43 x
CP
355 =
5 ,
22 .
5 ,
1 .
75 ,
5 ,
1 4
3 4
2
r
x
CP
= 0,745 meter F
R
=
2 H
2 v
F F
=
2 2
8 ,
348 355
= 397,68 kN m lebar
3.8. Tegangan Tarik pada Pipa Bertekanan
Jika sebuah pipa silindris mendapat tekanan dari dalam, maka pipa itu akan menderita tegangan tarik pada kelilingnya. Perhatikan gambar berikut ini:
Gb 3.8.1 Tegangan tarik pada pipa bertekanan
F
H
= p
CG.
A = p.2r x 1;
F
H
= 2 r p ……………………………………… 3.8.1
dengan : p: tekanan di dalam pipa r : Jari-jari dalam dari pipa
Gaya tarik per satuan panjang pipa T: T
1
= T
2
; karena F
H
pada pusat pipa T
1
+T
2
= F
H
2 T = F
H
44 T =
2
H
F
T = r.p ………………………………………… 3.8.2
Jika tebal dinding pipa = e, maka tegangan tarik pada dinding pipa
adalah =
e rp
e T
…………………………………… 3.8.3
Untuk variasi tekanan yang cukup besar antara bagian atas dan bawah dari pipa, maka pusat penekanan y dapat ditentukan dengan dua persamaan
sebagai berikut: T
1
+T
2
= 2rp 2rT
1
- 2rpy = 0 Dari dua persamaan tersebut didapatkan:
T
1 =
p y ………………………………………. 3.8.4
T
2
= p 2r-
y ……………………………………… 3.8.5
3.9. Tegangan Tarik pada Bola Bertekanan
Gaya pada dinding dalam F
H
= p r
2
Gaya yang ditahan oleh dinding bola F
H
= 2 r e ; dengan e = tebal
dinding bola F
H
= F
H
p r
2
= 2 r e
=
e rp
2
…………………………………… 3.9.1
Jadi untuk tekanan yang sama, tegangan geser pada dinding pipa silindris sama dengan dua kali tegangan geser pada dinding bola.
3.10 .Gaya Apung Buoyancy
Apabila sebuah benda dimasukkan kedalam zat cair maka pada tiap bagian benda yang bersentuhan dengan fluida akan mendapat gaya tekan dari fluida
dari segala arah. Besarnya gaya tekan dipengaruhi oleh berat jenis fluida dan
45 jaraknya dari permukaan fluida. Gaya-gaya yang arahnya horizontal saling
meniadakan karena besarnya sama tetapi arahnya saling berlawanan, atau dengan kata lain resultan gaya-gaya horizontal bernilai nol. Sedangkan gaya-
gaya yang arahnya vertikal besarnya tidak sama untuk bagian atas dan bagian bawah dari benda tersebut, karena jaraknya dari permukaan fluida tidak sama.
Kita perhatikan gambar berikut, dan ditinjau elemen prisma dengan luas penampang A
.
Gb. 3.10.1. Gaya vertikal pada benda yang tenggelam atau terapung
Gaya tekanan di bagian atas benda arahnya ke bawah.
1
F
= p
1
A = g h
1
A
……………………… 3.10.1
Gaya tekan di bagian bawah benda arahnya ke atas
2
F
= p
2
A = g h
2
A
……………………… 3.10.2
F
2
selalu lebih besar dari F
1
karena h
2
lebih besar dari h
1.
Selisih antara gaya- gaya vertikal bagian bawah dan bagian atas ini disebut gaya apung F
B
.
B
F
= +
2
F
-
1
F
= g h
2
- h
1
A
= h A
F
B
=
hdA = hA = V …………………… 3.10.3
dengan V adalah volume dari benda tersebut.
46 Dari persamaan 3.10.3 di atas terlihat bahwa prinsip gaya apung ini sesuai
dengan hukum Archimedes:
Gaya apung dari sebuah benda yang dimasukkan ke dalam suatu fluida sama dengan berat fluida yang dipindahkan oleh benda tersebut
Garis kerja gaya apung F
B
terletak pada jarak x
B
dari titik referensi O. Harga x
B
dapat dihitung sbb: x
B .
