Formulasi Model Matematika SIRS

52 c. Jika individu kehilangan kekebalan dari individu sembuh ke individu rentan per satuan waktu sebesar , maka akan berkurang sebesar Δ . Model matematis dari perubahan banyaknya individu sembuh terhadap waktu t adalah sebagai berikut: + ∆ = + � Δ − Δ − Δ + ∆ − = � Δ − Δ − Δ + ∆ − = � − − Δ + ∆ − Δ = � − − lim Δ → + ∆ − Δ = lim Δ → � − − = � − − = � − + R. . 4. Perubahan banyaknya individu unggas rentan Susceptible terhadap waktu t. Misalkan menyatakan banyaknya populasi unggas rentan pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi unggas rentan yang dipengaruhi oleh: a. Jika laju kelahiran individu unggas sebesar maka akan bertambah sebesar Δ . b. Jika laju kematian alami individu unggas rentan sebesar maka akan berkurang sebesar Δ . 53 c. Jika laju perpindahan penyakit antara individu unggas rentan dan terinfeksi sebesar , maka akan berkurang sebesar − � � Δ . d. Jika laju individu rentan yang tervaksinasi per satuan waktu sebesar � , maka akan berkurang sebesar � Δ . Model matematis dari perubahan banyaknya individu unggas rentan terhadap waktu t adalah sebagai berikut: + Δ = + Δ − Δ − − � Δ − � Δ + Δ − = − − − � − � Δ + Δ − Δ = − − − � − � lim Δ → + Δ − Δ = lim Δ → − − − � − � = − − − � − � = − + − � − � . . 5. Perubahan banyaknya individu unggas terinfeksi Infected terhadap waktu t. Misalkan menyatakan banyaknya populasi unggas terinfeksi pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi unggas terinfeksi yang dipengaruhi oleh: a. Jika laju kematian alami individu unggas terinfeksi sebesar maka akan berkurang sebesar Δ . 54 b. Jika laju perpindahan penyakit antara individu unggas rentan dan terinfeksi sebesar , maka akan bertambah sebesar − � � Δ . Model matematis dari perubahan banyaknya individu unggas terinfeksi terhadap waktu t adalah sebagai berikut: + Δ = − Δ + − � Δ + Δ − = − � − Δ + Δ − Δ = − � − lim Δ → + Δ − Δ = lim Δ → − � − = − � − . . 6. Perubahan banyaknya individu unggas tervaksinasi Vactinated terhadap waktu t. Misalkan � menyatakan banyaknya populasi unggas tervaksinasi pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi unggas tervaksinasi yang dipengaruhi oleh: a. Jika laju kematian alami individu unggas terinfeksi sebesar maka � akan berkurang sebesar � Δ . b. Jika laju individu rentan yang tervaksinasi per satuan waktu sebesar � , maka akan bertambah sebesar � Δ . Model matematis dari perubahan banyaknya individu unggas tervaksiansi terhadap waktu t adalah sebagai berikut: 55 � + Δ = � − � Δ + � Δ � + Δ − � = � − � Δ � + Δ − � Δ = � − � lim Δ → � + Δ − � Δ = lim Δ → � − � � = � − � . . Dari Persamaan 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 dan 3.6 didapatkan model matematika untuk penyebaran flu burung dengan memperhatikan pengaruh vaksinasi unggas sebagai berikut: = − + + , = − + + � , = � − + , . = − + − � − � , = − � − , � = � − � . Populasi total dari Sistem 3.7 adalah = + + untuk manusia sedangkan untuk unggas populasi total adalah = + + � . 56

D. Transformasi Model

Transformasi model digunakan untuk mempermudah dalam mencari titik ekuilibrium dan analisis yang akan dilakukan, maka sistem Persamaan 3.7 perlu dilakukan penyederhanaan dengan cara penskalaan yaitu dengan mengubah sistem Persamaan 3.7 menjadi bentuk proporsi antara banyaknya individu dalam suatu subpopulasi dengan banyaknya populasi total. Didefinisikan variabel baru yaitu proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelas sebagai berikut: dari Sistem 3.7 untuk total populasi manusia diperoleh, = + + = − + + + − + + � + � − + = − − + + − − − � + � − − = − − − − = − − − − = − + + − Karena = + + sehingga diperoleh, = − − . � � saat � dan � � saat � maka diambil batas maksimal yaitu � sehingga diperoleh � , selanjutnya sistem dapat di skala untuk masing- masing sub populasi manusia pada sistem dan dapat dinyatakan sebagai berikut: 57 = , � = , = . Selanjutnya untuk total populasi unggas diperoleh, = + + � = − + − � − � + − � − + � − � = − − − � − � + − � − + � − � = − − − � = − + + � Karena = + + � sehingga diperoleh, = − = = . Dari Sistem 3.7 dan � � = artinya = � untuk suatu k bilangan real, sehingga bagian populasi unggas pada sistem dapat di skala dengan mengambil total populasi unggas yaitu, = , � = , � = � . 58 Jadi untuk menyederhanakan dan memudahkan proses analisis, sistem dapat dinyatakan sebagai berikut: = , � = , = , � = , = , � = , � = � . . Dari Persamaan 3.8, diperoleh + � + = + + = + + = = �, + � + = �, � . dan + � + � = + + � = + + � = = , + � + � = , = − � + � . Berdasarkan Persamaan 3.8 dapat dibentuk transformasi dari Sistem 3.7 untuk masing-masing kelas sebagai berikut: Transformasi untuk kelas Susceptible pada manusia sebagai berikut, = [ ] = = − + + 59 = − + + = − + + = − + � + . . Transformasi untuk kelas Infected pada manusia sebagai berikut, � = [ ] = = − + + � = − + + � � = � − + + � � = � − + + � � . . Transformasi untuk kelas Recovered pada manusia sebagai berikut, = [ ] = 60 = � − + = �� − + = �� − + . . Transformasi untuk kelas Susceptible pada unggas sebagai berikut, = [ ] = = − + − � − � = − + − � � − � = − + − � � − � . . Transformasi untuk kelas Infected pada unggas sebagai berikut, � = [ ] = = − � − = − � � − � = − � � − � = − � � − � + � − � . . 61 Transformasi sitem untuk kelas Vactinated sebagai berikut, � = [� ] = � = � − � = � − � = � − � . . Dari Persamaan 3.9a, 3.9b, 3.9c, 3.9d, 3.9e dan 3.9f sehingga didapatkan hasil transformasi dari Sistem 3.7 adalah sebagai berikut: = − + � + , � = � − + + � � , . = �� − + , = − + − � � − � , � = − � � − � + � − � , � = � − � . Sistem 3.9 merupakan sistem persamaan diferensial non linear yang lebih sederhana dari Sistem 3.7, sistem tersebut merepresentasikan penyebaran flu burung dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas.