Kekonsistenan Kuat penduga LAJU KEKONSISTENAN LEMAH DAN KEKONSISTENAN KUAT

2 , , , , , , 2 ˆ 4 ˆ ˆ 2 c n K c n K c n K Var s n s s n                   . Dari Lema 4.2 dapat ditulis 2 , , 2 ˆ c n K Var s n        2 2 1 2 2 1 6 c n s n K x dx n h           2 2 1 2 2 1 6 c n s n K x dx n h                   2 2 1 2 2 1 6 c s n K x dx n n                     2 1 2 2 2 1 6 c s K x dx n                  . Karena 1 2     maka 2 , , 2 ˆ c n K Var s n     sehingga , , , , ˆ ˆ 2 c n K c n K s s n                , jika n   . Dengan demikian Teorema 4.1 terbukti.

4.2 Kekonsistenan Kuat penduga

Pada Teorema 3.2 telah dibuktikan kekonsistenan lemah peduga yang diperoleh maka selanjutnya akan dibuktikan kekonsistenan kuat penduga. kekonsistenan kuat penduga adalah implikasi dari kekonvergenan lengkap oleh karena itu untuk membuktikan kekonsistenan kuat penduga maka akan dibuktikan terlebih dahulu kekonvergenan lengkap penduga. Teorema 4.2 Kekonvergenan Lengkap Misalkan fungsi intensitas  memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat K1, K2, K3 dan n h n    untuk 0 1    , maka , , ˆ c c n K c s s     4.25 untuk n   , asalkan s adalah titik Lebesque dari c  . Dengan kata lain, , , ˆ c n K s  adalah konvergen lengkap ke c  , untuk n   . Bukti : Berdasarkan Definisi 2.16 Konvergen lengkap, untuk membuktikan bahwa , , ˆ c n K s  merupakan penduga yang konvergen lengkap ke c  , berarti akan ditunjukkan bahwa, untuk    ,   , , 1 ˆ c n K c n s            . 4.26 Sebelumnya, uraikan dahulu komponen   , , ˆ c n K c s       .         , , , , , , , , ˆ ˆ ˆ ˆ . c n K c c n K c n K c n K c s s s s s s                    4.27 Berdasarkan ketaksamaan 3.39, maka persamaan 4.27 menjadi   , , , , , , ˆ ˆ ˆ c n K c n K c n K c s s s s                , , , , , , ˆ ˆ ˆ c n K c n K c n K c s s s s              . 4.28 Berdasarkan Lema 3.1, diperoeh , , ˆ c n K c s s     untuk n   , menurut Definisi 2.12 Kekonvergenan barisan bilangan nyata maka untuk    , ada N agar untuk n   N, , , ˆ 2 c n K c s s       . 4.29 Berdasarkan 4.29, diperoleh bahwa ruas kanan persamaan 4.28 menjadi , , , , , , , , ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 c n K c n K c n K c n K s s s s                               . 4.30 Sehingga dari persamaan 4.27 dan 4.30 diperoleh bahwa   , , , , , , ˆ ˆ ˆ 2 c n K c c n K c n K s s s s                     . Dengan ketaksamaan Chebyshev, dapat diperoleh bahwa , , , , , , 2 ˆ 4 ˆ ˆ 2 c n K c n K c n K Var s s s                 . 4.31 Dengan menjumlahkan kedua ruas pada 4.31, maka , , , , , , 2 1 1 ˆ 4 ˆ ˆ 2 c n K c n K c n K n n Var s s s                       . Sehingga untuk membuktikan 4.26, cukup dibuktikan bahwa , , 2 1 ˆ 4 c n K n Var s        . Berdasarkan Lema 4.2, diperoleh     2 1 , , 2 2 2 2 1 1 1 ˆ 4 1 c n k c n n n n Var s s K x dx n h n h                      . Karena n h n    untuk 0 1    dan berdasarkan Lema Deret-p, diperoleh   2 1 , , 2 2 2 2 1 1 1 ˆ 4 1 c n K c n n Var s s K x dx n n                            . Jadi 4.26 terbukti, sehingga Teorema 4.2 terbukti. Akibat 4.1 Kekonsistenan kuat bagi , , ˆ c n K s  Misalkan fungsi intensitas  memenuhi 3.1 dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat K1, K2, K3 dan n h n    untuk 0 1    , maka . . , , ˆ a s c n K c s s    4.32 untuk n   , asalkan s adalah titik Lebesque dari c  . Dengan kata lain, , , ˆ c n K s  adalah penduga konsisten kuat dari c  . Bukti : Berdasarkan Definisi 2.15 Konvergen hampir pasti, untuk membuktikan , , ˆ c n K s  adalah penduga konsisten kuat bagi c  , maka setara dengan membuktikan bahwa   , , ˆ lim 1 c n K c n s s         atau   , , ˆ lim c n K c n s s         . Dari Teorema 4.2 diketahui bahwa   , , 1 ˆ c n K c n s            . Berdasarkan bagian i Lema Borel-Cantelli , jika   , , 1 ˆ c n K c n s            , maka kejadian   , , ˆ c n K c s s      hanya terjadi sebanyak terhingga, yang berimplikasi bahwa   , , ˆ lim c n K c n s s         . Sehingga Akibat 4.1 terbukti.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN