2.3 Momen dan Nilai Harapan Definisi 2.9 Momen
Jika X adalah peubah acak diskret, maka momen ke - m dari X didefinisikan sebagai
m m
i X
i i
X x p
x
jika jumlahnya konvergen, dimana x
i
, untuk i = 1, 2, … , menyatakan semua kumpulan nilai X, dengan
X i
p x
. Jika jumlahnya divergen, maka momen ke - m dari peubah X dikatakan tidak ada.
Taylor dan Karlin, 1984 Momen pertama dari peubah acak X, yaitu untuk m = 1 disebut nilai harapan dari
X dan dinotasikan dengan
[ ] X
atau µ.
Definisi 2.10 Momen pusat
Momen pusat ke – m dari peubah acak X didefinisikan sebagai momen ke – m dari
peubah acak
[ ] X
X
. Taylor dan Karlin, 1984
Momen pusat pertama adalah nol. Ragam dari peubah acak X adalah momen pusat kedua
dari peubah
acak tersebut
dan dinotasikan
sebagai
2
[ ] Var X
X X
.
Lema 1
Jika X adalah peubah acak diskret dengan ragam yang berhingga, maka untuk sebarang konstanta c dan d, berlaku VarcX + d = c
2
Var X.
Casella dan Berger, 1990
Bukti
: Dari definisi A.10 kita dapat menuliskan bahwa
Var cX d
2
cX d
cX d
2
cX d
c X
d
2
c X X
2 2
c X X
2 2
c X
X
2
c Var X
. Jadi Lema 1 terbukti.
Definisi 2.11 Kovarian
Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula
X
dan
Y
masing – masing menyatakan nilai harapan dari X dan Y. Kovarian dari X dan Y
didefinisikan sebagai
,
X Y
Cov X Y X
Y
. Casella dan Berger, 1990
Lema 2
Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula c dan d adalah dua buah konstanta sebarang, maka VarcX + dY = c
2
Var X + d
2
Var Y +
2cdCovX,Y. Jika X dan Y peubah acak saling bebas, maka VarcX + dY = c
2
Var X + d
2
Var Y.
Casella dan Berger, 1990 Bukti :
2
Var cX dY
cX dY
cX dY
2
cX dY
c X
d Y
2
c X X
d Y Y
2 2
2 2
2 c
X X
d Y
Y cd X
X Y
Y
2 2
2 c Var X
d Var Y cd
X X
Y Y
2 2
2 ,
c Var X d Var Y
cdCov X Y
. Jadi Lema 2 terbukti.
2.4 Kekonvergenan Definisi 2.12 Kekonvergenan barisan bilangan nyata
Kategori