Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik

83 dari Persamaan 3.30 dapat dinyatakan menjadi polinomial sebagai berikut: ⟺ = + + + + + = . Dengan = , . = � + − � + + �̅ + + + = − � + + �̅ + + , . = + �̅ + + � + − � − � � + + − � �̅ � + + + + �̅ + + = + �̅ + + − � + − � − + � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + . = − + �̅ + + � � + + − � �̅ � + + + + �̅ + + � + − � + + + �̅ − �̅ � = + �̅ + + − � − + � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � . = � + − � + + �̅ − �̅ � − + + + �̅ + + � � + + − � �̅ � 84 = − � + �̅ + + �̅ − �̅ � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � − � + . = − + + �̅ − �̅ � � � + + − � �̅ � = + �̅ + + �̅ − �̅ � − � − � + . Nilai-nilai eigen yang lain merupakan akar-akar dari polinomial, = + + + + + yang akan ditentukan sebagai berikut: Persamaan . dan . dapat dinyatakan menjadi = − � + + �̅ + + + = − � + + �̅ + + dengan = + + �, Berdasarkan asumsi, parameter , , �, , , , �̅ dan � sehingga . Selanjutnya dibuktikan bahwa sebagai berikut: = + �̅ + + − � − + � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � 85 = + �̅ + + �̅ − � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � = + �̅ + + �̅ − � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − � dengan = + + �, maka − � = + Berdasarkan asumsi, parameter , , �, , , , �̅ dan � sehingga . Nilai eigen dari Persamaan . dapat dicari menggunakan tabel Routh-Hurwitz yang ditunjukan pada Tabel 3.2. Tabel 3.2. Tabel Routh-Hurwitz Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, pembuat nol dari Persamaan 3.31 akan bertanda negatif apabila pada kolom pertama Tabel 3.2 tidak ada perubahan tanda. Diketahui bahwa dan bernilai positif. Agar kolom pertama pada Tabel 3.2 tidak ada perubahan tanda memiliki tanda sama maka dan haruslah positif. 86 = − | | = − = − = − | | = − = − = − | | = − . Agar bernilai positif maka − karena Perhatikan bahwa, − = [{ − � + + �̅ + + }{ + �̅ + + − � + − � − + � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + }] − [ + �̅ + + − � − + � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � ] = { − � } + �̅ + + + − � − � − + � + − � + �̅ + + �̅ + + �̅ + + { + �̅ + + } − � + + �̅ + + − � − + � + + �̅ + + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − + �̅ + + − � − + � − + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � − + �̅ + + �̅ − �̅ � 87 = { − � } + �̅ + + + − � − � − + � + { + �̅ + + } − � + + �̅ + + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − + �̅ + + �̅ − �̅ � = { − � } + �̅ + + + − � − � − + � + { + �̅ + + } − � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + �̅ + �̅ + �̅ + + �̅ + + + �̅ + − + �̅ + + �̅ − �̅ � = { − � } + �̅ + + + − � − � − + � + { + �̅ + + } − � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + �̅ + �̅ + �̅ + + �̅ + + + �̅ + + �̅ � = [ + + + + + + + + { − � } + + ] + { + �̅ + + } − � + �̅ { − � } + { − � } + + + + + + + � + �̅ + + = [ + + + + + + + + { − � } + + ] + 88 { + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + } − � + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } { − � } + { − � } + + + + + + + � + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + . dengan = −� −� � � +� +� . Jelas − jika . Jadi dapat disimpulkan bahwa bernilai positif dengan − dan saat . Selanjutnya agar pada kolom pertama bernilai positif semua maka nilai harus bernilai positif, dan agar bernilai positif maka − karena . + = { + �̅ + + − � − + � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � }{ + �̅ + + − � + − � − + � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + } + [ + �̅ + + �̅ − �̅ � − � �̅ ] = { + �̅ + + − � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � }{ + �̅ + + − � + − 89 � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + } + [ + �̅ + + �̅ − �̅ � − � �̅ ] = { + �̅ + + − � } �̅ + + �̅ + + − � �̅ + + �̅ + + − � �̅ + �̅ + + �̅ + + �̅ + + + �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + + − � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � { + �̅ + + − � + − � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + } = { − � + + �̅ + + }{ − � + �̅ + + �̅ − �̅ � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � �̅ } = − � + �̅ + + �̅ − �̅ � + − � + �̅ + + �̅ + + �̅ + �̅ + + �̅ + + + �̅ + + �̅ − �̅ � − � + + �̅ + + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � �̅ + − = { + �̅ + + − � } �̅ + + �̅ + + − � �̅ + + �̅ + + 90 �̅ + + �̅ + + �̅ + + − � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � { − � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + } − { − � + �̅ + + �̅ − �̅ � } + − = { − � + + �̅ + + }[{ + �̅ + + − � } �̅ + + �̅ + + − � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + + − � + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � { − � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + } − { − � + �̅ + + �̅ − �̅ � } ] = { + �̅ + + − � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � }{ + �̅ + + − � �̅ + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + + �̅ + + �̅ − �̅ � } 91 = { + �̅ + + − � �̅ } + + �̅ + + − � �̅ + �̅ + + �̅ + + �̅ + + + �̅ + + − � �̅ + �̅ + + �̅ − �̅ � + { + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � } + + �̅ + + �̅ + + �̅ + − � + �̅ + + �̅ − �̅ � + { + �̅ + + �̅ − �̅ � } { + − } − = { + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + − � } { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } { − � + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + } + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + − � { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } − � + { + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + 92 + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + + + + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � + −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � � } − � { − � + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + } + + + + + + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } − � + { + + + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } } { − � { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � }} { − � + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + − }} + { + + + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } } + + + + + + + + + + � { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + + + − + + + + + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } − � − + 93 { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + − � { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + + + { −� �+ � +� � − � +� −� �+ � +� � } + + dengan = + + �, maka − � = + dan = −� −� � � +� +� . Jelas { + − } − jika . Jadi dapat disimpulkan bahwa bernilai positif dengan − dan saat . Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa nilai pada kolom pertama Tabel 3.2 bernilai positif yaitu , , , maka titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal saat .

