67
�  −
�
+ + � � −
�� �+
= + + � �
−� −� −�
−�
−
�
+ + � � −
�� �+
− + +
� � = . Didefinisikan
= + + �
−� −� −�
−�
−
�
� −
�� �+
− � =
−� −� −�
−�
−
�
−
� �+
� − � =
−� −� −�
−�
−
� �+ − �
�+
� − � =
−� −� −�
−�
−
� �+ − �
�+
� − � =
−� −� −�
−�
−
� �+
+ − � � −
� =
−� −� −�
−�
−
� �+
+ + + �
− � � − � =
−� −� −�
−�
−
� �+
+ +
� − � =
−� −� −�
−�
−
−� −� −�
−� � �+
+ +
� − � =
−� −� −�
−�
−
−� −� −�  �+� +
−� � �+
+ � =
−� −� −�
−�
−
−� −� −�
+
� �
�+ −� �+
+ � =
68
− � − � −  −
−� −� −�
+
� �
�+ �+
+ − �
� =
+ − �
− � −  − − �
− � − +
�
+ +
− � +
� =
+ − �
− � −  = − �
− � − +
�
+ +
− � +
�
� =
�+  −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ +
−� �+
= �̅                         .
Sehingga �̅ =
�+  −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
.
Persamaan 3.16 disubstitusikan ke Persamaan 3.15 sehingga diperoleh,
= − + + � � −
�� +
= − + + � −
� +
�
= − +
− � +
�
= − +
+ − �
�
= − +
+ − �
�
69
= − +
+ −
� �
= − +
+ + + �
− �
�
= − +
+ +
�
= −
�+
+
�+ �
�+ −�
−� −� −�
−� −� +
� �
�+ + −� �+
= −
+
�+� � �
−� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
= − �
− � − +
+ +
− � +
− � − � −
+ +
+ − �
+
− +
+ +
− � − � −
− � − � −
+ +
+ − �
+
=
−� �+ −�
−� −� +
� �
�+ + −� �+
= ̅                            .
Sehingga ̅ =
−� �+ −�
−� −� +
� �
�+ + −� �+
.
Persamaan 3.16 disubstitusikan ke Persamaan 3.12 sehingga diperoleh,
= ��
+ =
� �+
�+  −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
=
� −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
= ̅                        .
70
Sehingga ̅ =
� −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
.
Jika � =
−� −� −�
−�
dan =
− � + �   dan  maka  Persamaan .
diperoleh, � − � =
� − � + � − � = � − �� − �� − � =
� − � − � + � =
� + � = � − �
� + � = � −
− � − � −
− � � +
� = � − �
− � −
− � − � +
− � � +
� = � − �
� + − �
− � � +
� = − �
� � + � − �
� + � −
− � � � = �
− � � +
− − �
� � =  � − �
� =  � � =
� − �
� = �
− � = �̅ .                                  .
71
Didapatkan  titik  ekuilibrium  endemik  yaitu ̅, �,̅ ,̅ �̅ , �̅ . Jadi terbukti
bahwa jika � ≠ , maka Sistem 3.9 memiliki titik ekuilibrium endemik
yaitu ̅, �,̅ ,̅ �̅ , �̅  dengan,
̅ = − �
+ − �
− � − +
+ +
− � +
= − �
+ − �
− + �
+ +
+ − �
+ ,
�̅ = +
− � − � −
− � − � −
+ +
+ − �
+ =
+ − �
− + �
− � −
+ � +
+ +
− � +
,
̅ = � − �
− � − − �
− � − +
+ +
− � +
= � − �
− + �
− � −
+ � +
+ +
− � +
,
�̅ = − �
− � − − �
= − �
− + �
− � ,
�̅ = �
− � .
dengan =
+ + � .
72
F. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan  reproduksi  dasar  merupakan  bilangan  yang  menunjukan  jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu
terinfeksi.  Bilangan  reproduksi  dasar  dinotasikan  dengan .  Jika
maka penyakit  tidak  menyerang  populasi,  sedangkan  jika
maka  penyakit  akan menyebar.
Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode  Next  Generation Matriks.  Matriks  ini  merupakan  matriks  yang  dikonstruksikan  dari  sub-sub
populasi  yang  menyebabkan  infeksi.  Pada  model  penyebaran  virus  flu  burung Avian Influenza dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas
yang menyebabkan infeksi adalah kelas Infected pada manusia dan kelas Infected pada unggas sehingga persamaan diferensial yang digunakan adalah
� = � −
+ + � � �
= − �
�  − � + �  − � .
