2
1 1
[ ,
] [0, ] 2
n n
k n
n
N s k h s k
h n
N h s k
.
3.8 Dengan mengganti
[ ,
] [0, ]
n n
N s k h s k
h n
dengan padanan stokastiknya yaitu [
, ] [0, ]
n n
N s k h s k
h n
maka 3.8 dapat ditulis
2
1 1
[ ,
] [0, ] 2
c n
n k
n n
s N s k
h s k h
n N
h s k
2
1 [
, ] [0, ]
2
n n
k n
N s k h s k
h n
n h s k
. 3.9 Diasumsikan bahwa
n
h
konvergen ke 0 dan s adalah titik Lebesgue dari ,
yang secara otomatis s juga merupakan titik Lebesgue dari
c
. Sehingga dari 3.9 dapat disimpulkan bahwa
, 2
1 ˆ
[ ,
] [0, ], 2
c n n
n k
n
s N s
k h s
k h
n n
h s k
3.10 adalah suatu penduga bagi
c
s
. Setiap data diberi bobot yang sama dalam
menentukan rata-rata banyak kejadian pada interval
[ ,
]
n n
s k
h s k
h
. Kalau menggunakan fungsi, maka bobotnya sesuai dengan fungsi yang dipilih.
Sehingga
,
ˆ
c n
s
dapat ditulis sebagai berikut
, [ 1,1]
2
1 1
ˆ [
, ]
2
n c n
n n
k n
s s
k h s
k h
N dx n
h s k
. 3.11 Dengan mengganti fungsi
1 [ 1,1]
2
pada persamaan 3.11 dengan kernel umum K
yang memenuhi K1, K2 dan K3, maka diperoleh penduga
, ,
ˆ
c n K
s
seperti
yang telah diberikan pada 3.4, yaitu
, , 2
1 ˆ
n c n K
k n
n
x s
k s
K N dx
n h s
k h
.
3.2 Kekonsistenan dari
, ,
ˆ
c n K
s
Teorema 3.1 Kekonsistenan
, ,
ˆ
c n K
s
Misalkan fungsi intensitas memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika
kernel K memenuhi sifat K1, K2, K3,
n
h dan
2 n
n h
maka
, ,
ˆ
p c n K
c
s s
3.12 untuk
n
, asalkan s adalah titik Lebesque dari
c
. Dengan kata lain,
, ,
ˆ
c n K
s
adalah penduga konsisten bagi
c
. Di samping itu, Mean Square Error MSE dari
, ,
ˆ
c n K
s
konvergen ke 0, untuk
n
, yaitu
, ,
ˆ
c n K
MSE s
,
3.13 untuk
n
.
Bukti :
Untuk membuktikan Teorema 3.1 diperlukan ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam dari penduga, sehingga diperlukan Lema 3.1 Ketakbiasan
asimtotik dan Lema 3.2 Kekonvergenan ragam.
Lema 3.1 Ketakbiasan asimtotik
Misalkan fungsi intensitas pada persamaan 3.1 adalah terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat K1,K2,K3, dan
n
h , maka
, ,
ˆ
c n K c
s s
, 3.14
untuk
n
, dengan syarat s adalah titik Lebesgue dari
c
. Dengan kata lain,
, ,
ˆ
c n K
s
adalah penduga tak bias asimtotik bagi
c
s
.
Bukti :
Membuktikan 3.14 sama dengan memperlihatkan bahwa
, ,
ˆ lim
c n K c
n
s s
. 3.15
Untuk memperlihatkan persamaan 3.15 dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut. Berdasarkan 3.4 maka nilai harapan dari
, ,
ˆ
c n K
s
adalah
, , 2
1 ˆ
n c n K
k n
n
x s
k s
K N dx
n h s
k h
2
1
n k
n n
x s k
K N dx
n h s k
h
2
1 [0, ]
k n
n
x s
k K
x x
n dx
n h s
k h
. 3.16
Dengan mengganti peubah, misalkan y
x s k
, dy dx
, maka ruas kanan
persamaan 3.16 dapat ditulis
2
1 [0, ]
k n
n
y K
y s
k y
s k
n dy
n h s
k h
. 3.17 Dengan menggunakan persamaan 3.1 dan 3.2, maka 3.17 dapat ditulis
menjadi
2 2
1 [0, ]
c k
n n
y K
y s y
s k y
s k n
dy n
h s k h
2
2
[0, ]
c k
n n
y y
s k K
y s
y s k
n dy nh
h s k
. 3.18 Pada Helmers dan Mangku 2009 telah diketahui bahwa
2 2
[0, ] 1
k
y s
k n
y s
k n
O s
k
, 3.19
jika
n
. Dengan menyubstitusikan persamaan 3.19 ke ruas kanan 3.18 diperoleh
, ,
ˆ 1
c n K c
n n
y n
s K
y s
O dy
nh h
1
c c
c n
n
y n
K y
s s
s O
dy nh
h
1
c c
n n
n y
O K
y s
s dy nh
h
1 .
