4. Bila A dan B independent bebas, maka :
B P
A P
B A
P =
∩ 5.
Bila A dan B dependent tidak bebas, maka : |
A B
P A
P B
A P
= ∩
, |
B A
P B
P B
A P
= ∩
dimana .
, ≠
≠ B
P A
P
2.3 Probabilitas Bersyarat
Peluang terjadinya suatu kejadian A bila diketahui bahwa kejadian B telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan PA|B.
| B
P B
A P
B A
P ∩
=
Sama halnya dengan peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketaui bahwa kejadian A telah terjadi dan dinyatakan dengan PB|A.
| A
P B
A P
A B
P ∩
=
Dengan mengkombinasikan kedua persamaan maka diperoleh : |
| A
P A
B P
B A
P B
P B
A P
= ∩
= |
| B
P A
P A
B P
B P
B A
P B
A P
= ∩
=
Contoh: Dari 900 nama, terdapat 500 orang pria dengan status 460 orang bekerja, sedangkan
40 orang lagi tidak bekerja, dan 400 orang wanita dengan status 140 orang bekerja sedangkan 260 orang lagi tidak bekerja. Berapa probabilitas terpilihnya pria dengan
status telah bekerja?
Universitas Sumatera Utara
A = pria terpilih B = orang yang terpilih berstatus bekerja
3 2
900 600
= =
B P
45 23
900 460
= =
∩ A B
P
30 23
3 2
45 23
| =
= B
A P
Dari perhitungan diatas maka diperoleh kemungkinan bahwa nama yang terpilih adalah pria dengan status bekerja adalah sebesar 0,77 atau 77.
2.4 Titik Sampel
Titik sampel sample point merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel. Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n
1
cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dilakukan dengan n
2
cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapat dilakukan dengan n
3
cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n
1
n
2
...n
k
cara. Contoh:
Tiga buah koin uang logam dilemparkan sekali. Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel ?
Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka M atau belakang B Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B
Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B Jumlah titik sampel yang dihasilkan = 2 2 2 = 8
2.4.1 Kombinasi Combination
Kombinasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi berkaitan dengan penentuan banyaknya cara
Universitas Sumatera Utara
memilih r obyek dari sejumlah n obyek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan n – r
obyek sisanya. Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainan jika diambil sebanyak r.
r n
r n
C
n r
− =
Contoh: Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita Banyaknya panitia yang dibentuk yang
beranggotakan 2 pria dan 1 wanita? Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria =
6 2
2 4
4 2
= =
C Banyaknya cara memilih 1 dari 3 wanita =
3 2
1 3
3 1
= =
C Banyaknya panitia yang dapat dibentuk = 6 3 = 18
2.4.2 Permutasi Permutation
Permutasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yang dapat dibentuk yang memperhatikan urutan. Banyaknya permutasi n obyek berlainan adalah n Banyaknya
permutasi n obyek berlainan bila diambil r sekaligus. r
n n
P
n r
− =
Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah n – 1
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n
1
adalah jumlah obyek jenis pertama, n
2
adalah jumlah obyek jenis kedua, ..., n
k
jumlah obyek ke -k adalah:
...
2 1
k
n n
n n
Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r sel bila masing-masing berisi n
1
obyek pada sel pertama, n
2
obyek pada sel kedua, dan seterusnya adalah : ...
2 1
r
n n
n n
dengan n
1
+ n
2
+ ... + n
r
= n
Universitas Sumatera Utara
2.5 Distribusi Probabilitas Diskrit
Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku kelakuan perubah acak tersebut.
Sering di menjumpai, pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.
Oleh karena itu perubah acak diskrit yang berkenaan dengan percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat
dinyatakan dengan rumus yang sama. Dalam banyak praktek yang sering di jumpai, hanya memerlukan beberapa
distribusi probabilitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskrit.
2.5.1 Distribusi Seragam
Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama. Distribusi ini disebut distribusi probabilitas
seragam diskrit.
Jika perubah acak X mendapat nilai
k
x x
x ,
, ,
2 1
dengan probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskrit diberikan oleh:
; 1
; k
k x
f =
untuk x = x
1
, x
2
, … , x
k
Lambang fx;k sebagai pengganti fx, yang menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x
Universitas Sumatera Utara
k 1
X
1
X
2
X
3
X
K
Gambar 2.5 Distribusi Seragam
Rata-rata dan varians dari distribusi seragam diskrit adalah :
k x
k i
i =
=
1
µ k
x
k i
i =
− =
1 2
2
µ σ
Contoh: Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel
S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 16. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam uniform yakni fx;6=16,
untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
2.5.2 Distribusi Binomial
Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap
ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi
proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut: 1.
Percobaan terdiri atas n-eksperimen yang berulang 2.
Tiap-tiap eksperimen memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2- kategori, sukses atau gagal
3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu eksperimen
ke eksperimen berikutnya. 4.
Tiap eksperimen bebas dengan eksperimen lainnya.
Universitas Sumatera Utara
Jadi proses Bernoulli adalah suatu proses dengan ciri-ciri eksperimen berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang
sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 dua kejadian yang mungkin terjadi, dimana 2 dua kejadian tersebut adalah saling asing dan juga independent satu sama
lain. Biasanya 2 dua kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan kejadian gagal. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas
gagal dilambangkan dengan q, dan
1 =
+ q p
. Dari proses tersebut, yang di definisikan sebagai variabel adalah munculnya kejadian sukses, yang dilambangkan dengan x.
Untuk distribusi Binomial semacam itu, bisa dihitung probabilitas x sukses akan muncul dalam n percobaan tersebut dengan rumus :
x n
x x
n x
n x
q p
x n
x n
q p
C p
n x
P x
F
− −
− =
= =
, ;
Dengan: x
= munculnya sukses yang ingin di hitung n
= jumlah eksperimen p
= probabilitas sukses dalam tiap eksperimen q
= probabilitas gagal dalam tiap eksperimen = 1 – p n-x
= jumlah gagal dalam n eksperimen Distribusi binomial mempunyai nilai rata-rata = np dan nilai simpangan baku
= npq .
2.5.3 Nilai Harapan Distribusi Binomial
EX =
= −
=
=
n x
x n
x n
x
q p
x n
x F
=
x n
n x
q x
n x
n X
− =
−
x
p .
=
x n
n x
q x
n x
n X
− =
−
x 1
p .
=
x n
n x
q x
n x
n
− =
− −
x 1
p 1
Universitas Sumatera Utara
= n.p
1 1
x 1
p 1
1 1
1
− −
− =
− −
− −
−
x n
n x
q x
n x
n
y = x-1 x = 1 = y = 0
x = n = y = n – 1 = n.p
y n
n y
q y
n y
n
− −
− =
− −
−
1 y
1
p 1
1 = n.p p + q
n -1
= n.p1
n -1
= np
2.5.4 Variansi Distribusi Binomial
Var X
=
E [X
2
] - E [X]
2
E [X
2
] =
= −
=
+ −
=
n x
x n
x n
x
q p
x n
x x
x x
F x
2
} 1
{ =
= −
−
n x
x n
x
q p
x n
x x
1 +
= −
n x
x n
x
q p
x n
x =
2 2
2 1
. 2
− n
q p
n +
3 3
3 2
. 3
− n
q p
n + …+ nn-1p
n
+ np = nn-1p
2
q
n-2
+ n-2 pq
n-3
+…+ p
n-2
+ np = nn-1p
2
q + p
n-2
+ np = nn-1p
2
+ np Jadi,
Var X
=
E [X
2
] - E [X]
2
= nn-1p
2
+ np – n
2
p
2
= np 1-p = npq
Universitas Sumatera Utara
2.6 Distribusi Normal
Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng. Distribusi ini ditemukan
Karl Friedrich Gauss 1777-1855 yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan
matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter µ mean dan
σ simpangan baku. Dinyatakan ,
, σ
µ x
n
Gabar 2.6 Kurva Normal
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata µ dan simpangan
baku
σ
dinyatakan sebagai :
2
2 1
2 1
, ;
σ µ
πσ σ
µ
− −
=
x
e x
n
untuk ∞
∞ −
x Dengan :
µ = mean
σ
= simpangan baku π = 3,14159…
e = 2, 71828… Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb:
= ≤
≤ b
x a
P
b a
dx x
f
-4 -2
2 4
.0 .1
.2 .3
.4
x d
n o
rm x
Universitas Sumatera Utara
= dx
e
x b
a
2
2 1
2
2 1
σ µ
πσ
− −
Gambar 2.7 Luas Derah Pa x b = Luas Daerah Diarsir
2.6.1 Nilai Harapan Variabel Acak Normal
E [X]
=
∞ ∞
−
dx x
xf
=
dx e
x
x
x
2
2 1
2 1
σ µ
π σ
− −
∞ ∞
−
=
dx e
x
x
x
2
2 1
2 1
σ µ
π σ
− −
∞ ∞
−
σ µ
x
x z
− =
;
x z
x
= +
µ σ
;
dx dz
σ 1
=
;
dz dx
σ =
=
dz e
z
z x
σ µ
σ π
σ
2
2 1
2 1
− ∞
∞ −
+
=
dz e
z
z x
2
2 1
2 1
− ∞
∞ −
+ µ
σ π
=
dz e
z
z
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π σ
+
dz e
z x
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π µ
-4 -2
2 4
.0 .1
.2 .3
.4
x d
n o
rm x
Universitas Sumatera Utara
Untuk dz
e z
z
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π σ
=
2
2 1
2 1
2 2
dz ze
dz ze
z z
∞ −
∞ −
−
+ π
σ
2
2 1
z y =
;
zdz dy =
;
z dy
dz =
=
2 dy
e dy
e
y y
∞ −
∞ −
−
+ π
σ
untuk dz
ze
z ∞
− 2
1
2
=
z dy
ze
o y
∞ −
=
dy e
y ∞
−
=
[ ]
∞ −
y
e
dimana lim
=
− ∞
→ y
y
e ; maka
=
∞ −
dy e
y
akibatnya dz
e z
z
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π σ
=
2 +
π σ
=
Untuk dz
e
z x
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π µ
=
2
2 1
2 1
2 2
dz e
dz e
z z
x ∞
− ∞
− −
+ π
µ
y z
z y
2 2
1
2
= →
=
z dy
dz zdz
dy =
→ =
=
2 z
dy e
z dy
e
y y
x ∞
− ∞
− −
+ π
µ
=
2 1
2 1
2
2 1
2 1
dy e
y dy
e y
y y
x ∞
− −
− ∞
− −
+ π
µ
=
2 2
2 2
2 π
π π
µ +
x
=
x
µ Sehingga :
E [X]
=
dz e
z
z
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π σ
+
dz e
z x
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π µ
E [X]
=
x
µ +
=
x
µ
Universitas Sumatera Utara
2.6.2 Variansi Variabel Acak Normal
Var X
=
E [X
2
] - E [X]
2
E [x
2
]
=
dx e
x
x
x
2
2 1
2
2 1
σ µ
π σ
− −
∞ ∞
−
=
dx e
x
x
x
2
2 1
2
2 1
σ µ
π σ
− −
∞ ∞
− x
x
z x
z µ
σ σ
µ +
→ −
= dz
dx dx
dz σ
σ =
→ =
1
=
dz e
z
z x
σ µ
σ π
σ
2
2 1
2
2 1
− ∞
∞ −
+
=
dz e
z z
z x
x
2
2 1
2 2
2 2
1
− ∞
∞ −
+ +
µ µ
σ σ
π
=
dz e
z
z
2
2 1
2
2 1
− ∞
∞ −
σ π
+
dz e
z
z x
2
2 1
2 2
1
− ∞
∞ −
µ σ
π
+
dz e
z x
2
2 1
2
2 1
− ∞
∞ −
µ π
=
dz e
z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
+
dz e
z
z x
2
2 1
2 2
− ∞
∞ −
π σµ
+
dz e
z x
2
2 1
2
2
− ∞
∞ −
π µ
=
dz e
z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
+ +
π π
µ 2
2
2 x
=
dz e
z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
+
2 x
µ
Untuk dz
e z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
=
2
2 2
2 1
2 2
1 2
2
dz e
z dz
e z
z z
− ∞
− ∞
−
+ π
σ
y z
z y
2 2
1
2
= →
=
y dy
z dy
dz zdz
dy 2
= =
→ =
Universitas Sumatera Utara
dz e
z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
=
2 2
2 2
2
2 ∞
− ∞
− −
+ y
dy ye
y dy
ye
y y
π σ
=
2 2
2 2
2
2 1
2 1
2
dy e
y dy
e y
y y
− ∞
− ∞
−
+ π
σ
=
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
2
2
Γ +
Γ π
σ
=
2 2
2 2
2
2
π π
π σ
+
=
2
σ
Sehingga : E [X
2
]
=
2 2
X
µ σ +
Maka : Var X
=
E [X
2
] - E [X]
2
=
2 2
X
µ σ +
-
2 x
µ
=
2
σ
2.6.3 Distribusi Normal Standard
Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata- rata dan simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari
variabel random kontinu dapat di permudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal standard.
Distribusi normal standard adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata µ = 0 dan simpangan baku
σ = 1. Bentuk fungsinya adalah :
2
2 1
2 1
z
e Z
f
−
= π
Universitas Sumatera Utara
Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standard di gunakan nilai Z standard units. Bentuk rumusnya adalah:
σ µ
− =
X Z
Dengan: Z = Skor Z atau nilai normal baku
X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran µ = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi
σ = Standart deviasi suatu distribusi Nilai Z standard units adalah angka atau indeks yang menyatakan
penyimpangan suatu nilai variabel random X dari rata-rata µ dihitung dalam
satuan simpangan baku σ .
2.6.4 Sifat-Sifat Normal Standard
Sifat-sifat penting dalam distribusi normal standard yaitu: 1
Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x 2
Bentuknya simetrik terhadap x = µ 3
Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x = µ 4
Grafiknya mendekati berasimtutkan sumbu datar x di mulai dari x = σ
µ 3
+ ke kanan dan x =
σ µ
3 −
ke kiri 5
Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi. Untuk tiap pasang
µ dan σ , sifat-sifat di atas selalu di penuhi, hanya bentuk
kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah
platikurtik dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi leptokurtik.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.8 Distribusi Kurva Normal dengan µ Sama dan σ σ
σ σ Berbeda
Pada Gambar 2.8 menunjukkan bentuk distribusi dan kurva normal dengan nilai tengah sama dan standart deviasi yang berbeda. Kurva normal demikian
mempunyai µ = Md = Mo yang sama, namun mempunyai σ yang berbeda. Semakin
besar σ , maka kurva semakin pendek dan semakin tinggi nilai σ , maka semakin
runcing. Oleh sebab itu, σ yang tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin
menyebar dari nilai tengahnya µ. Sebaliknya apabila σ semakin rendah, maka nilai
semakin mengelompok pada nilai tengahnya, sehingga parameter nilai tengah menjadi indikator yang baik bagi ukuran populasi.
Gambar 2.9 Distribusi Kurva Normal dengan µ Berbeda dan σ Sama
1 2
3 4
5 6
7 8
9 1 0
m Me s o ku r tic
Pla ty ku r tic L e p to ku r tic
Universitas Sumatera Utara
Pada Gambar 2.9 menunjukkan bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan µ berbeda dan
σ sama, mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Hal demikian bisa terjadi karena kemampuan antar
populasi berbeda, namun setiap populasi mempunyai keragaman yang hampir sama.
Gambar 2.10 Distribusi Kurva Normal dengan µ µ
µ µ dan σ
σ σ
σ Berbeda
Pada Gambar 2.10 menunjukkan bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan µ berbeda dan
σ berbeda. Kurva yang demikian mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena
mempunyai setandart deviasi yang berbeda. Kurva demikian relatif banyak terjadi, karena antar-populasi terdapat perbedaan kemampuan, disamping itu di dalam setiap
populasi juga terdapat perbedaan, atau setiap populasi juga mempunyai keragaman yang berbeda.
2.7 Menghampiri Distribusi Binomial dengan Distribusi Normal
Sebagaimana distribusi poisson sebagai penghampir distribusi binomial, maka distribusi binomial dapat juga dihampiri dengan distribusi normal. Penghampiran ini
atas dasar teori asimtotik, yaitu dengan mengandaikan banyak pengamatan n dan
p tetap. Atas dasar perandaian ini maka :
x n
x
p p
x n
x n
x X
P x
f
−
− −
= =
= 1
Universitas Sumatera Utara
Pendekatan distribusi normal ini dapat di gunakan untuk pendekatan distribusi binomial, dengan memenuhi beberapa syarat, yaitu :
a. Jumlah pengamatan relatif besar n 30, dan nilai dari np 5 dan n1-p 5,
dimana n = jumlah data dan p adalah probabilitas sukses. b.
Memenuhi syarat binomial yaitu mempunyai peristiwa hanya 2 dua, antara percobaan bersifat independent, probabilitas sukses dan gagal sama untuk
semua percobaan dan data merupakan hasil perhitungan.
c. Rumus nilai normal untuk mendekati binomial adalah :
npq np
X Z
− =
d. Faktor korelasi diperlukan dari binomial yang acak diskrit menjadi normal
yang kontinu dengan menambah atau mengurang 0,5 terhadap nilai X.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Pendekatan Distribusi Binomial dengan Menggunakan Distribusi Normal