67
� −
�
+ + � � −
�� �+
= + + � �
−� −� −�
−�
−
�
+ + � � −
�� �+
− + +
� � = . Didefinisikan
= + + �
−� −� −�
−�
−
�
� −
�� �+
− � =
−� −� −�
−�
−
�
−
� �+
� − � =
−� −� −�
−�
−
� �+ − �
�+
� − � =
−� −� −�
−�
−
� �+ − �
�+
� − � =
−� −� −�
−�
−
� �+
+ − � � −
� =
−� −� −�
−�
−
� �+
+ + + �
− � � − � =
−� −� −�
−�
−
� �+
+ +
� − � =
−� −� −�
−�
−
−� −� −�
−� � �+
+ +
� − � =
−� −� −�
−�
−
−� −� −� �+� +
−� � �+
+ � =
−� −� −�
−�
−
−� −� −�
+
� �
�+ −� �+
+ � =
68
− � − � − −
−� −� −�
+
� �
�+ �+
+ − �
� =
+ − �
− � − − − �
− � − +
�
+ +
− � +
� =
+ − �
− � − = − �
− � − +
�
+ +
− � +
�
� =
�+ −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ +
−� �+
= �̅ .
Sehingga �̅ =
�+ −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
.
Persamaan 3.16 disubstitusikan ke Persamaan 3.15 sehingga diperoleh,
= − + + � � −
�� +
= − + + � −
� +
�
= − +
− � +
�
= − +
+ − �
�
= − +
+ − �
�
69
= − +
+ −
� �
= − +
+ + + �
− �
�
= − +
+ +
�
= −
�+
+
�+ �
�+ −�
−� −� −�
−� −� +
� �
�+ + −� �+
= −
+
�+� � �
−� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
= − �
− � − +
+ +
− � +
− � − � −
+ +
+ − �
+
− +
+ +
− � − � −
− � − � −
+ +
+ − �
+
=
−� �+ −�
−� −� +
� �
�+ + −� �+
= ̅ .
Sehingga ̅ =
−� �+ −�
−� −� +
� �
�+ + −� �+
.
Persamaan 3.16 disubstitusikan ke Persamaan 3.12 sehingga diperoleh,
= ��
+ =
� �+
�+ −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
=
� −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
= ̅ .
70
Sehingga ̅ =
� −� −� −�
−� −� −�
+
� �
�+ + −� �+
.
Jika � =
−� −� −�
−�
dan =
− � + � dan maka Persamaan .
diperoleh, � − � =
� − � + � − � = � − �� − �� − � =
� − � − � + � =
� + � = � − �
� + � = � −
− � − � −
− � � +
� = � − �
− � −
− � − � +
− � � +
� = � − �
� + − �
− � � +
� = − �
� � + � − �
� + � −
− � � � = �
− � � +
− − �
� � = � − �
� = � � =
� − �
� = �
− � = �̅ . .
71
Didapatkan titik ekuilibrium endemik yaitu ̅, �,̅ ,̅ �̅ , �̅ . Jadi terbukti
bahwa jika � ≠ , maka Sistem 3.9 memiliki titik ekuilibrium endemik
yaitu ̅, �,̅ ,̅ �̅ , �̅ dengan,
̅ = − �
+ − �
− � − +
+ +
− � +
= − �
+ − �
− + �
+ +
+ − �
+ ,
�̅ = +
− � − � −
− � − � −
+ +
+ − �
+ =
+ − �
− + �
− � −
+ � +
+ +
− � +
,
̅ = � − �
− � − − �
− � − +
+ +
− � +
= � − �
− + �
− � −
+ � +
+ +
− � +
,
�̅ = − �
− � − − �
= − �
− + �
− � ,
�̅ = �
− � .
dengan =
+ + � .
72
F. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar merupakan bilangan yang menunjukan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu
terinfeksi. Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan . Jika
maka penyakit tidak menyerang populasi, sedangkan jika
maka penyakit akan menyebar.
Penentuan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode Next Generation Matriks. Matriks ini merupakan matriks yang dikonstruksikan dari sub-sub
populasi yang menyebabkan infeksi. Pada model penyebaran virus flu burung Avian Influenza dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas
yang menyebabkan infeksi adalah kelas Infected pada manusia dan kelas Infected pada unggas sehingga persamaan diferensial yang digunakan adalah
� = � −
+ + � � �
= − �
� − � + � − � .