c n
n
s n
y O
K dy
nh h
3.20 Karena kernel K memenuhi kondisi K.2 maka
o n
y K
K h
,
o
K
adalah konstanta. Sehingga suku pertama dari ruas kanan persamaan 3.20 dapat ditulis
1
n n
h c
c h
n n
n y
O K
y s
s dy nh
h
1
n n
h o
c c
h n
n O
K y
s s dy
nh
2 1
1 .
2
n n
h o
c c
h n
K n
O y
s s dy
n h
3.21 Karena s adalah titik Lebesque dari
c
maka ruas kanan 3.21 adalah o1, untuk
n
. Karena K juga memenuhi kondisi K.1 dan dengan penggantian peubah, misalkan
,
n
y z
h
,
n
dy dz
h
maka suku kedua ruas kanan persamaan 3.20 dapat ditulis
1
c
s n
O K z dz
n
1
c
s O
n
1,
c
s o
3.22 jika
. n
Dari 3.21 dan 3.22 maka ruas kanan persamaan 3.18 dapat ditulis
1 1
c
o s
o
1,
c
s o
3.23 untuk
n
. Dari persamaan 3.23 maka persamaan 3.16 dapat ditulis
, ,
ˆ 1,
c n K c
s s
o
untuk
n
. Sehingga diperoleh persamaan 3.15. Dengan demikian Lema 3.1 terbukti.
Lema 3.2 Kekonvergenan ragam
Misalkan fungsi intensitas memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K memenuhi sifat K1, K2, K3,
n
h dan
2 n
n h untuk
n
,
c
terbatas di sekitar s maka
, ,
ˆ
c n K
Var s
,
3.24 untuk
n
.
Bukti :
Ragam dari
, ,
ˆ
c n k
s
dapat dihitung sebagai berikut
2 , ,
2 2
1 ˆ
n c n k
k n
n
x s
k Var
s Var
K N dx
n h s
k h
. 3.25
Untuk n yang cukup besar, maka interval
[ ,
]
n n
s k
h s k
h
dan
[ ,
]
n n
s j
h s j
h
untuk k j
tidak saling tumpang tindih tidak overlap. Sehingga
n
x s k
K N dx
h
dan
n
x s
j K
N dx h
adalah bebas untuk k
j . Pada Ghahramani 2005, jika
1 2
, ,...,
n
X X X
adalah peubah acak yang bebas serta
1 2
, ,...,
n
a a a
adalah barisan bilangan real, maka
2 1
1 n
n i
i i
i i
i
Var a X
a Var X
karenanya ruas kanan dari persamaan 3.25 dapat dihitung sebagai berikut
2 2
2 2
2 2
1
n k
n n
x s k
K Var N dx
n h s k
h
. 3.26 Karena N adalah peubah acak Poisson, maka
Var N N
sehingga 3.26 dapat ditulis
2 2
2 2
4
1
n k
n n
x s k
K N dx
n h s k
h
2 2
2 2
4
1 [0, ]
k n
n
x s
k K
x x
n dx n h
s k
h
. 3.27 Dengan mengganti peubah, misalkan :
y x
s k
, dy
dx
, maka persamaan 3.27 dapat ditulis
2 2
2 2
4
1 [0, ]
k n
n
y K
y s k
y s k
n dy n h
s k h
. 3.28 Dengan menggunakan persamaan 3.1 dan 3.2, maka 3.28 dapat ditulis
menjadi
2 2
2 2
2 4
1 [0, ]
c k
n n
y K
y s y
s k y
s k n dy
n h s k
h
2 2
2 2
2 4
[0, ]
c k
n n
y y
s k K
y s
y s k
n dy n h
h s k
. 3.29 Pada Helmers dan Mangku 2009 telah diketahui bahwa
2 2
1 [0, ]
1 6
k
x s k
n o
k
3.30
jika
n
. Dengan menggunakan 3.30 maka diperoleh
2 2
4 2
[0, ] 1
6
k
x s
k x
s k
n o
s k
, 3.31 jika
n
, dengan
adalah konstanta. Dengan menyubstitusikan persamaan 3.31 ke 3.29 diperoleh
2 2
2 2
2 2
1 6
c n
n
y K
y s
o dy
n h h
3.32 Karena
c
terbatas di sekitar s maka
c
y s
, adalah konstanta, sehingga
3.32 dapat ditulis
2 2
2 2
2 2
1 6
c n
n
y K
y s
o dy
n h h
2
2 2
2 2
2
1 6
n n
y K
o dy
n h h
. 3.33
Dengan mengganti peubah, misalkan :
n
y z
h
,
n
dy dz
h
, maka 3.33 dapat ditulis
2 2
2 2
2
1 6
K z
o dz
n h
3.34 Karena K memenuhi kondisi K.3 maka 3.34 dapat ditulis
2 2
1 2
1 2
2
1 .
