commit to user pembagi. Pembagian dapat didefinisikan dalam bentuk perkalian, yaitu kita
pandang ab sebagai suatu bilangan x yang setelah dikalikan bilangan b sama dengan a, atau bx = a.
Dari pengertian tersebut dapat disimpulkan bahwa operasi hitung adalah cara-cara yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mengenai
bilangan dan hubungannya. Operasi hitung yang dimaksud dalam penelitian ini adalah operasi hitung penjumlahan dan pengurangan.
Dari teori di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa kemampuan operasi hitung adalah kesanggupan seseorang untuk menyelesaikan masalah
mengenai bilangan dan hubungannya. Dalam penelitian ini operasi hitung yang dimaksud adalah penjumlahan dan pengurangan.
b. Hakikat Bilangan Bulat dalam Pembelajaran Matematika
1 Pengertian Bilangan Bulat Menurut Goenawan Roebyanto dan Sri Harmini 2009:4 bilangan
bulat negatif, nol, dan bilangan asli disebut bilangan bulat integers. Barisan bilangan bulat dapat diperlihatkan sebagai berikut : . . . -3,-2,-
1,0,1,2,3, . . . Menurut Karim, dkk 1996: 179 bilangan bulat diciptakan untuk menjawab masalah seperti 3 + n = 0, 7 + n = 5 karena tidak ada
bilangan cacah yang memenuhi sehingga pernyataan tersebut menjadi benar. Hal ini menunjukkan pengetahuan tentang bilangan cacah saja belum
cukup untuk memecahkan masalah. Karena itu manusia membutuhkan pengetahuan yang lebih untuk dapat menyelesaikan permasalahan di atas
yaitu dengan bilangan bulat. Menurut Karim, dkk 1997: 180 gabungan semua bilangan cacah dan himpunan semua bilangan bulat negatif, yaitu
himpunan {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} disebut himpunan bilangan bulat. Bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, … disebut bilangan cacah,
sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, … disebut bilangan asli. Jadi, bilangan cacah adalah gabungan dari bilangan nol dan bilangan asli.
Dari beberapa teori di atas dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan asli, dan lawan
8
commit to user bilangan asli.
2 Pengertian Matematika Matematika adalah ilmu tentang logika mengenal bentuk, susunan,
besaran, dan konsep-konsep yang saling berhubungan satu dengan yang lainnya. Matematika itu muncul karena pikiran-pikiran manusia yang
berhubungan dengan ide, proses, dan penalaran. Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang bilangan dan ruang yang bersifat abstrak
www.duniaguru.com diakses pada 30 Desember 2010. Untuk menunjang
kelancaran pembelajaran disamping pemilihan metode yang tepat juga perlu digunakan suatu pembelajaran yang sangat berperan dalam
membimbing abstraksi siswa. Pengertian Matematika dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia oleh
tim penyusun kamus Pusat Pembinaan dan Perkembangan Bahasa disebutkan bahwa Matematika adalah ilmu tentang bilangan-bilangan,
hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam
penyelesaian masalah bilangan. Berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan
Pendidikan tahun 2007 menyatakan bahwa Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir manusia. Menurut R.Soedjadi 2000: 11 menyatakan beberapa definisi atau
pengertian tentang matematika : a Matematika adalah ilmu pengetahuan eksak dan terorganisasi secara
sistematik. b Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi.
c Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logis dan berhubungan dengan bilangan.
d Matematika adalah pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.
e Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logis. f Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.
Menurut Asep Jihad 2008: 153 matematika memiliki dua objek
9
commit to user garapan yakni objek langsung yang terdiri dari : fakta, konsep, prinsip,
dan prosedur operasi. Sementara objek tidak langsung adalah implikasi dari proses pembelajaran matematika, yakni kebiasaan bekerja baik,
sikap kemampuan mengalihgunakan cara kerja memanipulasi dalam arti positif, serta membangun konsep mental akhlak yang baik seperti
kejujuran.
Sedangkan menurut Asep Jihad 2008: 152 mengidentifikasi perbedaan matematika dengan pelajaran lain dalam hal :
a Objek pembicaraannya abstrak, sekalipun dalam pengajaran di sekolah anak diajarkan benda konkrit, siswa tetap didorong untuk abstraksi.
b Pembahasan mengandalkan tata nalar, artinya info awal berupa pengertian dibuat seefisien mungkin, pengertian lain harus dijelaskan
kebenarannya dengan tata nalar yang logis c Pengertian atau konsep atau pernyataan sangat jelas berjenjang
sehingga terjaga konsistensinya. d Melibatkan perhitungan operasi.
e Dapat dipakai dalam ilmu yang lain serta dalam kehidupan sehari-hari. Menurut R.Soedjadi 2000: 13 ciri-ciri khusus atau karakteristik yang
dapat merangkum pengertian matematika secara umum adalah sebagai berikut :
a Memiliki objek kajian abstrak b
Bertumpu pada kesepakatan c
Berpola piker deduktif d
Memiliki symbol yang kosong dari arti e
Memperhatikan semesta pembicaraan f
Konsisten dalam sistemnya. Dari beberapa pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa matematika
adalah salah satu ilmu dasar yang mempelajari tentang bilangan dan ruang yang bersifat abstrak, bahasa simbolis, ciri utamanya adalah penggunaan
cara bernalar deduktif yang memudahkan manusia untuk berpikir sehingga dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah dalam kehidupan
sehari-hari.
