Definisi 2.26 Terintegralkan lokal
Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sebarang himpunan
Borel terbatas B kita peroleh .
B
B s ds
Dudley, 1989
Definisi 2.27 Titik Lebesgue
Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi , jika
1 lim
2
h h
h
u s s du
h
. Wheeden dan Zygmund, 1977
2.7 Proses Poisson Periodik Definisi 2.28 Proses stokastik
Proses stokastik X = { Xt , t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu state S.
Ross, 2007 Dengan demikian Xt adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T
yang sering diinterpretasikan sebagai satuan waktu walaupun tidak harus merupakan waktu. Xt dapat dibaca sebagai state keadaan dari suatu proses
pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya.
Definisi 2.29 Proses stokastik dengan waktu kontinu
Suatu proses stokastik { Xt , t T } disebut proses stokastik dengan waktu
kontinu jika T merupakan suatu interval. Ross, 2007
Definisi 2.30 Inkremen bebas
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { Xt , t T } disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua t t
1
t
2
... t
n
, peubah acak Xt
1
– X
t , Xt
2
– Xt
1
, Xt
3
– Xt
2
, ... , Xt
n
– Xt
n –1
, adalah saling bebas. Ross, 2007
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada
interval waktu yang tidak saling tumpang tindih tidak overlap adalah saling bebas.
Definisi 2.31 Inkremen stasioner
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { Xt , t T } disebut memiliki
inkremen stasioner jika Xt + s – Xt memiliki sebaran yang sama untuk semua
nilai t. Ross, 2007
Dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada sembarang
interval hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses
stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah
interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0, .
Definisi 2.32 Proses pencacahan
Suatu proses stokastik { Nt, t 0 } disebut proses pencacahan jika Nt menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.
Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan Nt harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:
i. N
t 0 untuk setiap t [0,.
ii. Nilai Nt adalah integer.
iii. Jika s t maka Ns
Nt, s, t [0,. iv.
Untuk s t, maka Nt - Ns sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval s,t].
Ross, 2007
Definisi 2.33 Proses Poisson
Suatu proses pencacahan { Nt, t 0 } disebut proses Poisson dengan laju
, 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:
i. N0 = 0 ii. Proses tersebut mempunyai inkremen bebas.
iii. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan
t. Jadi ;
0,1, 2,...
t k
e t
P N t s
N s k
k k
Ross, 2007 Dari syarat iii dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen
stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa .
N t t
Proses
Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t disebut
proses Poisson homogen. Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi
dari waktu, t, maka disebut proses Poisson tak homogen. Untuk kasus ini, t
disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas t harus
memenuhi syarat t ≥ 0 untuk semua t.
Definisi 2.34 Intensitas lokal
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas pada titik s adalah s, yaitu nilai fungsi di s.
Cressie, 1993
Definisi 2.35 Fungsi intensitas global
Misalkan N[0,n] adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas global
dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai: [0, ]
lim
n
N n
n
jika limit di atas ada. Cressie, 1993
Definisi 2.36 Fungsi periodik
Suatu fungsi disebut periodik jika s + k = s untuk semua sdan
k , dengan
adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang
memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi intensitas tersebut.
Browder, 1996
Definisi 2.37 Proses Poisson periodik
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Mangku, 2001
2.8 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
