35
−√ −
−√ |
→
−√ −√
− |
− √
−√ −
| + √
− √
|
Selanjutnya diperoleh
[ −
√ ] [ ] = [ ]
− √
=
Misal = maka =
√
sehingga,
� = [ ] = [ √
] .
Diambil = maka didapatkan vektor eigen yang bersesuaian
dengan
.
= √ adalah
� = [
√
].
Vektor eigen yang bersesuaian dengan
.
= −√
36
[ √
− √
] [ ] = [ ]
Maka, √
− √
| →
√ √
− |
√ √
− |
− √
√ |
Selanjutnya diperoleh, [
√ ] [ ] = [ ]
+ √
=
Misal = maka = −
√
sehingga
� = [ ] = [− √
]
Diambil = maka didapatkan vektor eigen yang bersesuaian
dengan
.
= √ adalah
� = [−
√
].
37
Jadi terbukti banyaknya nilai eigen sama dengan banyaknya vektor eigen.
3. Akan dibuktikan bahwa titik ekuilibrium ̅ = adalah tidak stabil
jika dan hanya jika untuk beberapa = , , , … , atau
terdapat nilai eigen
.
pada sumbu imajiner dengan = yang
multiplisitas aljabar lebih besar daripada multiplisitas geometri untuk nilai eigen.
Bukti:
Jika titik ekuilibrium ̅ = tidak stabil maka
, ∀ = , , , … , . Titik ekuilibrium tidak stabil apabila ⟶ ∞,
, menuju
∞. Hal tersebut terjadi apabila .
Jika , ∀ = , , , … , maka titik ekuilibrium ̅ = tidak
stabil. Apabila ,
, yang selalu memuat
�
akan selalu menuju
∞. Oleh karena itu, titik ekuilibrium ̅ = tidak stabil.
Disimpulkan bahwa untuk melihat kestabilan Sistem 2.22 digunakan linearisasi agar Sistem 2.22 menjadi sistem linear
̇ = � dimana � =
̅ adalah Matriks Jacobian. Kestabilan yang dimaksud adalah kestabilan lokal. Titik ekuilibrium
̅ dikatakan stabil asimtotik lokal jika semua nilai eigen matriks Jacobian mempunyai bilangan real negatif.
I. Bilangan Reproduksi Dasar Basic Reproduction Number
38
Bilangan reproduksi dasar merupakan bilangan yang menunjukan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh
satu individu terinfeksi. Menurut Driessche dan Watmough 2001 bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan rata-rata banyaknya
individu yang dapat terinfeksi akibat tertular individu terinfeksi yang berlangsung dalam populasi Susceptible. Bilangan reproduksi dasar
dinotasikan dengan . Jika
maka penyakit tidak menyerang populasi, sedangkan jika
maka penyakit akan menyebar. Model kompartemen untuk penularan penyakit, suatu kompartemen
kelas disebut kompartemen penyakit jika individu-individu didalamnya terinfeksi penyakit. Misalkan terdapat n kelas terinfeksi dan m kelas tidak
terinfeksi. Dimisalkan menyatakan subpopulasi kelas terinfeksi dan menyatakan subpopulasi kelas tidak terinfeksi dengan
dan untuk
, ℕ. Model kompartemen kelas dapat dituliskan dalam bentuk berikut,
̇ = � , − � , , = , , , … ,
̇ = � , , = , , , … , .
dengan � merupakan matriks dari laju individu baru terinfeksi penyakit yang
menambah kelas terinfeksi dan � merupakan matriks laju perkembangan
penyakit, kematian dan kesembuhan yang mengurangi kelas terinfeksi. Perhitungan bilangan reproduksi dasar
berdasarkan linearisasi dari Sistem 2.28 pada titik ekuilibrium bebas penyakit. Persamaan kompartemen
39
kelas terinfeksi yang telah dilinearisasi pada titik ekuilibrium bebas penyakit adalah sebagai berikut,
̇ = − �
dengan dan � matriks berukuran n x n,
=
�� �
, dan
� =
�� �
,
dengan ,
merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit. Selanjutnya didefinisikan matriks sebagai berikut:
= �
−
. disebut sebagai Next Generation Matriks. Bilangan reproduksi dasar
dari model kompartemen adalah = � �
−
yaitu nilai eigen terbesar dari matriks Driessche dan Watmough, 2001.
Contoh 2.11
Diberikan Sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
= − � − = � −
− . =
− dengan S menyatakan populasi individu sehat dan rentan terhadap penyakit
pada saat t, I menyatakan populasi terinfeksi pada saat t dan R menyatakan
40
populasi individu sembuh pada saat t, Sistem 2.30 mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit
= , , .
Pada Sistem 2.30 kelas terinfeksi adalah I. Next Generation Matriks dapat diperoleh dari kelas I sehingga kelas I dapat dituliskan sebagai berikut:
= � , , − �
, ,
dengan � = �
dan � =
+ . Hasil linearisasi dari � dan � masing-
masing adalah
= �
= �
= �
� = �
= +
= + .
Sehingga diperoleh Next Generation Matriks berikut:
= �
−
= [� ] [ + ]. .
Selanjuntya, substitusikan titik ekuilibrium bebas penyakit = , , ke
Persamaan 2.32 maka diperoleh
= �
+ . Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari matriks K.
Jadi, nilai bilangan reproduksi dasar dari Sistem 2.32 adalah
= �
+ .
41
J. Kriteria Routh Hurwitz
Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem 2.21 dapat dilihat berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobiannya. Permasalahan yang sering terjadi dalam
menentukan tipe kestabilan sistem menggunakan nilai eigen adalah ketika mencari akar-akar persamaan yang berorde tinggi. Oleh karena itu, diperlukan
suatu kriteria yang dapat menjamin akar-akar persamaan bernilai negatif atau ada akar persamaan yang bernilai positif. Tanda negatif ataupun positif
digunakan untuk menentukan kestabilan dari suatu titik ekuilibrium. Analisis kestabilan titik ekuilibrium dapat menggunakan kriteria Routh-Hurwitz
sebagai alternatif menentukan tanda bagian real dari nilai-nilai eigen. Diberikan suatu persamaan karakteristik dari matriks
� ,
� =
+
−
+ +
−
+ , . dengan
≠ , = , , , … , . Menurut Olsder 2004: 60, kriteria Routh-Hurwitz dipakai untuk mengecek
kestabilan secara langsung dengan mempertimbangkan nilai koefisien tanpa menghitung akar-akar dari Persamaan 2.33. Koefisien-koefisien dari
Persamaan 2.33 dapat disusun ke dalam sebuah tabel Routh-Hurwitz berikut ini,
42
Tabel 2. 1 Tabel Routh-Hurwitz
… …
… …
dimana koefisien , , , didefinisikan sebagai
= −
= −
= −
= −
perhitungan pada tabel Routh-Hurwitz terus dilakukan sampai kolom pertama menghasilkan perhitungan sama dengan nol. Matriks
� dikatakan stabil
jika semua bagian real dari nilai eigen bernilai negatif. Dalam kriteria Routh- Hurwitz hal ini ditunjukkan dengan tidak adanya perubahan tanda pada kolom
pertama tabel Routh-Hurwitz, sehingga berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz suatu sistem persamaan diferensial dikatakan stabil jika semua elemen pada
kolom pertama tabel Routh-Hurwitz memiliki tanda sama semua positif atau semua negatif.
43
Menurut Olsder 2004: 61 akar-akar dari Polinomial 2.33 semuanya mempunyai bagian real bernilai negatif jika dan hanya jika Tabel 2.1 terdiri
dari n+1 baris dan semua elemen pada kolom pertama dari Tabel 2.1 mempunyai tanda sama semua elemen dari kolom pertama adlah bernilai
positif atau negatif.