Didefinisikan � = [
� − �
� ] dan
= [ + + � �
− � � � + � + � ]
, dengan
�  merupakan  matriks  dari  laju  individu  baru  terinfeksi  penyakit  yang menambah kelas infeksi dan   merupakan matriks laju perkembangan, kematian
dan atau kesembuhan yang mengurangi kelas infeksi.
73
Kemudian  perhitungan  bilangan  reproduksi  dasar berdasarkan
linearisasi �  dan    di  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit.  Hasil  masing-masing
linearisasi dari � dan   di titik ekuilibrium bebas penyakit
= , �, , � , � = , , , ,
� �+�
adalah
= [
� �
� �
−� �
� −�
� �
] = [ − �
] = [ − �
].
� = [
+ + � � �
+ + � � �
− � � � + � + �
� − �
� � + � + � �
] = [ + + �
− � � +
− � � + ]
= [ + + � − �
� + ].
Selanjutnya dicari �
−
,
�
−
= + + �
− � � +
[ − � � +
+ + � ]
= [
− � � +
+ + � − �
� + + + �
+ + � − �
� + ]
= [
+ + � − �
� + ] .
74
Sehingga diperoleh Next Generation Matriks yaitu,
= �
−
= [ − �
] [
+ + � − �
� + ]
= [
− � � +
− � − �
� + ] .                                                                                      .
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari Next Generation Matriks. Jadi bilangan reproduksi dasar dari model matematika penyebaran virus
flu burung Avian Influenza dengan pengaruh vaksinasi pada unggas adalah
= � = �
−
= − �
− � � +
= − �
− � �
� + +
.                                         .
G. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Setelah  didapatkan  titik  ekuilibrium  model,  selanjutnya  akan  dianalisis kestabilan untuk masing-masing titik ekuilibrium yaitu kestabilan titik ekuilibrium
bebas penyakit dan kestabilan titik ekuilibrium endemik.
1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Titik ekuilibrium bebas penyakit dari Sistem 3.9 yaitu = , �, , � , � =
, , , ,
� �+�
. Selanjutnya akan dilakukan analisis kestabilan disekitar titik ekuilibrium sebagai berikut:
75
Sistem 3.9 didefinisikian menjadi: , �, , � , � = −
+ � +
, , �, , � , � = � −
+ + � � ,                                                        . , �, , � , � = �� −
+ ,
, �, , � , � = − �
� − � + �
− � , , �, , � , � =  � − � .
Matriks Jacobian dari Sistem 3.22 adalah
=
[
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
]
= [
− + � −
� − + + �
� − +
� − �
− − � �
−  � + ]
.
dengan � =
− � − � − � − .
Substitusi  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  ke  Persamaan  3.23  serta didefinisikan
= + + �   sehingga  diperoleh  Matriks  Jacobian  di  titik
ekuilibrium bebas penyakit adalah sebagai berikut:
= [
− −
− �
− + �
− � −  � + ]
.
76
dengan � =
− � −
� �+�
− .
Nilai  eigen  dari  matriks dapat  dicari  dengan  menentukan
det   − =  dengan   adalah nilai eigen dan I adalah matriks identitas, sehingga
didapat, | −
| =
⟺ | |
[ ]
− [
− −
− �
− + �
− � −  � + ]
| | =
⟺ | |
[ ]
− [
− −
− �
− + �
− � −  � + ]
| | =
⟺ | |
+ −
+ −
−� +
+ − �
� +  � +
| | =
⟺ − − � | +
− +
−� +
+ +  � +
| =
⟺ − − � − + |
+ −
+ +
+  � + | =
⟺ − − � − + +  � +
| + −
+ +
| =
77
⟺ − − � − + +  � +
+  + +
=
⟺ − �
+ +  � +
+  + +
=               .
Jadi diperoleh polinomial berikut: =
− � +
+  � + +  +
+ =         .
Dari Persamaan 3.26 diperoleh nilai eigen sebagai berikut: = − ,
= − , = − +
, = −  � +
, = � =
− � −
� � +
−
= − �
− − �
� � +
−
= − �
− − �
� � +
+
= − �
− − �
= − �
−
= − �
− .
dengan =
−� −�
� �+�
+�
.