6 K
z o
dz n h
2 1
2 1
2 2
1 .
6
n
K z dz
o n h
n h
3.35 Akhirnya diperoleh
2 1
2 , ,
1 2
2
1 ˆ
6
c n K n
n
Var s
K z dz
o n h
n h
. 3.36 Berdasarkan asumsi pada Lema 3.2, bahwa
2 n
n h , untuk
n
maka ruas kanan pada pertidaksamaan 3.36 konvergen ke nol, sehingga diperoleh
, ,
ˆ
c n K
Var s
untuk
n
. Dengan demikian Lema 3.2 terbukti.
Bukti Teorema 3.1 Kekonsistenan
, ,
ˆ
c n K
s
Untuk membuktikan 3.12, berdasarkan Definisi 2.13 Konvergen dalam peluang akan diperlihatkan bahwa untuk
,
, ,
ˆ 0,
c n K c
s s
3.37
untuk
n
. Sebelumnya, diuraikan dahulu
, ,
ˆ
c n K c
s s
dari 3.37, yaitu
, , , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ .
c n K c
c n K c n K
c n K c
s s
s s
s s
3.38 Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
, , , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
c n K c
c n K c n K
c n K c
s s
s s
s s
3.39 sehingga ruas kanan persamaan 3.38 menjadi
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ
c n K c n K
c n K c
s s
s s
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ
c n K c n K
c n K c
s s
s s
. 3.40
Berdasarkan Lema 3.1, yaitu
, ,
ˆ
c n K c
s s
untuk
n
. menurut Definisi 2.12 Kekonvergenan barisan bilangan nyata maka untuk
, ada N agar untuk n
N,
, ,
ˆ 2
c n K c
s s
. 3.41
Berdasarkan 3.41, diperoleh bahwa ruas kanan persamaan 3.40 menjadi
, , , ,
, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
c n K c n K
c n K c n K
s s
s s
. 3.42 Sehingga dari persamaan 3.38 dan 3.42 diperoleh bahwa
, , , ,
, ,
ˆ ˆ
ˆ 2
c n K c
c n K c n K
s s
s s
. Jadi untuk membuktikan 3.37 cukup ditunjukkan
, , , ,
ˆ ˆ
2
c n K c n K
s s
, jika
n
. Dengan ketaksamaan Chebyshev, dapat diperoleh
, , , ,
, , 2
ˆ 4
ˆ ˆ
2
c n K c n K
c n K
Var s
s s
. Jadi tinggal dibuktikan bahwa
, , 2
ˆ 4
c n K
Var s
. 3.43
Berdasarkan Lema 3.2 , maka 3.43 terbukti. Kemudian syarat cukup agar
, ,
ˆ
p c n K
c
s s
adalah mean square error penduga konvergen ke nol, sehingga akan dibuktikan 3.13. Berdasarkan definisi
mean square error, berarti cukup dibuktikan bahwa
2 , ,
, ,
ˆ ˆ
[ ]
c n K c n K
Bias s
Var s
3.44
untuk
n
. Diketahui bahwa
, , , ,
ˆ ˆ
c n K c n K
c
Bias s
s s
.
Berdasarkan Lema 3.1 maka
, ,
ˆ
c n K
Bias s
sehingga
2 , ,
ˆ [
]
c n K
Bias s
,
jika
n
. Kemudian berdasarkan Lema 3.2 diperoleh
, ,
ˆ
c n K
Var s
, jika
n
. Jadi 3.44 terbukti dengan demikian Teorema 3.1 terbukti. Pada uraian di atas telah dibuktikan ketakbiasan asimtotik, kekonvergenan
ragam dan kekonvergenan mean square error dari penduga yang diperoleh. Dengan demikian penduga yang diperoleh terbukti sebagai penduga yang
konsisten dalam hal ini disebut konsisten lemah.
BAB IV LAJU KEKONSISTENAN LEMAH DAN KEKONSISTENAN KUAT
