77
BAB V KONSERVASI ENERGI MEKANIK DAN PERSAMAAN
BERNOULLI
5.1. Persamaan Euler Sepanjang Garis Aliran
Gambar 5.1.1 di bawah merupakan ilustrasi dari sebuah control volume berbentuk prisma yang berukuran kecil, dengan luas penampang melintang
A dan panjang s
. Kecepatan fluida mengikuti garis aliran s.
Gb. 5.1.1. Penerapan persamaan kontinyuitas dan persamaan momentum pada aliran melalui volume kendali pada garis aliran s.
Dengan asumsi bahwa fluida tanpa gesekan viskositasnya nol, gaya-gaya yang bekerja pada volume kendali dalam arah s hanyalah gaya-gaya ujung
end forces dan gaya beratnya. Persamaan momentum diterapkan pada volume kendali pada komponen s.
Fs
=
A s
v t
+
cs
vv. dA ……………… 5.1.1
78 s
dan A bukan merupakan fungsi waktu.
Gaya-gaya yang bekerja adalah:
Fs
= p A -
A s
s p
A p
-
cos A
. s
g
= -
A .
s s
p
-
g
A s
s z
…………………… 5.1.2 Karena bila s bertambah, koordinat vertikal bertambah sedemikian rupa
hingga
cos =
s z
Dalam laju bersih aliran momentum s keluar harus memperhitungkan aliran yang melalui permukaan silinder m
t,
maupun aliran yang melalui permukaan - permukaan ujung gb.c.
cs
vv. dA = m
t
v -
2
Av
+
s Av
s Av
2 2
… 5.1.3 Untuk menentukan nilai m
t
, kita mempergunakan persamaan kontinyuitas pada volume kendali gb.d
0 =
s .
A v
s m
s A
t
t
……..………………… 5.1.4 Pelenyapan m
t
pada persamaan 5.1.3 dan 5.1.4 serta penyederhanaan, menghasilkan:
cs
v
v .dA =
s .
A t
v s
v v
………………… 5.1.5
Substitusi persamaan 5.1.3 dan persamaan 5.1.5 ke persamaan 5.1.1 menghasilkan :
s .
A t
v s
v v
s z
g s
p
setelah pembagian seluruhnya dengan
s A
dan pengambilan limit untuk A
serta s mendekati nol, maka persamaan tersebut menjadi
s v
v s
z g
s p
1
+
t v
= 0 ……………………. 5.1.6
79 Kita telah membuat dua asumsi, yaitu 1 bahwa alirannya mengikuti garis
aliran dan 2 alirannya tanpa gesekan. Jika aliran tersebut juga stedi, maka persamaan 5.1.6 menjadi lebih sederhana lagi.
s v
v s
z g
s p
1
= 0 ……………………………… 5.1.7
Kini s adalah satu satunya variabel bebas, maka diferensial - diferensial parsiil dapat diganti dengan diferensial total.
vdv gdz
dp
…………………………………… 5.1.8
Persamaan 5.1.8 ini disebut Persamaan Euler sepanjang garis aliran
5.2. Persamaan Bernoulli
Kategori