Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
166
OP = R + r
= 7 + 5 = 12 cm maka AB
= – –
OP R r
2 2
= 12
7 5
2 2
– – =
12 2
2 2
– =
144 4 – = 140
= 2 35
Jadi, panjang garis singgung AB adalah 2 35 cm
3. Garis Singgung Persekutuan Dalam
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini.
1 Langkah 1 Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masing-
masing R dan r r R, kemudian hubungkan kedua titik pusatnya.
P R
r Q
2 Langkah 2 Buatlah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang
panjangnya sama dan harus lebih besar dari 1
2 PQ sehingga berpotongan
di titik M dan N.
M
N P
R r
Q
3 Langkah 3 Hubungkan
M dan N sehingga memotong PQ di titik T.
Pada bentuk akar berlaku sifat:
a b a
b a
b +
= ×
≥ ≥
; dan
Pada be Pada be
Plus +
Di unduh dari : Bukupaket.com
Garis Singgung Lingkaran
167
P R
r Q
M
N T
4 Langkah 4 Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT.
P Q
M
T
N
P A
B Q
T
5 Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r
sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.
6 Langkah 6 Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong
lingkaran dengan pusat P di titik C dan D.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
168
7 Langkah 7 • Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong
lingkaran yang berpusat di Q pada titik E. • Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong
lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.
P A
B C
D Q
8 Langkah 8 Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah
garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.
P A
B C
D Q
E F
P C
D Q
E F
T
Di unduh dari : Bukupaket.com
Garis Singgung Lingkaran
169
b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan gambar berikut ini.
P R
S A
Q B
k d
d
r
• Garis AB
merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan di Q.
• R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau
lingkaran kedua. PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r. • d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB.
• k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. • SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang
SQ = panjang AB = d.
• Oleh karena SQ sejajar AB maka – PSQ = – PAB = 90˚. • Sekarang perhatikan ΔPSQ.
Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan – PSQ = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.
PQ
2
= PS
2
+ SQ
2
SQ
2
= PQ
2
– PS
2
d
2
= k
2
– R + r
2
d = k R
r
2 2
- +
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah d = k
R r
2 2
- +
Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung per sekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik
pusatnya adalah 30 cm. i d
li
Contoh Soal
7.4
dengan: d
= panjang garis singgung persekutuan dalam k
= jarak kedua titik pusat lingkaran R
= jari-jari lingkaran pertama r
= jari-jari lingkaran kedua
Pernahkah kamu melihat gerhana bulan? Tahukah
kamu saat terjadi gerhana bulan, posisi antara Matahari
dan Bumi ini membentuk dua garis singgung
persekutuan. Sekarang, carilah informasi gambar
mengenai kedudukan Matahari dan bumi saat ter-
jadi gerhana bulan. Kemudian, coba kamu hitung
panjang garis singgung
persekutuan itu
Tugas
7.1
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
170
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm,
tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain. Jawab :
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d = 15 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm.
Panjang jari-jari R salah satu lingkaran adalah 3 cm maka R = 3 cm. d
= k
R r
2 2
– +
15 = 17
3
2 2
– + r
15
2
= 17
2
– 3 + r
2
225 = 289 – 3 + r
2
3 + r
2
= 289 – 225 3 + r
2
= 64 3 + r = 8
r = 8 – 3 r = 5
Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm i i
Contoh Soal
7.5
4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran
