dengan probabilitas sukses p, 0p1. Misalkan Z
n
, n = 1, 2, ... barisan variabel random dengan :
npq np
S Z
n n
− =
, Dan misalkan z suatu tetapan. Maka, bila n menuju ke takberhingga, PZ
n
z mendekati luas pada distribusi normal standard di sebelah kanan z.
Atau dengan pernyataan lain teorema De Moivre-Laplace menyatakan bahwa : Jika S
n
banyaknya sukses dalam n percobaan Bernoulli dan p adalah probabilitas sukses dan
npq np
S Z
n n
− =
, maka :
dt e
z Z
P z
F
z t
n Zn
∞ −
−
→ =
2
2
, dimana n .
Teorema De Moivre-Laplace merupakan suatu bentuk dari teorema limit pusat yang cukup umum. Teorema ini membicarakan limit distribusi jumlah variabel
random, dan limit distribusinya biasanya normal. Pentingnya teorema ini ialah bahwa dengan menggunakannya, dapat di hitung pendekatan peluang untuk jumlah variabel
random dengan menggunakan distribusi normal tanpa perlu tahu distribusi jumlah variabel random dengan tepat.
3.4 Teknik Perhitungan Pendekatan Distribusi Binomial oleh Distribusi Normal
Oleh karena distribusi binomial adalah distribusi untuk variabel random diskrit yang mana probabilitasnya berupa ordinat. Sedangkan distribusi normal merupakan
distribusi untuk variabel random kontinu yang mana probabilitasnya berupa area luasan, maka perlu diadakan penyesuaian perubahan dari ordinat menjadi luas.
panjang dikalikan lebar. Penyesuaian ini dilakukan sebagai berikut : Misalkan X berdistribusi Bn,p, maka PX=x merupakan ordinat pada absis
x. Tinggi ordinat sebagai nilai probabilitas dalam distribusi binomial, diambil sebagai panjang dan lebarnya diambil 1 unit. Jadi seolah-olah dibentuk persegi panjang
Universitas Sumatera Utara
berpusat pada x, dengan panjang setinggi nilai ordinat dan lebarnya adalah 1 unit panjang interval x – 0,5 sampai dengan x + 0,5, sehingga didapatkan probabilitas
yang asli probabilitas diskrit = ordinat sama dengan luas persegi panjang tersebut. Dengan memperhatikan proses pendekatan dari distribusi binomial ke
distribusi normal yang telah dibahas di atas, maka perhitungan pendekatan distribusi binomial oleh distribusi normal dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :
Jika X ~ Bn,p, maka untuk keperluan penghitungan PX=x dengan menggunakan distribusi normal adalah sebagai berikut:
PX = x = P x – 0,5 X x + 0,5 =
− +
− −
− npq
np x
npq np
X npq
np x
P 5
, 5
,
= −
+ −
− npq
np x
Z npq
np x
P 5
, 5
,
Dengan Z ~ N0,1
P X x = −
− ≥
npq np
x Z
P 5
,
P X x = −
+ ≤
npq np
x Z
P 5
,
P x
1
X x
2
= P x
1
– 0,5 X x
2
+ 0,5
= −
+ −
− −
npq np
x npq
np X
npq np
x P
5 ,
5 ,
2 1
= −
+ −
− npq
np x
Z npq
np x
P 5
, 5
,
2 1
Universitas Sumatera Utara
3.5 Contoh Kasus
Dari data kelahiran bayi menurut jenis kelamin di RS. Bunda Zahara Medan, selama bulan Januari – Juni 2007 diperoleh data seperti tabel di bawah ini:
Tabel 3.1 Tabel Kelahiran Bayi Menurut Jenis Kelamin
Bulan Laki-laki
Perempuan Jumlah
Januari 34 orang
43 orang 77 orang
Februari 48 orang
25 orang 73 orang
Maret 39 orang
46 orang 85 orang
April 26 orang
42 orang 68 orang
Mei 47 orang
49 orang 96 orang
Juni 32 orang
37 orang 69 orang
Jumlah 226 orang
242 orang 468 orang
Dari data jenis kelamin bayi yang lahir diatas, dapat di peroleh hasil sebagai berikut : Banyak bayi lahir
= 468 orang, yang terdiri dari : Jenis kelamin laki-laki
= 226 orang Jenis kelamin perempuan
= 242 orang Dari data sampel ini dapat dihitung misalnya :
a. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki 0,5
b. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki 0,5
c. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5
d. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5
Penyelesaian : Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya bayi laki-laki yang
lahir. n = 468 orang,
p = peluang kelahiran bayi laki-laki = 468
226 = 0,4829,
q = 1-0,4829 = 0,5171 npq
= σ
= 10,8103
Universitas Sumatera Utara
a. Probabilitas kelahiran bayi laki-laki = 0,5 berarti :
X = 0,5 . 468 = 234, Sehingga : Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki 0,5 adalah:
P X 234 = 5
, npq
np x
Z P
− −
= 8103
, 10
226 5
, 234
− −
Z P
= P Z 0,69 = 0,5 - 0,2549
= 0,2451 Jadi probabilitas banyaknya bayi laki-laki lebih dari 234 orang adalah 0,2451.
Gambar 3.1 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki 0,5
b. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki 0,5
P X 234 = 5
, npq
np x
Z P
− +
= 8103
, 10
226 5
, 234
− +
Z P
= P Z 0,78 = 0,5 + 0,2823
= 0,7823 Jadi, probabilitas banyaknya bayi laki-laki kurang dari 234 adalah 0,7823.
-4 -2
2 4
.0 .1
.2 .3
.4
x d
n o
rm x
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.2 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki 0,5
c. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5
P X = 234 = −
+ −
− npq
np x
Z npq
np x
P 5
, 5
,
= −
+ −
− 8103
, 10
226 5
, 234
8103 ,
10 226
5 ,
234 Z
P = P 0,69 Z 0,78
= 0,2823 – 0,2549 = 0,0274
Jadi probabilitas banyaknya bayi laki-laki sama dengan 234 adalah 0,0274
Gambar 3.3 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki = 0,5
-4 -2
2 4
.0 .1
.2 .3
.4
x d
n o
rm x
-4 -2
2 4
.0 .1
.2 .3
.4
x d
n o
rm x
Universitas Sumatera Utara
d. Probabilitas kelahiran bayi laki-laki = 0,4 berarti :
X = 0,4 . 468 = 187, sehingga : Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5 adalah :
P 187 X 234 = −
+ −
− npq
np x
Z npq
np x
P 5
, 5
,
= −
+ −
− 8103
, 10
226 5
, 234
8103 ,
10 226
5 ,
187 Z
P = P -3,65 Z 0,69
= 0,4999 + 0,2549 = 0,7548
Jadi brobabilitas banyaknya bayi laki-laki antara 187 dan 234 adalah 0,7548.
Gambar 3.4 Kurva Kelahiran Bayi Laki-Laki antara 0,4 dan 0,5
3.6 Simpangan Akibat Pendekatan
