Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
112
= 64 64 100 36
20
2
- +
-
= 64 128
20
2
- = 64 40 96
- ,
= 4,8 Jadi, panjang AD = 4,8 cm.
c. Untuk menentukan luas segitiga ABC sebagai berikut Luas =
× =
× =
= BC
AD 2
10 4 8 2
48 2
24 ,
Jadi, luas segitiga ABC = 24 cm
2
2. Garis Berat pada Segitiga
Sama halnya dengan garis tinggi, garis berat pada segitiga pun telah kamu pelajari di kelas VII. Ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan garis berat?
Coba perhatikan Gambar 5.11. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga sebarang ABC. Perhatikan bahwa AE, BF, dan CD merupakan garis
berat segitiga ABC. Jadi, apa yang dapat kamu ketahui tentang garis berat? Garis berat pada
segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan membagi dua dengan sama panjang sisi yang ada di hadapan sudut tersebut. Titik G pada
segitiga ABC merupakan titik berat segitiga. Bagaimana cara menghitung panjang garis berat pada suatu segitiga?
Coba perhatikan segitiga sebarang ABC pada Gambar 5.12 di samping. Garis EC merupakan garis berat sedangkan garis DC merupakan garis tinggi.
Untuk menghitung panjang EC, perhatikan uraian berikut. • Dari segitiga ABC, diperoleh proyeksi garis BC terhadap BE, yaitu DE
atau x. Jadi,
DE D
D x
a c
d c
x a
c =
= -
-
= -
2 2
2
2
1 2
2 1
2 1
2 -
= -
-
2 2
2 2
2
1 2
1 d
c cx
cc a
c d
...
Dari segitiga AEC, diperoleh proyeksi garis EC terhadap AE, yaitu DE atau x. Jadi,
A B
C
E
D G
F
A B
C
a
c x
e d
D E
b
1 2
c – x 1
2 c
Gambar 5.11 : Garis Berat
Gambar 5.12 : Panjang Garis Berat
Di unduh dari : Bukupaket.com
Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga
113
DE = x =
d c
b c
2 2
2
1 2
2 1
2 + Ê
ËÁ ˆ
¯˜ -
Ê ËÁ
ˆ ¯˜
= d
c b
c
2 2
2
1 2
+ Ê ËÁ
ˆ ¯˜
-
cx = d
2
+ 1
2
2
c Ê
ËÁ ˆ
¯˜ – b
2
...2 Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh:
a
2
- 1
2
2
c Ê
ËÁ ˆ
¯˜ – d
2
= d
2
+ 1
2
2
c Ê
ËÁ ˆ
¯˜ – b
2
– d
2
– d
2
= 1
2
2
c Ê
ËÁ ˆ
¯˜ +
1 2
2
c Ê
ËÁ ˆ
¯˜ – b
2
– a
2
–2d
2
= 2 1
2
2
c Ê
ËÁ ˆ
¯˜ – b
2
– a
2
2d
2
= –2 1
2
2
c Ê
ËÁ ˆ
¯˜ + b
2
+ a
2
2d
2
= - 1
2
2
c + b
2
+ a
2
d
2
= -
+ 1
2 2
2 2
2
c b
+
2
+ a
d
2
= - +
1 4
1 2
1 2
2 2
1
2
c b
+
2
+ 1
a d
2
= 1
2 1
2 1
4
2 2
1
2
a b
2
1 c
– d
= 1
2 1
2 1
4
2 2
2
1 1
a b
2
1 c
-
2
b Jadi, rumus untuk menentukan panjang garis berat d pada segitiga
adalah: d
a b
c +
a 1
2 1
2 1
4
2 2
2
b +
1 1
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
114 Contoh
Soal
5.16
Sebuah segitiga PQR memiliki ukuran panjang sisi PQ = 8 cm, QR = 10 cm, dan PR
= 12 cm. Hitunglah panjang garis berat segitiga tersebut untuk setiap sudutnya
Jawab: Perhatikan gambar di samping. Dari gambar tersebut, QS, PU, dan RT adalah garis
berat segitiga PQR. QS
Q Q
PQ QR
Q Q
PR P
P =
+ -
= +
- =
. 1
2 1
2 1
4 1
2 8
1 2
10 1
4 12
1 2
64
2 2
2 2
2 2
+ + .
- . =
+ -
1 22
100 1
4 144
32 32 50 36
46 PQ
PR PQ
QR Q
Q =
+ -
= +
- =
. 1
2 1
2 1
4 1
2 12
1 2
8 1
4 10
1 2
14
2 2
2 2
2 2
4 4
1 22
64 1
4 100
72 72 32 25
9 + .
- . =
+ -
RT PR
RQ PQ
= +
- =
+ -
= .