F
B
=
V
d V x x
B
=
B
F 1
V
x d V
x
B
=
V 1
V
x d V
………………………… 3.10.4
Titik tangkap dari gaya
.
F
B
disebut Center of Buoyancy . Hidrometer adalah suatu alat untuk mengukur specific gravity zat cair dengan menggunakan
prinsip-prinsip Buoyancy. Perhatikan gambar berikut ini.
Gb 3.10.2 Hidrometer
Stem dari hidrometer luas penampangnya = a.
Keterangan gb a kiri :
Cairannya adalah air S = 1 Hidrometer akan mengapung seimbang jika
V
= W ………………………………… 3.10.5
dengan
V
= volume hidrometer yang tenggelam
47 = berat jenis
W = berat hidrometer Posisi permukaan air pada stem diberi tanda 1.0 menunjukkan specific
gravity air
Keterangan gb b kanan :
Sekarang hidrometer dimasukkan ke fluida yang lain dengan specivic gravity S. Ternyata posisi tanda [1.0] tidak tepat pada permukaan cairan, tetapi
terangkat naik sejauh
h
. Persamaan keseimbangan:
V
- V S
=W …………………………… 3.10.6
dengan V = a.
h
. Dari persamaan 3.10.5 dan 3.10.6
V
- a
h S =
V
……………………… 3.10.7
h
= S
1 S
a V
…………………………
3.10.8
atau S =
h a
V V
………………………………… 3.10.9
3.11.Stabilitas Benda Terapung Tenggelam
Suatu benda yang terapung pada cairan statis diam mempunyai stabilitas vertikal. Sedikit pergeseran keatas, akan memperkecil volume cairan yang
terpindahkan akibatnya timbul gaya ke bawah untuk mengembalikan benda tersebut ke posisi semula. Sebaliknya sedikit pergeseran kebawah , akan
menghasilkan gaya apung keatas yang lebih besar dan mengembalikan benda tersebut ke posisi semula.
Suatu benda dikatakan memiliki stabilitas linier jika pada waktu terjadi sedikit pergeseran ke suatu arah, ada gaya yang mengembalikan ke posisi
48 semula. Dan memiliki stabilitas rotasi rotational stability jika ada momen
kopel yang mengembalikan posisinya pada waktu terkena pergeseran sudut angular displacement. Dalam hal stabilitas rotasi, ada 3 macam
keseimbangan pada benda terapung yaitu: -
Keseimbangan stabil -
Keseimbangan tidak stabil -
Keseimbangan netral Benda dikatakan dalam keadaan keseimbangan tidak stabil apabila dengan
sedikit pergeseran sudut, terjadi momen kopel yang akan cenderung akan memperbesar pergeseran sudut tersebut. Sedangkan keseimbangan netral
adalah apabila dengan pergeseran sudut tertentu tidak terjadi momen kopel sama sekali, sehingga benda tetap berada pada posisi terakhir, karena tidak
ada kopel yang mengembalikan ke posisi semula maupun kopel yang meneruskan pergeseran sudut tersebut.
Gambar dibawah ini gb 3.11.1 merupakan ilustrasi dari ketiga macam keseimbangan di atas, yaitu sebatang kayu ringan yang pada ujungnya
ditempelkan logam metal dan sebuah bola homogen.
Gb 3.11.1 Ilustrasi dari ketiga macam keseimbangan
a Jika logam berada dibawah, keseimbangannya stabil
b Jika logam berada diatas, benda dalam keadaan keseimbangan tidak
stabil, karena jika ada sedikit pergeseran sudut maka benda tersebut akan ke posisi a.
49 c
Bola padat homogen dalam keseimbangan netral Suatu benda yang tenggelam dalam keadaan stabil secara rotasi hanya jika
pusat berat benda G berada dibawah titik apung B. Tinjau gambar dibawah ini
Gb 3.11.2 Keseimbangan rotasi benda yang tenggelam
Jika benda diputar sedikit berlawanan arah jarum jam, maka gaya apung dan berat benda akan membentuk kopel searah jarum jam.
Gb 3.11.3 Stabilitas dari sebuah benda berbentuk prisma
Gambar 3.11.3 adalah benda dengan penampang melintang persegi panjang terapung pada suatu cairan. Pusat apung selalu pada sentroid dari volume
fluida yang dipindahkan, yaitu sentroid dari luas penampang dibawah permukaan cairan. Jika benda tersebut dimiringkan seperti gambar b diatas,
50 pusat apung berada pada B yaitu sentroid dari trapesium ABCD. Arah gaya
apung ke atas melalui B, arah gaya berat ke bawah melalui G, yaitu pusat berat center of gravity dari benda. Apabila dari B ditarik garis tegak keatas
maka akan memotong garis pusat aslinya melalui G di titik M. Kopel yang terjadi akan mengembalikan posisi benda ke posisi semula, maka benda
tersebut berada pada keseimbangan stabil. Titik M disebut metasenter.
Bila M terletak diatas G : keseimbangan stabil Bila M terletak dibawah G : keseimbangan tidak stabil
Bila M terletak pada G : keseimbangan netral. Jarak
MG
disebut tinggi metasenter yang merupakan ukuran stabilitas dari suatu benda. Besarnya kopel yang mengembalikan ke posisi semula sebesar
W
MG
sin , dengan : pergeseran sudut dan W adalah berat benda.
Contoh :
Sebuah benda berbentuk balok dengan panjang 15 ft, lebar 9 ft dan tinggi 4 ft terbuat dari material yang dengan
= 45 lbft
3
. Balok tersebut dimasukkan ke dalam air lihat gambar dibawah.
a. Berapa kedalaman benda yang tenggelam?
b. Jika dimiringkan terhadap sumbu memanjang dengan sebuah kopel tidak
ada gaya sisa pada sudut 12 , berapa besar kopel yang mengembalikan ke
posisi semula?
Penyelesaian :
a. Benda mengapung. Dalam keadaan seimbang diam
W = FB.
51 15 94 45 = 15 9 d 62,4
d = 2,885 ft ; d : kedalaman benda tenggelam
b. Pada kemiringan 12
, AD menjadi garis muka air water line. Untuk mempermudah perhitungan, gaya apung dibagi menjadi dua
komponen yaitu B
1
untuk bagian segiempat AEHK dan B
2
untuk bagian segitiga ADE.
DE = 2e = b tg 12 = 9 tg 12
= 1,913 ft. NI = e = 0,957 ft
Karena tidak ada gaya sisa MN = d = 2,885 ft. Oleh karena itu : c = IM = MN-NI = 2,885-0,957 = 1,928 ft
B
1
adalah sentroid dari AEHK, maka : GB
1
= 12h-c = 124-1,928 = 1,036 ft a
1
= GB
1
sin 12
O
= 0,215 ft F
1
=
Lbc = 451591,928 = 11,710 lb B
2
adalah sentroid dari segitiga ADE, maka : JE = b3 = 3 ft; IJ = b6 = 1,5 ft ; B
2
J = 23 e = 0,638 ft G adalah sentroid dari segi empat keseluruhan, maka
MG = h2 = 2 ft GI = MG - MI = MG - c = 2 - 1,928 = 0,0719 ft
a
2
= IJ cos 12
o
+ B
2
J - GI sin 12
o
= 1,585 ft F
2
=
Lbe = 451590,957 = 5810 lb Momen pada G berlawanan arah jarum jam :
= F
2
a
2
- F
1
a
1
= 58101,585 - 117100,215 = 6690 lbft
3.12.Keseimbangan Relatif Relative Equilibrium
Suatu fluida yang bertranslasi dengan percepatan linier seragam uniform linear acceleration atau berrotasi seragam uniform rotation terhadap
sumbu tegak masih dapat mengikuti hukum-hukum variasi tekanan seperti
52 pada fluida statis. Untuk menuliskan persamaan gerak dari fluida ini, maka
dapat kita gunakan persamaan dasar pada fluida statis. Gerakan fluida pada dua kasus diatas dikatakan bahwa fluidanya berada
dalam keseimbangan relatif.
i Fluida yang Mengalami percepatan Linier Konstan.
