65
4.4 Volume Kendali Control Volume
Suatu control volume merupakan suatu daerah di dalam ruang dimana aliran dapat masuk dan keluar dari ruangan tersebut. Batas boundary dari control
volume disebut control surface. Control volume selalu fixed terhadap sistim koordinat xyz. Perhatikan gambar berikut:
Jika N adalah suatu besaran misalnya: massa, energi atau momentum dari sistim pada saat t, dan
adalah besaran N per satuan massa atau
m N
,maka laju membesarnya N di dalam sistim dapat diformulasikan dalam control
volume.
t II
t t
II III
t sis
t t
sis
V d
V d
V d
N N
dengan V d
= elemen volume
Gb. 4.4.1 Control volume pada sebuah sistim
66 Bila ruas kanan ditambah dan dikurangi dengan
t t
I
V d
kemudian semua ruas dibagi dengan t
,
maka :
t V
d V
d V
d t
N N
t II
t t
II I
t sis
t t
sis
t V
d t
V d
t t
I t
t III
………. 4.4.1 Ruas kiri dari persamaan 4.4.1 menyatakan laju membesarnya N dalam
sistim selama t
.
Untuk t
mendekati nol, maka limitnya menjadi
dt dN
.
Sedangkan dua integral pertama diruas kanan A adalah besaran N dalam cv
saat t + t , integral ketiga B menyatakan besaran N dalam cv saat t.
t
lim
A-B =
t
cv
V d
. .
Integral keempat c adalah laju keluarnya N dari cv saat t + t
t
lim
C-D =
cs
dA .
v .
. maka limit dari persamaan 4.4.1 menjadi
dt
dN t
cv
V d
. .
+
cs
dA .
v .
. ………………… 4.4.2
4.5. Konservasi Massa
Prinsip konservasi massa adalah: pada suatu sistim, massa tidak pernah berubah terhadap waktu;
dt
dm
. Maka variabel- variabel pada persamaan 4.4.2, adalah :
N = massa atau m = massamassa satuan = 1
= kerapatan
67 V = volume
v = kecepatan;
maka:
dA .
v .
V d
. t
dt dm
cs cv
…………………….. 4.5.1 Persamaan kontinyuitas untuk control volume menyatakan bahwa laju
bertambahnya massa terhadap waktu di dalam suatu control volume ditambah laju massa netto yang meninggalkan control volume lewat permukaan sama
dengan nol. Tinjau: aliran stedi lewat suatu streamtube
Gb. 4.5.1. Control volume dari aliran lewat tube
Untuk aliran stedi:
t
cv
. V
d = 0
Persamaan kontinyuitas : 0 +
CS
dA .
v .
= 0 …………………………. 4.5.2
Persamaan ini harus digunakan pada setiap control surface dimana massa fluida masuk dan keluar. Oleh karena itu :
CS 1
1
dA .
v
+
2 CS
2 2
dA .
v = 0 ; dot product dari vektor- vektor ini
:
68 -
CS 1
1
dA v
+
2 CS
2 2
dA v
= 0 sehingga
CS 1
1
dA v
=
2 CS
2 2
dA v
……………….. 4.5.3
Jika
1
dan
2
konstan pada penampang melintang sisi masuk dan sisi keluar, maka
1
CS 1
1 1
dA v
=
2 CS
2 2
2
dA v
Akan lebih baik jika dinyatakan dengan kecepatan rata- rata V, yaitu V =
A 1
A
v.
dA maka
V
1
A
1
=
1
CS 1
1
dA v
dan V
2
A
2
=
2 CS
2 2
dA v
sehingga
1
V
1
A
1
=
2
V
2
A
2
= m ………………………. 4.5.4 dengan m adalah laju aliran massa mass flow rate dalam kgdt atau slugdt.
Untuk aliran stedi laju aliran massa konstan. Jika laju aliran volumetrik Q dedefinisikan sebagai Q = AV dan untuk fluida incompressible, maka Q =
V
1
A
1
= V
2
A
2
sehingga persamaan kontinyuitas dapat dinyatakan dalam bentuk:
m =
1
Q
1
=
2
Q
2
……………………………… 4.5.5 Contoh :
Pada bagian 1 dari sebuah pipa yang dialiri air gb 4.5.2 kecepatannya adalah 3 ftdt dan diameternya 2 ft. Pada bagian 2 diameternya 3 ft. Hitung laju
aliran volumetrik dan kecepatan pada bagian 2.
69 Gb 4.5.2 Control volume untuk aliran melalui pipa secara seri
Penyelesaian : Q = V
1
A
1
= 3ft
4
2ft
2
= 9,42 ft
3
dt V
2
=
2
A Q
= 9,42ft
3
dt
2
ft 3
4
= 1,33 ftdt
Gb. 4.5.3. control volume untuk aliran multi inlet
70 Jika ada beberapa sisi masuk inlet dan atau sisi keluar outlet, maka
persamaan control volume harus dikembangkan, misalnya pada interseksi berbentuk T pada gambar 4.5.3, persamaan kontinyuitasnya menjadi:
-
1
V
1
A
1
-
3
V
3
A
3
+
2
V
2
A
2
= 0 V
1
A
1
+ V
3
A
3
= V
2
A
2
……………………………… 4.5.6
Q
1
+ Q
3
= Q
2
……………………………………… 4.5.7
Kesimpulan : pada sebuah control volume debit aliran masuk sama dengan debit aliran keluar.
4.6. Persamaan Momentum Linier
Kategori