79 Kita telah membuat dua asumsi, yaitu 1 bahwa alirannya mengikuti garis
aliran dan 2 alirannya tanpa gesekan. Jika aliran tersebut juga stedi, maka persamaan 5.1.6 menjadi lebih sederhana lagi.
s v
v s
z g
s p
1
= 0 ……………………………… 5.1.7
Kini s adalah satu satunya variabel bebas, maka diferensial - diferensial parsiil dapat diganti dengan diferensial total.
vdv gdz
dp
…………………………………… 5.1.8
Persamaan 5.1.8 ini disebut Persamaan Euler sepanjang garis aliran
5.2. Persamaan Bernoulli
Untuk kerapatan yang konstan, maka integrasi persamaan Euler sepanjang garis aliran pers 5.1.8 berbentuk:
gz +
p v
2
2
= konstan …………………………… 5.2.1
Persamaan 5.2.1 ini disebut Persamaan Bernoulli.
Konstanta integrasi disebut konstanta Bernoulli berubah dari satu garis aliran ke garis aliran lainnya, tetapi tetap konstan sepanjang garis aliran
dalam aliran yang stedi, tanpa gesekan dan tak mampu mampat. Pada waktu menerapkan persamaan ini kita memerlukan serta harus mengingat ke-empat
asumsi ini. Masing-masing suku pada persamaan 5.2.1 berdimensi LT
2
, satuannya meter- newton per kilogram.
2 2
2
. .
. dt
m kg
dt m
kg m
kg N
m
karena 1 N = 1 kg. mdt
2
Persamaan 5.2.1 dalam bentuk energi per massa satuan. Bila persamaan ini dibagi dengan g maka akan didapatkan :
z +
p g
v
2
2
= konstan……………………………… 5.2.2
80 Persamaan ini dalam bentuk energi per berat satuan, dengan satuan meter -
Newton per Newton atau foot- pound per pound. Bentuk tersebut baik sekali untuk menyelesaikan persoalan - persoalan fluida dengan permukaan
bebas.
Setiap suku dari persamaan Bernoulli 5.2.2 dapat diinterpretasikan dalam bentuk energi yang tersedia. Persamaan ini juga disebut persamaan
konservasi energi mekanis. Jika persamaan 5.2.1 dikalikan dengan
, kita memperoleh
p v
z
2
2
= konstan …………………………… 5.2.3
yang mudah digunakan untuk aliran gas, karena perubahan ketinggian seringkali tidak penting dan
z
dapat dihilangkan. Dalam bentuk ini masing- masing suku adalah dalam meter Newton per meter kubik, foot pound per
foot kubik atau energi per volume satuan.
Dengan menggunakan persamaan 5.2.2 untuk 2 titik pada streamline z
1
+
g 2
v p
2 1
1
= z
2
+
g 2
v p
2 2
2
……………………. 5.2.4
atau : z
1
- z
2
+
g 2
v v
p p
2 2
2 1
2 1
= 0 …………………. 5.2.5
Persamaan ini menunjukkan bahwa perbedaan energi antara dua titik terdiri dari perbedaan energi potensial, energi aliran dan energi kinetik. z
1
- z
2
adalah perbedaan ketinggian antara kedua titik terhadap datum yang sama. Sedangkan
2 1
p p
merupakan perbedaan head tekanan yang dinyatakan dalam satuan panjang kolom zat yang mengalir.
81 Contoh :
Air mengalir pada suatu saluran terbuka open channel seperti gambar dibawah dengan kedalaman 2 meter dan kecepatannya 3 meterdetik.
Kemudian megalir turun melalui saluran yang miring dan selanjutnya mengalir mendatar lagi. Jika diinginnkan kecepatan kecepatan akhir 10
meterdetik dan kedalaman 1 meter, hitunglah perbedaan ketinggian y. Asumsikan bahwa aliran tanpa gesekan frictionless.
Penyelesaian : Kecepatan- kecepatan diasumsikan seragam pada seluruh penampang
melintang. Titik 1 dan 2 dapat dipilih sebagai permukaan bebas. Jika perbedaan ketinggiannya adalah y , maka persamaan Bernoulli menjadi :
1 1
2 1
z p
g 2
V
=
2 2
2 2
z p
g 2
V
kemudian, z
1
= y+2 ; z
2
=1 ; V
1
= 3 mdt ; V
2
= 10 mdt dan p
1
= p
2
= 0
806 ,
9 2
3
2
+ 0 + y + 2 =
806 ,
9 2
10
2
+ 0 + 1
maka y = 3,64 meter
5.3 Penerapan Persamaan Bernoulli