Suatu cairan di dalam bejana terbuka diberi percepatan konstan a seperti gambar dibawah. Setelah beberapa waktu cairan berada pada suatu
percepatan dimana cairan bergerak seperti benda padat.; dengan demikian jarak antara dua partikel fluida tetap sehingga tidak timbul tegangan geser.
3.12.1 Percepatan dengan permukaan bebas
f. -j = - p - j = a ……………………
3.12.1
p
= - j + a
Permukaan-permukaan dengan tekanan konstan termasuk permukaan bebas berada tegak lurus terhadap
p. Untuk mendapatkan ekspresi aljabar mengenai variasi tekanan pada arah x, y, dan z; p = px, y, z, maka:
p
= i
x p
+ j
y p
+ k
z p
= - j -
g
i.a
x
+ j a
y
x p
= -
g
a
x
y p
= 1 +
g a
y
z p
= 0
53 karena p merupakan fungsi dari posisi x, y, z, total diferensialnya adalah:
dp =
x p
dx +
y p
dy +
z p
dz. Substitusi untuk diferensial parsiil, didapatkan
dp = -
g
a
x
dx - 1 +
g a
y
dy ………………… 3.12.2
Untuk fluida tidak mampat incompassible persamaan 3.12.2 dapat diintegralkan:
p = -
g a
x
x - 1 +
g a
y
y + c c = konstanta integrasi, dicari dengan syarat batas, misal pada
pada x = 0,dan y = 0, harga p = p maka c = p
p = p -
g a
x
x - 1 +
g a
y
y ……...…………… 3.12.3
Pada permukaan bebas, p = 0, maka persamaan 3.12.3 dapat dinyatakan dalam bentuk:
y = -
g a
a
y x
x +
g a
1 .
p
y
………………………… 3.12.4
Persamaan ini adalah persamaan garis linier yang menunjukkan lapisan- lapisan fluida dengan tekanan konstan, yang mempunyai kemiringan sloop -
g ay
ax
Contoh :
Sebuah tanki diisi minyak dengan gravitasi jenis 0,8 dan dipercepat seperti terlihat pada gambar di bawah. Ada lubang kecil pada tangki di titik A
a. Hitung tekanan pada titik B dan C
b. Hitung percepatan a
x
yang diperlukan agar tekanan di B sama dengan 0.
54 Gb 3.12.2 Tank diisi penuh dengan cairan
Penyelesaian :
a. Titik A sebagai referensi, ay = 0
p = -
g a
x
x - y = -
y m
N x
dt m
dt m
m N
9806 8
, 806
, 9
903 ,
4 9806
8 ,
3 2
2 3
atau p = - 3922,4 x - 7844,8 y [Pascal]
Pada titik B, x = 1,8 m, y = -1,2m
p = 2,36 k Pascal Pada titik C, x = - 0,15 m, y = -1,35m
p = 11,18 k Pa c.
Untuk tekanan di B = 0, dengan titik referensi di A
0 = 0 -
2 3
806 ,
9 9806
8 ,
dt m
m N
1, 8 ax - 0,8 9806
3
m N
-1,2
a
x
= 6,537
2
dt m
ii Rotasi Uniform terhadap Sumbu Vertikal
Rotasi suatu fluida yang bergerak seperti benda padat terhadap suatu sumbu
pusaran paksa Forced vortex. Dalam keadaan ini tiap partikel fluida
mempunyai kecepatan sudut yang sama. Hal ini berbeda dengan pusaran bebas Free Vortex motion dimana tiap prtikel fluida bergerak dalam lintasan
55 berbentuk lingkaran kecepatan-kecepatannya yang berbeda-beda, berbanding
terbalik dengan jaraknya dari pusat putaran. Suatu fluida di dalam suatu kontainer bila diputar terhadap sumbu vertikal
dengan kecepatan sudut konstan akan bergerak seperti gerakan benda
padat setelah interval waktu tertentu. Pada gerakan ini tidak terjadi tegangan geser, dan percepatan yang terjadi arahnya menuju sumbu rotasi.
