Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga
109
AD b
a c
c =
- +
2 2
2
2 Dengan cara yang sama, panjang garis proyeksi sisi a terhadap sisi c,
yaitu panjang DB adalah: DB
D D
a c
b c
= +
-
2 2
2
2 Begitu pula dengan panjang garis proyeksi sisi a terhadap sisi b, yaitu
panjang EC adalah: EC
a b
c b
= +
-
2 2
2
2
Contoh Soal
5.13
b. Menghitung garis tinggi pada segitiga
Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan garis tinggi pada segitiga ? Perhatikan segitiga sebarang PQR pada Gambar 5.10
Garis PU, QT, dan RS adalah garis-garis tinggi segitiga PQR. Jadi, garis tinggi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga
dan tegak lurus terhadap sisi yang ada di hadapan sudut segitiga tersebut.
Sekarang bagaimana cara menghitung garis tinggi pada suatu segitga? Ada rumus umum yang dapat kamu gunakan untuk menghitungnya. Untuk
lebih jelasnya coba kamu pelajari uraian berikut secara saksama.
Perhatikan segitiga sebarang PQR pada gambar berikut. Jika panjang PQ adalah 8 cm, panjang QR adalah 9 cm dan panjang PR adalah 14 cm, tentukanlah panjang
proyeksi PQ terhadap QR.
Perhatikan gambar berikut. Hasil proyeksi PQ terhadap QR adalah garis SQ. Untuk menghitung panjang SQ, gunakan rumus umum proyeksi suatu garis terhadap garis
lain diperoleh : SQ
PR P
P QR
Q Q
PQ QR
Q Q
= -
- =
- -
= -
-
2 2
2 2
2 2
2 14
9 8
2 9 196 81 64
18 ==
= 51
18 2
15 18
Jadi, panjang proyeksi PQ terhadap QR adalah 2 15
18 cm
R
Q 8 cm
14 cm 9 cm
S P
R
Q P
R
U T
Q S
P
Gambar 5.10 : Garis tinggi segitiga
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
110
Misalkan, diketahui segitiga sebarang ABC
dengan ukuran-ukuran sisi-sisi seperti pada gambar disamping. Perhatikan bahwa
CD adalah garis tinggi pada segtiga
ABC , untuk menghitung panjang CD, perhatikan
uraian berikut. •
Pada segitiga ADC, berlaku teorema Pythagoras:
CD
2
= b
2
– AD
2
....
1
• Dari hasil proyeksi garis AC terhadap AB diperoleh: AD
b c
a c
= +
2 2
2
2 –
....
2
Kemudian, subtitusikan nilai AD ke persamaan 1 diperoleh: CD
2
= b
2
– AD
2
CD b
b c
a c
2 2
2 2
2 2
2 =
- +
-
CD b
b c
a c
= -
+ -
2 2
2 2
2
2 Dari uraian ini di peroleh bahwa panjang garis tinggi segitiga ABC, yaitu
panjang CD, adalah CD
b b
c a
c =
- +
-
2 2
2 2
2
2 Dengan cara yang sama, coba kamu tentukan sendiri panjang garis tinggi
yang lain pada segitiga ABC tersebut
A B
D b
a
c C
Gambar 5.12
Contoh Soal
5.14
Perhatikan segitiga sebarang PQR pada gambar di samping. Jika ukuran sisi- sisi segitiga tersebut seperti pada gambar, tentukan panjang garis tinggi QS pada
segitiga PQR.
P R
Q 12 cm
10 cm 9 cm
S
Jawab: Dari gambar diketahui:
p = 10 cm, q = 9 cm, dan r = 12 cm
Dengan mengunakan rumus perhitungan garis tinggi, diperoleh:
Di unduh dari : Bukupaket.com
Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga
111
QS p
p q
r q
= -
p + qq
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= -
+
2 2
2
+
2 2
2 2
2
+
2
2 10
10 9
1 -
2
2 2 c
9 m Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯
= -
+ -
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= -
Ê
2
2
100 100 81 144
18 100
37 18
ËËÁ ÊÊ
ËËËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯
2
QS =
- =
- =
100 1 369
324 32 400 1 369
324 31 031
324 .
. .
400 1 .
Jadi, panjang QS = 31 031
324 .
Contoh Soal
5.15
Perhatikan segitiga siku-siku ABC pada gambar di samping. Dengan ukuran-ukuran seperti yang
ditunjukan pada gambar, tentukan:
a
. panjang BC,
b . panjang garis tinggi AD,
c
. luas segitiga ABC.
Jawab
:
a . Untuk menentukan panjang BC, gunakan teorema
Pythagoras. BC
2
= AB
2
+ AC
2
= 6 cm
2
+ 8 cm
2
= 36 cm
2
+ 64 cm
2
= 100 cm
2
BC =
= 100
10
2
cm cm
b . Untuk menentukan panjang garis tinggi AD, gunakan rumus perhitungan garis
tinggi. AD
= AC AC
BC AB
BC
2 2
2 2
2
2 -
+ Ê
ËÁ ˆ
¯˜ –
= 8
8 10
16 2 10
2 2
2 2
2
- +
- Ê
ËÁ ˆ
¯˜ A
B C
D
6 cm 8 cm
Di unduh dari : Bukupaket.com
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII
112
= 64 64 100 36
20
2
- +
-
= 64 128
20
2
- = 64 40 96
- ,
= 4,8 Jadi, panjang AD = 4,8 cm.
c. Untuk menentukan luas segitiga ABC sebagai berikut Luas =
× =
× =
= BC
AD 2
10 4 8 2
48 2
24 ,
Jadi, luas segitiga ABC = 24 cm
2
2. Garis Berat pada Segitiga