H. Simulasi Model

Pada sub bab ini akan disimulasikan secara numerik model penyebaran virus Flu Burung Avian Influenza dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas, dalam hal ini proses simulasi memanfaatkan software Maple 17. Adanya program vaksinasi dilakukan untuk mencegah meluasnya penyebaran virus flu burung Avian Influenza dari unggas ke manusia. Vaksinasi dianggap berhasil jika pada waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi. Bilangan reproduksi dasar dapat digunakan untuk mengetahui penyakit tersebut akan menghilang dari populasi atau bersifat endemik. Saat artinya setiap individu yang terinfeksi dapat menularkan virus Flu Burung Avian Influenza kepada rata-rata kurang dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit dapat menghilang dari populasi. 94 Namun, untuk artinya setiap individu terinfeksi dapat menularkan penyakit flu burung Avian Influenza kepada rata-rata lebih dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit menyebar dalam populasi. Dalam model penyebaran virus flu burung Avian Influenza dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas dipilih nilai parameter yaitu = . , = . , = . , = . , = . , � = . dan = . Mohamed Derouich dan Abdesslam Boutayeb: 2008. Kemudian untuk parameter � menyatakan parameter tingkat vaksinasi. Nilai dari parameter ini dapat bervariasi sesuai dengan kondisi nilai . Diberikan nilai awal untuk masing-masing banyaknya populasi manusia rentan, banyaknya populasi manusia terinfeksi, banyaknya populasi manusia yang sembuh, banyaknya populasi unggas yang terinfeksi, dan banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi adalah = , � = , = , � = . dan � = . . Berdasarkan nilai-niali parameter dan nilai awal yang diberikan, selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik untuk model penyebaran virus Flu burung Avian Influenza dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas. Dari simulasi tersebut akan dilihat pengaruh vaksinasi untuk penyebaran virus Flu burung Avian Influenza dalam suatu populasi. 95 Tabel 3. 1 Beberapa parameter yang digunakan untuk Simulasi Perhatikan untuk beberapa simulasi berikut ini: Dalam grafik, garis yang berwarna kuning menunjukkan banyaknya populasi manusia rentan , garis yang berwarna biru menunjukkan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi � , garis yang berwarna merah menunjukkan banyaknya populasi manusia yang sembuh , garis yang berwarna hijau menunjukkan banyaknya populasi unggas yang terinfeksi � , dan garis yang berwarna hitam menunjukkan banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi � . Parameter Percobaan 1 2 3 4 5 � 0.1 0.1 0.2 � 0.075 0.075 0.075 0.075 0.075 � 0.035 0.05 0.05 0.16 0.16 � 0.875 1.25 0.6237 1.008 0.8727 � 1,0,0,0,0 - 1,0,0,0,0.714 - 1,0,0,0,0.833 � - 0.239,0.0142, 0.0355, 0.2,0 - 0.693, 0.0057, 0.014, 0.027, 0.6944 - Gambar Gambar 3.2 Gambar 3.3 Gambar 3.4 Gambar 3.5 Gambar 3.6 96

1. Simulasi model Matematika pada Penyebaran Virus Flu burung Avian

Influenza dari Unggas ke Manusia tanpa Pengaruh Vaksinasi untuk � = . Berikut diberikan simulasi model matematika untuk penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia yang disajikan pada Gambar 3.2 berikut ini: Gambar 3.2 Simulasi model dengan � = . Pada Gambar 3.2 dengan parameter = , dan � = tanpa pengaruh vaksinasi, gambar tersebut menunjukkan bahwa banyaknya populasi unggas yang terinfeksi � dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi � menurun namun tidak menuju nol sehingga pada waktu tertentu virus flu burung Avian Influenza akan selalu ada dalam populasi sampai waktu yang tak terbatas, keadaan tersebut saat = , . 97

2. Simulasi model Matematika pada Penyebaran Virus Flu burung Avian

Influenza dari Unggas ke Manusia tanpa Pengaruh Vaksinasi untuk � = . Berikut diberikan simulasi model matematika untuk penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia yang disajikan pada Gambar 3.3 berikut ini: Gambar 3.3 Simulasi model dengan � = . Kemudian pada Gambar 3.3 dilakukan perubahan nilai parameter untuk yaitu , , perubahan paramter dilakukan untuk melihat terjadi epidemi penyakit pada populasi saat � = tanpa pengaruh vaksinasi. Pada Gambar 3.3 terlihat bahwa banyaknya populasi unggas yang terinfeksi � dan banyaknya populasi manusia yang terinfeksi � bersifat konstan atau menjauhi nol artinya bahwa terjadi epidemi virus flu burung Avian Influenza 98 dari unggas ke manusia dengan bilangan reproduksi dasar pada saat � = adalah = . . Nilai = . , artinya bahwa setiap individu yang terinfeksi dapat menularkan virus flu burung kepada satu sampai dua individu dan virus akan selalu ada sampai waktu yang tidak terbatas.

3. Simulasi model Matematika pada Penyebaran Virus Flu burung Avian

Influenza dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi untuk � = . . Berikut diberikan simulasi model matematika untuk penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia yang disajikan pada Gambar 3.4 berikut ini: Gambar 3.4 Simulasi model dengan � = . .