Gb 3.12.3 Rotasi fluida terhadap sumbu vertikal
Sumbu koordinat seperti pada gambar di atas, vektor satuan i arahnya radial dan vektor satuan j arahnya vertikal. Persamaan dasar variasi tekanan fluida
statis p = - j - a
Untuk kecepatan sudut yang konstan , mak setiap partikel fluida
mempunyai percepatan radial sebesar
2
r , maka a = i
2
r p = i
r p
+ j
y p
+ k
z p
= - j - i
2
r = - j + i
2
r
r p
=
g
2
r
y p
= -
z p
= 0
56 Karena p hanya fungsi r dan y, maka diferensial totalnya :
dp =
y p
dy +
r p
dr sehingga
dp = -
dy +
g
2
r dr ……………………
3.12.5
untuk fluida dengan
konstan, maka hasil integrasinya : p =
g
2
c y
r
. 2
2
c = konstanta integrasi, dicari dengan syarat batas, yaitu :
pada r = 0, y = 0,
p = p , maka c = p
p = p +
g
2
.
2
2
r
- y ………………………
3.12.6
Gb 3.12.4 Rotasi sebuah silinder terhadap sumbunya
Pada suatu bidang horisontal tertentu y = 0, p
0 =
0, maka naiknya permukaan fluida dari vertex pada dinding silinder :
h =
p
=
g r
2
2 2
………………………………
3.12.7
Persamaan di atas menunjukkan bahwa head atau kedalaman vertikal bervariasi sebagai fungsi kuadrat dari radius. Permukaan-permukaan dengan
tekanan yang sama berupa bidang paraboloida
57 Volume cairan di atas bidang horisontal lewat vertex sama dengan volume
silinder mula-mula di atas bidang horisontal lewat vertex. Volume paraboloida adalah setengah luas alas dikalikan tingginya, maka
garis permukaan horisontal aslinya berada tepat ditengah-tengah antara titik tertinggi dan terendah dari permukaan bebas.
Penurunan permukaan fluida pada sumbu rotasi
g r
h 4
2
2 2
………………………….. 3.12.8
Demikian juga kenaikan permukaan fluida pada dinding silinder mempunyai harga yang sama yaitu
2 h
.
58
BAB IV KONSEP ALIRAN FLUIDA DAN PERSAMAAN-
PERSAMAAN DASAR.
4.1. Klasifikasi Aliran
Aliran dapat diklasifikasikan berdasarkan beberapa kategori sebagai berikut:
a. Berdasarkan konfigurasi dari lapisan-lapisan fluida selama bergerak: aliran
lamine r dan aliran turbulen
b. Berdasarkan perubahan variabel di suatu titik pada saat yang berbeda
t iabel
var
: aliran steady dan aliran unsteady. c.
Berdasarkan perubahan variabel dititik-titik yang berbeda pada saat yang
sama
s iabel
var
: aliran uniform dan aliran non uniform. d.
Berdasarkan karakter fluidanya : aliran fluida ideal dan aliran fluida riil. e.
Berdasarkan dimensi dari variasi variabel kecepatan, tekanan dan lain- lain.
Aliran 1 dimensi, 2 demensi, dan 3 dimensi.
a. Aliran Laminer dan Turbulan
Pada aliran laminer partikel fluida bergerak pada lintasan yang halus smooth
berbentuk lamina-lamina atau lapisan-lapisan dimana satu lapis fluida bergerak secara smooth diatas lapisan yang lain. Dalam aliran laminer
pengaruh viskositas akan meredam kecenderungan adanya turbulensi swirling motion. Aliran laminer menjadi tidak stabil pada kondisi : viskositas rendah
dan kecepatan tinggi. Dalam kondisi seperti ini aliran akan cenderung untuk menjadi aliran turbulen.
Keadaan aliran turbulen merupakan hal yang paling banyak kita jumpai
dalam bidang teknik. Pada aliran turbulen partikel fluida bergerak dalam
