Titik Ekuilibrium Model Matematika SIRS

67 � − � + + � � − �� �+ = + + � � −� −� −� −� − � + + � � − �� �+ − + + � � = . Didefinisikan = + + � −� −� −� −� − � � − �� �+ − � = −� −� −� −� − � − � �+ � − � = −� −� −� −� − � �+ − � �+ � − � = −� −� −� −� − � �+ − � �+ � − � = −� −� −� −� − � �+ + − � � − � = −� −� −� −� − � �+ + + + � − � � − � = −� −� −� −� − � �+ + + � − � = −� −� −� −� − −� −� −� −� � �+ + + � − � = −� −� −� −� − −� −� −� �+� + −� � �+ + � = −� −� −� −� − −� −� −� + � � �+ −� �+ + � = 68 − � − � − − −� −� −� + � � �+ �+ + − � � = + − � − � − − − � − � − + � + + − � + � = + − � − � − = − � − � − + � + + − � + � � = �+ −� −� −� −� −� −� + � � �+ + −� �+ = �̅ . Sehingga �̅ = �+ −� −� −� −� −� −� + � � �+ + −� �+ . Persamaan 3.16 disubstitusikan ke Persamaan 3.15 sehingga diperoleh, = − + + � � − �� + = − + + � − � + � = − + − � + � = − + + − � � = − + + − � � 69 = − + + − � � = − + + + + � − � � = − + + + � = − �+ + �+ � �+ −� −� −� −� −� −� + � � �+ + −� �+ = − + �+� � � −� −� −� −� −� −� + � � �+ + −� �+ = − � − � − + + + − � + − � − � − + + + − � + − + + + − � − � − − � − � − + + + − � + = −� �+ −� −� −� + � � �+ + −� �+ = ̅ . Sehingga ̅ = −� �+ −� −� −� + � � �+ + −� �+ . Persamaan 3.16 disubstitusikan ke Persamaan 3.12 sehingga diperoleh, = �� + = � �+ �+ −� −� −� −� −� −� + � � �+ + −� �+ = � −� −� −� −� −� −� + � � �+ + −� �+ = ̅ . 70 Sehingga ̅ = � −� −� −� −� −� −� + � � �+ + −� �+ . Jika � = −� −� −� −� dan = − � + � dan maka Persamaan . diperoleh, � − � = � − � + � − � = � − �� − �� − � = � − � − � + � = � + � = � − � � + � = � − − � − � − − � � + � = � − � − � − − � − � + − � � + � = � − � � + − � − � � + � = − � � � + � − � � + � − − � � � = � − � � + − − � � � = � − � � = � � = � − � � = � − � = �̅ . . 71 Didapatkan titik ekuilibrium endemik yaitu ̅, �,̅ ,̅ �̅ , �̅ . Jadi terbukti bahwa jika � ≠ , maka Sistem 3.9 memiliki titik ekuilibrium endemik yaitu ̅, �,̅ ,̅ �̅ , �̅ dengan, ̅ = − � + − � − � − + + + − � + = − � + − � − + � + + + − � + , �̅ = + − � − � − − � − � − + + + − � + = + − � − + � − � − + � + + + − � + , ̅ = � − � − � − − � − � − + + + − � + = � − � − + � − � − + � + + + − � + , �̅ = − � − � − − � = − � − + � − � , �̅ = � − � . dengan = + + � . 72

F. Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar merupakan bilangan yang menunjukan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi. Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan . Jika maka penyakit tidak menyerang populasi, sedangkan jika maka penyakit akan menyebar. Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode Next Generation Matriks. Matriks ini merupakan matriks yang dikonstruksikan dari sub-sub populasi yang menyebabkan infeksi. Pada model penyebaran virus flu burung Avian Influenza dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas yang menyebabkan infeksi adalah kelas Infected pada manusia dan kelas Infected pada unggas sehingga persamaan diferensial yang digunakan adalah � = � − + + � � � = − � � − � + � − � . Didefinisikan � = [ � − � � ] dan = [ + + � � − � � � + � + � ] , dengan � merupakan matriks dari laju individu baru terinfeksi penyakit yang menambah kelas infeksi dan merupakan matriks laju perkembangan, kematian dan atau kesembuhan yang mengurangi kelas infeksi. 73 Kemudian perhitungan bilangan reproduksi dasar berdasarkan linearisasi � dan di titik ekuilibrium bebas penyakit. Hasil masing-masing linearisasi dari � dan di titik ekuilibrium bebas penyakit = , �, , � , � = , , , , � �+� adalah = [ � � � � −� � � −� � � ] = [ − � ] = [ − � ]. � = [ + + � � � + + � � � − � � � + � + � � − � � � + � + � � ] = [ + + � − � � + − � � + ] = [ + + � − � � + ]. Selanjutnya dicari � − , � − = + + � − � � + [ − � � + + + � ] = [ − � � + + + � − � � + + + � + + � − � � + ] = [ + + � − � � + ] . 74 Sehingga diperoleh Next Generation Matriks yaitu, = � − = [ − � ] [ + + � − � � + ] = [ − � � + − � − � � + ] . . Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari Next Generation Matriks. Jadi bilangan reproduksi dasar dari model matematika penyebaran virus flu burung Avian Influenza dengan pengaruh vaksinasi pada unggas adalah = � = � − = − � − � � + = − � − � � � + + . .

G. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Setelah didapatkan titik ekuilibrium model, selanjutnya akan dianalisis kestabilan untuk masing-masing titik ekuilibrium yaitu kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan kestabilan titik ekuilibrium endemik.

1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit

Titik ekuilibrium bebas penyakit dari Sistem 3.9 yaitu = , �, , � , � = , , , , � �+� . Selanjutnya akan dilakukan analisis kestabilan disekitar titik ekuilibrium sebagai berikut: 75 Sistem 3.9 didefinisikian menjadi: , �, , � , � = − + � + , , �, , � , � = � − + + � � , . , �, , � , � = �� − + , , �, , � , � = − � � − � + � − � , , �, , � , � = � − � . Matriks Jacobian dari Sistem 3.22 adalah = [ � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � � ,�, ,� ,� � ] = [ − + � − � − + + � � − + � − � − − � � − � + ] . dengan � = − � − � − � − . Substitusi titik ekuilibrium bebas penyakit ke Persamaan 3.23 serta didefinisikan = + + � sehingga diperoleh Matriks Jacobian di titik ekuilibrium bebas penyakit adalah sebagai berikut: = [ − − − � − + � − � − � + ] . 76 dengan � = − � − � �+� − . Nilai eigen dari matriks dapat dicari dengan menentukan det − = dengan adalah nilai eigen dan I adalah matriks identitas, sehingga didapat, | − | = ⟺ | | [ ] − [ − − − � − + � − � − � + ] | | = ⟺ | | [ ] − [ − − − � − + � − � − � + ] | | = ⟺ | | + − + − −� + + − � � + � + | | = ⟺ − − � | + − + −� + + + � + | = ⟺ − − � − + | + − + + + � + | = ⟺ − − � − + + � + | + − + + | = 77 ⟺ − − � − + + � + + + + = ⟺ − � + + � + + + + = . Jadi diperoleh polinomial berikut: = − � + + � + + + + = . Dari Persamaan 3.26 diperoleh nilai eigen sebagai berikut: = − , = − , = − + , = − � + , = � = − � − � � + − = − � − − � � � + − = − � − − � � � + + = − � − − � = − � − = − � − . dengan = −� −� � �+� +� .