Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
156
A. Pengertian Garis Singgung Lingkaran
1. Sifat Garis Singgung Lingkaran
Gambar 7.1 di samping menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik O dengan diameter AB. Garis g tegak lurus AB dan memotong lingkaran di dua
titik. Jika g digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik A maka akan diperoleh garis g yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus AB.
Garis g disebut garis singgung dan titik A disebut titik singgung. Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran
yaitu:
1.
Uji Kompetensi Awal
A
B O
g
g
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.
Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari diameter yang melalui titik singgungnya.
Perhatikan Gambar 7.2 Gambar 7.2a memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran
di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran.
Pada Gambar 7.2b , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus
jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat
dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.
A
g O
a
Dari gambar di samping tentukanlah:
a. ruas garis yang sejajar, b. ruas garis yang
berpotongan, c. ruas garis yang saling
tegak lurus. 2.
B F
A H
G
C D
E A
B C
12 cm 16 cm
Hitunglah panjang AC.
3. Dari gambar di samping tentukan:
a. keliling lingkaran, b. panjang busur PQ
P
Q 7 cm
60˚ O
b
P
Q R
l
m O
Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.
Gambar 7.1 :
garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran di titik A.
Gambar 7.2 :
Memperlihatkan Garis singgung yang
melalui satu titik pada r
a u
l i
d n
a d
n a
r a
k g
n il
lingkaran.
Gambar 7.2 :
Garis singgung melalui satu titik
Di unduh dari : Bukupaket.com
Garis Singgung Lingkaran
157
2. Melukis Garis Singgung
Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut.
a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari diameter yang melalui titik singgungnya. Oleh
karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari OP.
Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.
1 Langkah 1 Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang diperpanjang
hingga titik Q.
Q P
O
Q P
B O
A
Q P
B C
O A
2 Langkah 2 Buatlah busur dengan pusat P yang memotong ruas OP dan PQ di titik
A dan B.
3 Langkah 3 Buatlah busur dengan pusat A dan B sehingga berpotongan di titik C.
Ingat, jari-jarinya harus sama.
4 Langkah 4 Hubungkan titik C dan P sehingga membentuk garis CP. Garis inilah
yang disebut garis singgung g yang melalui titik P pada lingkaran dengan pusat O.
Q P
g B
O A
C
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
158
Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran di titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian
sebelumnya.
b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.
1 Langkah 1 Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T
yang terletak di luar lingkaran.
O T
T O
M
T O
B A
M
2 Langkah 2 Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan
menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.
3 Langkah 3 Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga
memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.
4 Langkah 4 Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT
dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.
T O
B A
M
Ternyata, kamu dapat membuat dua buah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Garis Singgung Lingkaran
159
3. Panjang Garis Singgung Lingkaran
Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran.
Perhatikan gambar berikut.
B A
C r
r O
Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena
garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung AB dan BC dapat dihitung dengan menggunakan teorema
Pythagoras. Perhatikan Δ OAB pada . Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
OA
2
+ AB
2
= OB
2
AB
2
= OB
2
– OA
2
AB = OB
OA
2 2
– AB
= OB r
2 2
– Pada ΔOCB juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
OC
2
+ BC
2
= OB
2
BC
2
= OB
2
– OC
2
BC = OB
OC
2 2
- BC
= OB r
2 2
- Ternyata, AB = BC = OB
r
2 2
- . Uraian tersebut menggambarkan definisi
berikut. Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar
lingkaran mempunyai panjang yang sama.
Perhatikan gambar berikut. Jika diketahui jari-jari lingkaran
r = 6 cm dan OB = 10 cm, tentukan:
a. panjang garis singgung AB, b. luas ΔOAB.
Jawab : a. Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras sehingga
AB
2
= OB
2
– r
2
AB = 10
6
2 2
- =
100 36 -
= 64 = 8 Jadi, panjang AB adalah 8 cm.
k b
Contoh Soal
7.1
Berdasarkan teorema Pythagoras, pada segitiga
siku-siku berlaku: PQ
2
+ QR
2
= PR
2
atau r
2
+ p
2
= q
2
Plus +
P
Q R
p r
O A
r B
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
160
b. Luas ΔOAB = 1
2 × OA × AB
= 1
2 × 6 × 8
= 24 Jadi, luas ΔOAB adalah 24 cm
2
1. Lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran berikut ini.
a.
Jari-jari lingkaran 6 cm dan panjang garis singgung AB 8 cm. Tentukan jarak titik pusat O
3. Jari-jari lingkaran yang berpusat di titik O adalah 2 cm. Titik T terletak di luar lingkaran dan berjarak
7 cm dari pusat lingkaran. Hitunglah panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik T.
4. Perhatikan gambar berikut.
Uji Kompetensi 7.1
O
A B
O
R O
P
b.
c. 2. Perhatikan gambar berikut.
O A
B 26 cm
10 cm Hitung panjang garis singgung AB.
5. Sebuah lingkaran yang berpusat di O memiliki jari- jari r. Jarak titik pusat ke titik P yang terletak di luar
lingkaran adalah r + 8. Jika panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik P adalah 12 cm, tentukan
panjang jari-jari r dan jarak O ke P
B. Garis Singgung Dua Lingkaran
Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang berbeda
ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran.
O Q
Kerjakanlah soal-soal berikut.
ke titik B.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kategori