BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Untuk menduga fungsi intensitas lokal berbentuk
2 c
s s as
,
[0, s
dari suatu proses Poisson periodik dengan periode yang diamati pada interval [0, ]
n cukup diduga nilai
c
s
pada
[0, s
. Penduga tipe kernel dari
c
s
pada
[0, s
dirumuskan sebagai berikut:
, , 2
1 ˆ
.
n c n K
k n
n
x s
k s
K N dx
n h s
k h
Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dengan suatu syarat tertentu,
diperoleh kesimpulan sebagai berikut : i
Penduga
, ,
ˆ
c n K
s
adalah penduga tak bias asimtotik bagi
c
s
dan ragam
dari
, ,
ˆ
c n K
s
konvergen menuju nol, sehingga
, ,
ˆ
c n K
s
merupakan penduga konsisten bagi
c
s
dan
, ,
ˆ
c n K
MSE s
jika
n
. ii
Untuk setiap
min2 ,1 2
,
, ,
ˆ
c n K c
n s
s
konvergen dalam
peluang menuju nol jika
n
, yaitu
, ,
ˆ
c n K
s
merupakan penduga
konsisten bagi
c
s
dengan laju
1 n
. iii
Penduga
, ,
ˆ
c n K
s
konvergen lengkap ke
c
s
untuk
n
, yang juga
berimplikasi
, ,
ˆ
c n K
s
merupakan penduga konsisten kuat bagi
c
s
.
5.2 Saran
Penelitian yang telah dilakukan adalah pendugaan fungsi intensitas berbentuk perkalian antara fungsi periodik dengan tren kuadratik, sehingga perlu
dikembangkan penelitian lebih lanjut yaitu pendugaan fungsi intensitas berbentuk perkalian antara fungsi periodik dengan suatu tren
k
as dengan 2
k dan a adalah
koefisien tren tersebut.
35
DAFTAR PUSTAKA
Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. New York: Springer. Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Second Edition. Wadsworth
BrooksCole, Pasific Grove, California. Cressie, NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. Wiley,
New York. Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wardswort
Brooks. Durret. 1996. Probability: Theory and Examples. Third Edition. Duxbury Press.
New York. Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability with Stochastics Processes.
Third Edition. New Jersey: Pearson Prentice Hall. Grimmett GR, Stizaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Second
Edition. Oxford: Clarendon Press. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson
process in the presence of linear trend. Ann. Inst. Stat. Math, 613, 559-628. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson proses. Journal of Multivariate Analysis. 84, 19- 39.
Helms, LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary Applications.
W.H. Freeman Company. New York. Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2005. Introduction to Mathematical
Statistics . Sixth Edition. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of Amsterdam, Amsterdam.
Mangku IW. 2006. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Application . Vol.5, No:1.
36
Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a non-homogenous Poisson process.
Accepted by Far East Journal of Mathematical Sciences. Vol.51, No:2, halaman 141-150.
Rachmawati RN. 2010. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat
. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Rahayu M. 2008. Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat
. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor.
Ross SM. 2007. Stochastic Processes. Second Edition. John Wiley Sons. New York.
Serflling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley Sons.
Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 2. Ed. Ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta Taylor HM, Karlin S. 1984. An Introduction to Stochastic Modelling. Acedemic
Press Inc. Orlando, Florida. Wheeden RL. and Zygmund A. 1977. Measure and Integral: An Introduction to
Real Analysis . New York: Marcel Dekker, Inc.
LAMPIRAN
ABSTRACT
TASLIM. Consistent Estimation of Periodic Component of Intensity Function Having Form of Periodic Function Multiplied by a Quadratic Trend of a Non-
Homogenous Poisson Process. Under supervision of I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.
In this thesis, estimation of periodic component of intensity function having form of periodic function multiplied by a quadratic trend of a non-homogenous Poisson
process by using general kernel is discussed. It is considered the worst case where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity
obtained as a product of a periodic function with a quadratic trend, observed in interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. In
this manuscript, weak consistency of a kernel-type estimator for the periodic component of the considered intensity function is established. The rate of
consistency, complete convergence and strong consistency of the estimator are also formulated .
Keywords: periodic Poisson process, kernel function, quadratic trend.
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang
berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk
memodelkan proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses
stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi
periodik. Proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti
supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank dan lain-lain dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada
proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas λs menyatakan laju
kedatangan pelanggan pada waktu s. Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang
sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Pada penelitian ini dikaji suatu kasus khusus, yaitu jika trennya berupa fungsi kuadrat.
Model fungsi intensitas yang dikaji adalah fungsi periodik dikalikan dengan tren kuadratik.
Pada penelitian-penelitian sebelumnya telah dikaji pendugaan fungsi intensitas proses Poisson periodik tanpa tren dan fungsi intensitas yang berupa
fungsi periodik ditambah dengan tren linear atau tren berupa fungsi pangkat. Kajian yang belum dilakukan adalah pendugaan fungsi intensitas berbentuk
perkalian fungsi periodik dengan suatu tren kuadratik. Pada penelitian ini dibahas
1
kekonsistenan lemah dan kuat penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik pada proses Poisson
non homogen.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk : i.
Mengkaji pembentukan penduga kernel bagi komponen periodik fungsi intensitas berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik pada
proses Poisson non homogen. ii.
Membuktikan kekonsistenan lemah bagi penduga yang dikaji. iii.
Menentukan laju kekonsistenan lemah bagi penduga yang dikaji. iv.
Membuktikan kekonvergenan lengkap dan kekonsistenan kuat bagi penduga yang dikaji.
Kategori