Didefinisikan � = [
� − �
� ] dan
= [ + + � �
− � � � + � + � ]
, dengan
� merupakan matriks dari laju individu baru terinfeksi penyakit yang menambah kelas infeksi dan merupakan matriks laju perkembangan, kematian
dan atau kesembuhan yang mengurangi kelas infeksi.
73
Kemudian perhitungan bilangan reproduksi dasar berdasarkan
linearisasi � dan di titik ekuilibrium bebas penyakit. Hasil masing-masing
linearisasi dari � dan di titik ekuilibrium bebas penyakit
= , �, , � , � = , , , ,
� �+�
adalah
= [
� �
� �
−� �
� −�
� �
] = [ − �
] = [ − �
].
� = [
+ + � � �
+ + � � �
− � � � + � + �
� − �
� � + � + � �
] = [ + + �
− � � +
− � � + ]
= [ + + � − �
� + ].
Selanjutnya dicari �
−
,
�
−
= + + �
− � � +
[ − � � +
+ + � ]
= [
− � � +
+ + � − �
� + + + �
+ + � − �
� + ]
= [
+ + � − �
� + ] .
74
Sehingga diperoleh Next Generation Matriks yaitu,
= �
−
= [ − �
] [
+ + � − �
� + ]
= [
− � � +
− � − �
� + ] . .
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari Next Generation Matriks. Jadi bilangan reproduksi dasar dari model matematika penyebaran virus
flu burung Avian Influenza dengan pengaruh vaksinasi pada unggas adalah
= � = �
−
= − �
− � � +
= − �
− � �
� + +
. .
G. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Setelah didapatkan titik ekuilibrium model, selanjutnya akan dianalisis kestabilan untuk masing-masing titik ekuilibrium yaitu kestabilan titik ekuilibrium
bebas penyakit dan kestabilan titik ekuilibrium endemik.
1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Titik ekuilibrium bebas penyakit dari Sistem 3.9 yaitu = , �, , � , � =
, , , ,
� �+�
. Selanjutnya akan dilakukan analisis kestabilan disekitar titik ekuilibrium sebagai berikut:
75
Sistem 3.9 didefinisikian menjadi: , �, , � , � = −
+ � +
, , �, , � , � = � −
+ + � � , . , �, , � , � = �� −
+ ,
, �, , � , � = − �
� − � + �
− � , , �, , � , � = � − � .
Matriks Jacobian dari Sistem 3.22 adalah
=
[
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� � ,�, ,� ,�
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
� ,�, ,� ,� �
]
= [
− + � −
� − + + �
� − +
� − �
− − � �
− � + ]
.
dengan � =
− � − � − � − .
Substitusi titik ekuilibrium bebas penyakit ke Persamaan 3.23 serta didefinisikan
= + + � sehingga diperoleh Matriks Jacobian di titik
ekuilibrium bebas penyakit adalah sebagai berikut:
= [
− −
− �
− + �
− � − � + ]
.
76
dengan � =
− � −
� �+�
− .
Nilai eigen dari matriks dapat dicari dengan menentukan
det − = dengan adalah nilai eigen dan I adalah matriks identitas, sehingga
didapat, | −
| =
⟺ | |
[ ]
− [
− −
− �
− + �
− � − � + ]
| | =
⟺ | |
[ ]
− [
− −
− �
− + �
− � − � + ]
| | =
⟺ | |
+ −
+ −
−� +
+ − �
� + � +
| | =
⟺ − − � | +
− +
−� +
+ + � +
| =
⟺ − − � − + |
+ −
+ +
+ � + | =
⟺ − − � − + + � +
| + −
+ +
| =
77
⟺ − − � − + + � +
+ + +
=
⟺ − �
+ + � +
+ + +
= .
Jadi diperoleh polinomial berikut: =
− � +
+ � + + +
+ = .
Dari Persamaan 3.26 diperoleh nilai eigen sebagai berikut: = − ,
= − , = − +
, = − � +
, = � =
− � −
� � +
−
= − �
− − �
� � +
−
= − �
− − �
� � +
+
= − �
− − �
= − �
−
= − �
− .
dengan =
−� −�
� �+�
+�
.