1 2
1 2
1 4
1 2
12 1
2 10
1 4
8 1
2 14
2 2
2 2
2 2
4 4
1 22
100 1
4 64
72 72 50 32
+ . - .
= ++
-
Jadi, diperoleh panjang garis berat segitiga PQR adalah sebagai berikut.
QS Q
Q PU
RT =
= =
46 79
106 cm
cm cm
P R
Q
10 cm
12 cm 8 cm T
U
S
Sekarang, coba kamu perhatikan segitiga sebarang ABC pada Gambar di samping. Segitiga sebarang ABC memiliki garis berat AEBF, dan CD.
Titik G yang merupakan perpotongan antara tiga garis berat dinamakan titik berat segitiga ABC. Berikut ini adalah perbandingan ukuran yang
dimiliki oleh segitiga sebarang ABC pada gambar
A B
D C
F E
G
Di unduh dari : Bukupaket.com
Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga
115
• Untuk panjang sisi • Untuk panjang sisi berat
AD : DB = 1 : 1
AG : GE = 2 : 1
BE : EC = 1 : 1
BG : GF = 2 : 1
CF : FA = 1 : 1
CG : GD = 2 : 1
Dari uraian tersebut, jelas bahwa jarak titik sudut segitiga ke titik berat adalah 2
3 kali panjang garis berat. Adapun jarak dari titik berat ke
pertengahan sisi segitiga adalah 1 3
kali dari panjang garis berat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal 5.19
Contoh Soal
5.17
Perhatikan segitiga siku-siku ABC pada gambar berikut. Jika ukuran sisi segitiga tersebut adalah 8 cm, 6 cm, dan 10 cm, tentukan:
a. panjang garis berat BD, b. panjang BE,
c. panjang DE
. Jawab:
a. Untuk menentukan panjang BD, gunakan rumus umum untuk menghitung panjang garis berat.
BD AB
BC AC
= +
AB - ·
+ · =
· 1
2 1
2 1
4 1
2 6
1 2
8 1
4 10
2
B B
B
2 2
2 2
++ 1
8
22
1 2
36 1
2 64
1 4
100 18 32 25
25 5
- · + ·
= · 36
64 100
18 32 18 32
= 25 Jadi, panjang garis berat BD adalah 5 cm.
b. Panjang BE = × 2
3 panjang BD
= × 2
3 5
= 10
3 Jadi, panjang BD =
10 3
cm c. Panjang DE = ×
1 3
panjang BD = ×
1 3
5 =
5 3
Jadi, panjang DE = 5
3 cm
A B
C
D E
6 cm 10 cm
8 cm
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
116
Uji Kompetensi 5.2
1. Perhatikan gambar berikut ini. Gambar tersebut menunjukkan proyeksi sebuah titik terhadap
sebuah garis. Jika garis tersebut memiliki persamaan 3x + y – 2 = 0 dan koordinat titik
tersebut adalah 4, –2, maka: a. tentukan jarak antara titik tersebut dengan
titik hasil penyelesaiannya, b. gambarkan posisi titik hasil proyeksi garis
tersebut. • 4, –2
3x + y – 2 = 0 2.
Q –1,3
k P
2, 5
Dari gambar tersebut, sebuah garis PQ akan di- proyeksikan terhadap garis k. Diketahui koordinat
P 2, 5 dan Q–1, 3 serta garis k memiliki per-
samaan x – y = 0. a. Jika hasil proyeksi titik P memiliki koordinat
P 2, – 6, tentukan panjang garis PP.
b. Tentukan jarak antara Q dengan Q. c. Tentukan koordinat titik Q.
3. Perhatikan segitiga PQR pada gambar berikut. Jika panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah 14 cm, 10
cm, dan 8 cm, tentukan:
14 cm 10 cm
P Q
R 8 cm
a. panjang proyeksi PQ terhadap QR, b. panjang proyeksi PQ terhadap PR,
c. panjang proyeksi QR terhadap PQ, d. panjang proyeksi QR terhadap PR.
4.
Dari gambar segitiga siku-siku ABC tersebut, tentukan:
a. panjang garis tinggi untuk A, b. panjang garis tinggi untuk B,
c. panjang garis tinggi untuk C. 5. Perhatikan gambar segitiga siku-siku KLM berikut
tentukan:
a. panjang berat untuk garis k, b. panjang berat untuk garis L,
c. panjang garis berat untuk M, d. panjang MQ,
e. panjang QN. Kerjakanlah soal-soal berikut.
12 cm A
B C
13 cm 5 cm
4 cm K
L N
O Q
M
5 cm
3 cm P
Di unduh dari : Bukupaket.com
Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga
117
1. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa
