= dx
e
x b
a
2
2 1
2
2 1
σ µ
πσ
− −
Gambar 2.7 Luas Derah Pa x b = Luas Daerah Diarsir
2.6.1 Nilai Harapan Variabel Acak Normal
E [X]
=
∞ ∞
−
dx x
xf
=
dx e
x
x
x
2
2 1
2 1
σ µ
π σ
− −
∞ ∞
−
=
dx e
x
x
x
2
2 1
2 1
σ µ
π σ
− −
∞ ∞
−
σ µ
x
x z
− =
;
x z
x
= +
µ σ
;
dx dz
σ 1
=
;
dz dx
σ =
=
dz e
z
z x
σ µ
σ π
σ
2
2 1
2 1
− ∞
∞ −
+
=
dz e
z
z x
2
2 1
2 1
− ∞
∞ −
+ µ
σ π
=
dz e
z
z
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π σ
+
dz e
z x
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π µ
-4 -2
2 4
.0 .1
.2 .3
.4
x d
n o
rm x
Universitas Sumatera Utara
Untuk dz
e z
z
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π σ
=
2
2 1
2 1
2 2
dz ze
dz ze
z z
∞ −
∞ −
−
+ π
σ
2
2 1
z y =
;
zdz dy =
;
z dy
dz =
=
2 dy
e dy
e
y y
∞ −
∞ −
−
+ π
σ
untuk dz
ze
z ∞
− 2
1
2
=
z dy
ze
o y
∞ −
=
dy e
y ∞
−
=
[ ]
∞ −
y
e
dimana lim
=
− ∞
→ y
y
e ; maka
=
∞ −
dy e
y
akibatnya dz
e z
z
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π σ
=
2 +
π σ
=
Untuk dz
e
z x
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π µ
=
2
2 1
2 1
2 2
dz e
dz e
z z
x ∞
− ∞
− −
+ π
µ
y z
z y
2 2
1
2
= →
=
z dy
dz zdz
dy =
→ =
=
2 z
dy e
z dy
e
y y
x ∞
− ∞
− −
+ π
µ
=
2 1
2 1
2
2 1
2 1
dy e
y dy
e y
y y
x ∞
− −
− ∞
− −
+ π
µ
=
2 2
2 2
2 π
π π
µ +
x
=
x
µ Sehingga :
E [X]
=
dz e
z
z
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π σ
+
dz e
z x
2
2 1
2
− ∞
∞ −
π µ
E [X]
=
x
µ +
=
x
µ
Universitas Sumatera Utara
2.6.2 Variansi Variabel Acak Normal
Var X
=
E [X
2
] - E [X]
2
E [x
2
]
=
dx e
x
x
x
2
2 1
2
2 1
σ µ
π σ
− −
∞ ∞
−
=
dx e
x
x
x
2
2 1
2
2 1
σ µ
π σ
− −
∞ ∞
− x
x
z x
z µ
σ σ
µ +
→ −
= dz
dx dx
dz σ
σ =
→ =
1
=
dz e
z
z x
σ µ
σ π
σ
2
2 1
2
2 1
− ∞
∞ −
+
=
dz e
z z
z x
x
2
2 1
2 2
2 2
1
− ∞
∞ −
+ +
µ µ
σ σ
π
=
dz e
z
z
2
2 1
2
2 1
− ∞
∞ −
σ π
+
dz e
z
z x
2
2 1
2 2
1
− ∞
∞ −
µ σ
π
+
dz e
z x
2
2 1
2
2 1
− ∞
∞ −
µ π
=
dz e
z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
+
dz e
z
z x
2
2 1
2 2
− ∞
∞ −
π σµ
+
dz e
z x
2
2 1
2
2
− ∞
∞ −
π µ
=
dz e
z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
+ +
π π
µ 2
2
2 x
=
dz e
z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
+
2 x
µ
Untuk dz
e z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
=
2
2 2
2 1
2 2
1 2
2
dz e
z dz
e z
z z
− ∞
− ∞
−
+ π
σ
y z
z y
2 2
1
2
= →
=
y dy
z dy
dz zdz
dy 2
= =
→ =
Universitas Sumatera Utara
dz e
z
z
2
2 1
2 2
2
− ∞
∞ −
π σ
=
2 2
2 2
2
2 ∞
− ∞
− −
+ y
dy ye
y dy
ye
y y
π σ
=
2 2
2 2
2
2 1
2 1
2
dy e
y dy
e y
y y
− ∞
− ∞
−
+ π
σ
=
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
2
2
Γ +
Γ π
σ
=
2 2
2 2
2
2
π π
π σ
+
=
2
σ
Sehingga : E [X
2
]
=
2 2
X
µ σ +
Maka : Var X
=
E [X
2
] - E [X]
2
=
2 2
X
µ σ +
-
2 x
µ
=
2
σ
2.6.3 Distribusi Normal Standard
Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata- rata dan simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari
variabel random kontinu dapat di permudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal standard.
Distribusi normal standard adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata µ = 0 dan simpangan baku
σ = 1. Bentuk fungsinya adalah :
2
2 1
2 1
z
e Z
f
−
= π
Universitas Sumatera Utara
Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standard di gunakan nilai Z standard units. Bentuk rumusnya adalah:
σ µ
− =
X Z
Dengan: Z = Skor Z atau nilai normal baku
X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran µ = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi
σ = Standart deviasi suatu distribusi Nilai Z standard units adalah angka atau indeks yang menyatakan
penyimpangan suatu nilai variabel random X dari rata-rata µ dihitung dalam
satuan simpangan baku σ .
2.6.4 Sifat-Sifat Normal Standard