44
BAB III PEMBAHASAN
A. Permasalahan Nyata Flu Burung Avian Influenza
Avian Influenza atau yang lebih dikenal dengan flu burung adalah suatu penyakit menular yang disebabkan oleh virus influenza tipe A. Gejala pada
manusia ditandai dengan demam, sakit kepala, nyeri otot dan sendi, sakit tenggorokan, batuk, dan kesulitan bernafas. Pada kasus Avian Influenza, gejala
dari penyakit akan muncul setelah masa inkubasi pada manusia berkisar antara 2- 4 hari. Masa inkubasi yaitu masa dimana virus sudah masuk ke dalam tubuh
sampai saat timbulnya gejala untuk yang pertama kali. Penyakit ini masih menjadi salah satu penyakit yang banyak memakan korban. Mengingat belum
ditemukannya vaksin pada manusia untuk penyakit ini, maka dibutuhkan suatu tindakan untuk menurunkan laju penyebaran virus flu burung Avian Influenza.
Salah satu cara untuk menurunkan laju penyebaran virus flu burung adalah dengan mengetahui pola penyebaran virus flu burung. Oleh karena itu, ilmu
matematika dapat dimanfaatkan untuk mengetahui pola penyebaran virus flu burung yaitu dengan menggunakan model SIRS
I V
0.
Pada skripsi ini, model yang akan digunakan adalah model Susceptible pada manusia
–Infected pada manusia – Recovered pada manusia – Susceptible pada unggas
– Infected pada unggas – Vactination pada unggas SIRS I
V dengan pertimbangan bahwa pemberian vaksin hanya untuk unggas. Vaksinasi
yang diberikan adalah vaksin in aktif yang mengandung suspensi virus dengan
45
homologi yang tinggi dengan virus penyebab wabah. Vaksin influenza in aktif hanya dapat melindungi sekitar 60-80 terhadap galur yang homolog. Dalam hal
ini vaksinasi dengan strain virus homolog telah terbukti menurunkan angka kematian pada unggas. Adanya vaksinasi pada unggas ini menjadi alasan
pembentukan model epidemi SIRS I
V . Model epidemi SIRS
I V
dalam penyebaran flu burung pada waktu t memiliki 6 kelas yaitu Susceptible S
menyatakan populasi manusia rentan terhadap penyakit flu burung, Infected I menyatakan populasi manusia yang terinfeksi penyakit flu burung, Recovered R
menyatakan populasi manusia yang sembuh dari penyakit flu burung, Susceptible S
menyatakan populasi unggas rentan terhadap penyakit flu burung, Infected I
menyatakan populasi unggas terinfeksi dan Vactinated V menyatakan
populasi unggas yang tervaksinasi.
B. Asumsi-Asumsi Model Matematika SIRS
I V
pada Penyebaran Flu Burung Avian Influenza dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada
Unggas
Pembahasan pada skripsi ini menerapkan beberapa asumsi. Asumsi digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan dan pemodelan. Adapun
asumsi-asumsi yang digunakan dalam pemodelan penyebaran flu burung Avian Influenza dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas
sebagai berikut: 1. Setiap manusia yang lahir diasumsikan masuk dalam populasi rentan.
2. Populasi manusia dianggap tidak konstan dan populasi unggas dianggap konstan.
46
3. Populasi manusia N terbagi atas populasi rentan S, populasi terinfeksi I dan populasi sembuh R.
4. Populasi unggas N terbagi atas populasi rentan S
, populasi terinfeksi I
, dan populasi yang tervaksinasi V .
5. Laju kematian alami pada manusia diasumsikan sama pada setiap kelas. 6. Laju kematian dan kelahiran alami pada unggas diasumsikan sama pada
setiap kelas. 7. Setiap unggas yang menetas masuk ke kelas S
0.
8. Virus flu burung menular melalui kontak langsung antara unggas rentan dengan unggas yang sakit flu burung dan kontak antara manusia sehat
dengan unggas yang terinfeksi flu burung. 9. Terjadi kematian karena infeksi flu burung pada populasi manusia
terinfeksi. 10. Tidak terjadi kematian karena infeksi flu burung pada populasi unggas.
11. Unggas yang terinfeksi flu burung tidak akan pernah sembuh mengingat umurnya yang pendek.
12. Manusia yang diasumsikan sembuh memungkinkan kembali menjadi manusia yang rentan terhadap penyakit.
