3.3 Teorema-Teorema Pendukung
Dalam proses untuk mendekatkan distribusi binomial dengan menggunakan distribusi normal, maka diperlukan teorema-teorema pendukung yang terkait.
3.3.1 Teorema Limit Pusat Central Limit Theorem
Teorema limit pusat menyatakan bahwa nilai tengah suatu sampel yang terdiri dari n buah nilai variabel random yang menyebar secara tidak normal, akan tetapi menyebar
secara identik dengan perkataan lain x
1
, x
2
, ..., x
n
memiliki fungsi kepadatan yang sama serta bebas terhadap sesamanya, penyebarannya akan mendekati sebaran
normal dengan pertambahan besarnya nilai n, jadi juga dengan bertambahnya ukuran sampel.
Jika x
1
, x
2
, ..., x
n
adalah n variabel random independent dengan distribusi yang identik dan memiliki mean
µ dan varians
2
σ . Jumlahnya dinyatakan sebagai berikut: X = x
1
+ x
2
+ ... + x
n
Karena mean dari jumlah adalah jumlah semua mean dan varian dari jumlah adalah jumlah semua varian, untuk variabel random independent, maka :
E X = n µ
Var X = n
2
σ Untuk setiap variabel random, mengurangi mean dan membaginya dengan
standart deviasi akan menghasilkan variabel random dengan mean 0 dan varian 1. maka variabel random :
X Var
X E
X Z
− =
=
2
σ µ
n n
X − Kemudian dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan n, maka :
n X
Z σ
µ −
=
Universitas Sumatera Utara
Dengan : n
X n
x x
x X
n
= +
+ +
= ...
2 1
adalah nilai rata-rata X
i
.
Central Limit Theorem, jika x
1
, x
2
, ..., x
n
adalah n variabel random independent dengan distribusi yang identik, dengan mean
µ dan varian
2
σ . Dilambangkan dengan X dan X adalah jumlah dari rata-rata dari variabel random ini.
Sejalan dengan bertambahnya n, distribusi : Z =
2
σ µ
n n
X − =
n X
σ µ
− cenderung mendekati normal standard.
Dengan bantuan Central Limit Theorem ini, dalam prakteknya untuk masalah jumlah dan rata-rata variabel random, distribusi normal akan memberikan perkiraan
yang cukup tepat mengenai distribusi yang sebenarnya. Apapun distribusi dari sekelompok variabel random, selama variannya bersifat
finit, jumlah atau rata-rata dari sejumlah besar variabel tersebut akan berupa variabel random dengan distribusi mendekati normal. Namun rata-rata variabel random dengan
distribusi seragam yang independent dalam jumlah cukup besar, akan memiliki distribusi mendekati normal pula.
Bila nilai n makin besar, maka akan mendekati normal standard. Bentuk fungsi densitas probabilitas untuk n variabel random independent dari distribusi Chi-squere
dengan derajat kebebasan 1. Validitas Central Limit Theorem tidak terbatas hanya untuk jumlah variabel random kontinu, juga bisa berlaku untuk variabel random
diskrit.
3.3.2 Teorema De Moivre-Laplace
Kategori