10
commit to user 3 Karakteristik Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar
Pembelajaran adalah upaya untuk menciptakan iklim dan pelayanan terhadap kemampuan, potensi, minat, bakat, dan kebutuhan peserta didik
yang beragam agar terjadi interaksi optimal antara guru dengan siswa serta antara siswa dengan siswa www.dunia guru.com diakses tanggal 30
Desember 2010. Menurut Heruman 2007: 1 dalam pembelajaran matematika yang abstrak, siswa memerlukan alat bantu berupa media, dan
alat peraga yang dapat memperjelas apa yang disampaikan oleh guru sehingga lebih cepat dipahami dan dimengerti oleh siswa.
Beberapa karakteristik pembelajaran matematika di Sekolah Dasar antara lain sebagai berikut :
a Pembelajaran matematika dilakukan berjenjang. Pembelajaran dimulai dari konsep sederhana ke konsep yang lebih
sukar. Berawal dari hal-hal yang konkrit atau nyata ke semi konkrit dan berakhir pada abstrak.
b Pembelajaran matematika mengikuti metode spiral. Konsep baru diperkenalkan dengan mengaitkannya pada konsep yang
telah dipahami siswa. Hal ini merupakan prinsip belajar bermakna atau belajar dengan pemahaman. Konsep baru merupakan perluasan dan
pendalaman konsep sebelumnya. c Pembelajaran matematika menekankan penggunaan pola deduktif.
Pembelajaran deduktif adalah pembelajaran dalam memahami konsep melalui pemahaman definisi umum kemudian ke contoh-contoh.
d Pembelajaran matematika menganut kebenaran konsistensi Pembelajaran ini adalah pernyataan dianggap benar apabila didasarkan
atas pernyataan sebelumnya yang sudah dianggap benar. Dari beberapa teori di atas dapat disimpulkan bahwa
pembelajaran matematika di sekolah dasar berawal dari hal-hal yang bersifat konkrit nyata menuju hal yang bersifat abstrak.
11
commit to user 4 Tujuan Pembelajaran Matematika
Pembelajaran matematika adalah melatih cara berpikir secara sistematis, logis, kritis, dan konsisten. Mata pelajaran matematika memiliki
tujuan sebagai berikut : a Tujuan Umum
1 Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antara konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma secara luwes,
akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah. 2 Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi
matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.
3 Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan
menafsirkan solusi yang diperoleh. 4 Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau
media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah. 5 Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan,
yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam
pemecahan masalah. b Tujuan Khusus
1 Menumbuhkan kemampuan siswa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kegiatan matematika.
2 Mengembangkan kemampuan dasar matematika sebagai bekal belajar lebih lanjut di SMP.
3 Membentuk sikap logis, kritis, cermat, kreatif, dan disiplin. 5 Tinjauan operasi hitung bilangan bulat dalam penelitian
Operasi hitung bilangan bulat yang dimaksud dalam penelitian ini adalah :
a Operasi penjumlahan bilangan bulat. Cara operasi hitung bilangan bulat adalah sebagai berikut :
12
commit to user 1 Penjumlahan antara dua bilangan bulat positif hasilnya adalah
bilangan bulat positif juga. Contoh :
7+3 = 10 2 Penjumlahan antara dua bilangan bulat negatif hasilnya adalah
bilangan bulat negatif juga. Contoh :
-4 + -5 = -9 3 Penjumlahan bilangan bulat positif dengan negatif atau sebaliknya
hasilnya sbb: Jika angka bilangan bulat positif lebih kecil dari bilangan bulat
negatif maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif. Contoh :
-4 + 2 = -2 Jika angka bilangan bulat positif lebih besar dari bilangan bulat
negatif maka hasilnya adalah bilangan bulat positif Contoh :
7 + -4 = 3 Sifat-sifat operasi hitung penjumlahan :
1 Sifat Komutatif Pertukaran Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3
kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng
yang dimiliki Andi dan Budi? 5 + 3 = 8
3 + 5 = 8 Jadi 5 + 3 = 3 + 5
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif.
Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.
13
commit to user a + b = b + a, dengan a dan b sembarang bilangan bulat.
2 Sifat Asosiatif Pengelompokan Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I
berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng.
Kotak I berisi 3 kelereng merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih.
Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?
3 + 2 + 4 = 5 + 4 = 9 3 + 2 + 4 = 3 + 6 = 9
Jadi 3 + 2 + 4 = 3 + 2 + 4 Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat
asosiatif pada penjumlahan. Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis:
a + b + c = a + b + c, dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.
b Operasi pengurangan bilangan bulat a
Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif maka:
Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih kecil maka hasilnya dalah bilangan bulat positif.
Contoh : 9 – 5 = 4
Bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif yang lebih besar maka hasilnya adalah bilangan bulat negative.
Contoh : 3 – 6 = -3
b Apabila terjadi pengurangan bilangan bulat negatif dengan
bilangan bulat negatif maka:
14
commit to user Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang
lebih kecil maka hasilnya adalah bilangan bulat positif. Contoh :
-6 - -8 = -6 + 8 = 2 ingat - 8 -6 Bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan bulat negatif yang
lebih besar maka hasilnya adalah bilangan bulat negatif. Contoh :
-5 – -3 = -5 +3 = -2 -3 -5 Bilangan bulat negatif yang dikurangi sama dengan bilangan bulat
negatif yang mengurangi maka hasilnya adalah 0 nol. Contoh :
-4 - -4 = -4 + 4 = 0 c
Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif hasilnya selalu bilangan bulat positif.
contoh : 8 – -4 = 8 + 4 = 12
d Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat
positif hasilnya selalu bilangan bulat negatif. contoh :
-8 – 4 = - 12
2. Pengertian Model Pembelajaran Kuantum
