77
⟺ − − � − + + � +
+ + +
=
⟺ − �
+ + � +
+ + +
= .
Jadi diperoleh polinomial berikut: =
− � +
+ � + + +
+ = .
Dari Persamaan 3.26 diperoleh nilai eigen sebagai berikut: = − ,
= − , = − +
, = − � +
, = � =
− � −
� � +
−
= − �
− − �
� � +
−
= − �
− − �
� � +
+
= − �
− − �
= − �
−
= − �
− .
dengan =
−� −�
� �+�
+�
.
78
Dapat disimpulkan bahwa ,
,
dan bernilai negatif atau , ,
, dan sedangkan untuk
atau bernilai negatif saat , dan saat
. Jadi titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal saat
dan titik ekuilibrium tidak stabil saat .
2. Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik
Titik ekuilibrium endemik dari Sistem 3.9 yaitu = ̅, �̅, ̅, �̅ , �̅ .
Selanjutnya akan dilakukan analisis kestabilan disekitar titik ekuilibrium
sebagai berikut:
Sistem 3.9 didefinisikian menjadi: ̅, �̅, ̅, �̅ , �̅ = −
+ � +
, ̅, �̅, ̅, �̅ , �̅ = � −
+ + � � , . ̅, �̅, ̅, �̅ , �̅ = �� −
+ ,
̅, �̅, ̅, �̅ , �̅ = − �
� − � + � − � , ̅, �̅, ̅, �̅ , �̅ = � − � .
Matriks Jacobian dari Sistem 3.27 adalah
=
[
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ �
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ �
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ �
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ �
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� �
̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ �
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅ � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� � ̅,�̅, ̅,�̅ ,�̅
� � ̅ ,�̅, ̅,�̅ ,�̅
�
]
79
= [
− + � −
� − + + �
� − +
� − �
− − � �
− � + ]
.
Dengan � =
− � − � − � − .
Substitusi titik ekuilibrium endemik ke Persamaan 3.28 dan didefinisikan untuk
= + + � sehingga diperoleh Matriks Jacobian di titik
ekuilibrium endemik adalah sebagai berikut:
= [
− − �̅ − ̅
�̅ −
̅ �
− + �
− � − − �
�̅ − � +
] .
dengan � =
− � − �̅ − �̅ − .
Nilai eigen dari matriks dapat dicari dengan menentukan
det − = dengan adalah nilai eigen dan I adalah matriks identitas,
sehingga didapat, | −
| = ⟺
| |
[ ]
− [
− − �̅ − ̅
�̅ −
̅ �
− + �
− � − − �
�̅ − � +
] |
| =
