
n
. Berdasarkan persamaan 4.21, diperoleh
2 , ,
ˆ
c n K c
n s
s n O n
2
1 n
O
4.22 untuk
n
. Berdasarkan 4.22 dan asumsi 2
, diperoleh
, ,
ˆ
c n K c
n s
s
untuk
n
. menurut Definisi 2.12 Kekonvergenan barisan bilangan nyata maka untuk
, ada N agar untuk n
N,
, ,
ˆ 2
c n K c
n s
s
. 4.23
Berdasarkan 4.23, diperoleh bahwa ruas kanan persamaan 4.18 menjadi
, , , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
c n K c n K
c n K c n K
n s
s n
s s
. 4.24 Sehingga dari persamaan 4.17 dan 4.24 diperoleh bahwa
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ 2
c n K c
c n K c n K
n s
s n
s s
. Jadi untuk membuktikan 4.16 cukup ditunjukkan
, , , ,
ˆ ˆ
2
c n K c n K
n s
s
, jika
n
. Dengan ketaksamaan Chebyshev, dapat diperoleh
2 , ,
, , , ,
2
ˆ 4
ˆ ˆ
2
c n K c n K
c n K
Var s n
s s
n
. Dari Lema 4.2 dapat ditulis
2 , ,
2
ˆ
c n K
Var s n
2 2
1 2
2 1
6
c n
s n K
x dx n h
2 2
1 2
2 1
6
c n
s n
K x dx
n h
2 2
1 2
2 1
6
c
s n
K x dx
n n
2 1
2 2
2 1
6
c
s K
x dx n
.
Karena 1
2
maka
2 , ,
2
ˆ
c n K
Var s n
sehingga
, , , ,
ˆ ˆ
2
c n K c n K
s s
n
, jika
n
. Dengan demikian Teorema 4.1 terbukti.
4.2 Kekonsistenan Kuat penduga
Kategori